Package list-nth-thm: list-nth-thm

Information

Files

• Package tarball list-nth-thm-1.0.tgz
• Theory file list-nth-thm.thy (included in the package tarball)

Theorems

⊦ ∀l.
    ¬(l = Data.List.[]) ⇒
    Data.List.last l =
    Data.List.nth
      (Number.Natural.- (Data.List.length l)
         (Number.Numeral.bit1 Number.Numeral.zero)) l

⊦ ∀f l i.
    Number.Natural.< i (Data.List.length l) ⇒
    Data.List.nth i (Data.List.map f l) = f (Data.List.nth i l)

⊦ ∀n h t.
    Data.List.nth n (Data.List.:: h t) =
    (if n = Number.Numeral.zero then h
     else Data.List.nth
       (Number.Natural.- n (Number.Numeral.bit1 Number.Numeral.zero)) t)

⊦ ∀k l m.
    Data.List.nth k (Data.List.@ l m) =
    (if Number.Natural.< k (Data.List.length l) then Data.List.nth k l
     else Data.List.nth (Number.Natural.- k (Data.List.length l)) m)

⊦ ∀l m.
    Data.List.length l = Data.List.length m ∧
    (∀i.
       Number.Natural.< i (Data.List.length l) ⇒
       Data.List.nth i l = Data.List.nth i m) ⇒ l = m

Input Type Operators

• →
• bool
• Data
  • List
    • Data.List.list
• Number
  • Natural
    • Number.Natural.natural

Input Constants

• =
• Data
  • Bool
    • ∀
    • ∧
    • ⇒
    • ∨
    • ¬
    • cond
    • F
    • T
  • List
    • Data.List.::
    • Data.List.@
    • Data.List.[]
    • Data.List.last
    • Data.List.length
    • Data.List.map
    • Data.List.nth
• Number
  • Natural
    • Number.Natural.-
    • Number.Natural.<
    • Number.Natural.suc
  • Numeral
    • Number.Numeral.bit1
    • Number.Numeral.zero

Assumptions

⊦ T

⊦ F ⇔ ∀p. p

⊦ ∀n. Number.Natural.< Number.Numeral.zero (Number.Natural.suc n)

⊦ (¬) = λp. p ⇒ F

⊦ ∀t. (∀x. t) ⇔ t

⊦ (∀) = λP. P = λx. T

⊦ ∀x. x = x ⇔ T

⊦ ∀n. ¬(Number.Natural.suc n = Number.Numeral.zero)

⊦ (⇒) = λp q. p ∧ q ⇔ p

⊦ ∀t. (t ⇔ T) ∨ (t ⇔ F)

⊦ ∀n.
    Number.Natural.- (Number.Natural.suc n)
      (Number.Numeral.bit1 Number.Numeral.zero) = n

⊦ (¬T ⇔ F) ∧ (¬F ⇔ T)

⊦ ∀l. Data.List.length l = Number.Numeral.zero ⇔ l = Data.List.[]

⊦ (∧) = λp q. (λf. f p q) = λf. f T T

⊦ ∀m n. Number.Natural.suc m = Number.Natural.suc n ⇔ m = n

⊦ ∀m n.
    Number.Natural.< (Number.Natural.suc m) (Number.Natural.suc n) ⇔
    Number.Natural.< m n

⊦ ∀m n.
    Number.Natural.- (Number.Natural.suc m) (Number.Natural.suc n) =
    Number.Natural.- m n

⊦ ∀m.
    Number.Natural.- Number.Numeral.zero m = Number.Numeral.zero ∧
    Number.Natural.- m Number.Numeral.zero = m

⊦ (∨) = λp q. ∀r. (p ⇒ r) ⇒ (q ⇒ r) ⇒ r

⊦ ∀P. (∀x y. P x y) ⇔ ∀y x. P x y

⊦ ∀h t.
    Data.List.last (Data.List.:: h t) =
    (if t = Data.List.[] then h else Data.List.last t)

⊦ ∀t1 t2. (if T then t1 else t2) = t1 ∧ (if F then t1 else t2) = t2

⊦ Data.List.length Data.List.[] = Number.Numeral.zero ∧
  ∀h t.
    Data.List.length (Data.List.:: h t) =
    Number.Natural.suc (Data.List.length t)

⊦ ∀P.
    P Number.Numeral.zero ∧ (∀n. P n ⇒ P (Number.Natural.suc n)) ⇒ ∀n. P n

⊦ ∀P. P Data.List.[] ∧ (∀a0 a1. P a1 ⇒ P (Data.List.:: a0 a1)) ⇒ ∀x. P x

⊦ ∀h1 h2 t1 t2. Data.List.:: h1 t1 = Data.List.:: h2 t2 ⇔ h1 = h2 ∧ t1 = t2

⊦ ∀P c x y. P (if c then x else y) ⇔ (c ⇒ P x) ∧ (¬c ⇒ P y)

⊦ (∀m. Number.Natural.< m Number.Numeral.zero ⇔ F) ∧
  ∀m n.
    Number.Natural.< m (Number.Natural.suc n) ⇔
    m = n ∨ Number.Natural.< m n

⊦ (∀l. Data.List.@ Data.List.[] l = l) ∧
  ∀h t l.
    Data.List.@ (Data.List.:: h t) l = Data.List.:: h (Data.List.@ t l)

⊦ (∀f. Data.List.map f Data.List.[] = Data.List.[]) ∧
  ∀f h t.
    Data.List.map f (Data.List.:: h t) =
    Data.List.:: (f h) (Data.List.map f t)

⊦ (∀h t. Data.List.nth Number.Numeral.zero (Data.List.:: h t) = h) ∧
  ∀h t n.
    Data.List.nth (Number.Natural.suc n) (Data.List.:: h t) =
    Data.List.nth n t

⊦ ∀t. ((T ⇔ t) ⇔ t) ∧ ((t ⇔ T) ⇔ t) ∧ ((F ⇔ t) ⇔ ¬t) ∧ ((t ⇔ F) ⇔ ¬t)

⊦ ∀t. (T ∧ t ⇔ t) ∧ (t ∧ T ⇔ t) ∧ (F ∧ t ⇔ F) ∧ (t ∧ F ⇔ F) ∧ (t ∧ t ⇔ t)

⊦ ∀t. (T ⇒ t ⇔ t) ∧ (t ⇒ T ⇔ T) ∧ (F ⇒ t ⇔ T) ∧ (t ⇒ t ⇔ T) ∧ (t ⇒ F ⇔ ¬t)