Package natural: The natural numbers

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Files

• Package tarball natural-1.44.tgz
• Theory file natural.thy (included in the package tarball)

Defined Type Operator

• Number
  • Natural
    • natural

Defined Constants

• Number
  • Natural
    • *
    • +
    • -
    • <
    • ≤
    • >
    • ≥
    • bit0
    • bit1
    • distance
    • div
    • even
    • exp
    • factorial
    • max
    • min
    • minimal
    • mod
    • odd
    • pre
    • suc
    • zero

Theorems

⊦ even 0 ⇔ T

⊦ odd 0 ⇔ F

⊦ bit0 0 = 0

⊦ ∀n. 0 ≤ n

⊦ ∀n. n ≤ n

⊦ factorial 0 = 1

⊦ ∀n. ¬(n < n)

⊦ ∀n. 0 < suc n

⊦ ∀n. n < suc n

⊦ ∀n. n ≤ suc n

⊦ ∀n. ¬(factorial n = 0)

⊦ ∀n. ¬(suc n = 0)

⊦ ∀n. n ≤ n * n

⊦ ∀n. even n ∨ odd n

⊦ ∀m. m < 0 ⇔ F

⊦ ∀n. pre (suc n) = n

⊦ ∀n. 0 * n = 0

⊦ ∀m. m * 0 = 0

⊦ ∀n. 0 + n = n

⊦ ∀m. m + 0 = m

⊦ ∀m. m - 0 = m

⊦ ∀n. n - n = 0

⊦ ∀n. distance 0 n = n

⊦ ∀n. distance n 0 = n

⊦ ∀n. distance n n = 0

⊦ ∀n. max 0 n = n

⊦ ∀n. max n 0 = n

⊦ ∀n. max n n = n

⊦ ∀n. min 0 n = 0

⊦ ∀n. min n 0 = 0

⊦ ∀n. min n n = n

⊦ ∀n. ¬(even n ∧ odd n)

⊦ ∀n. even (2 * n)

⊦ ∀n. bit1 n = suc (bit0 n)

⊦ ∀n. ¬even n ⇔ odd n

⊦ ∀n. ¬odd n ⇔ even n

⊦ ∀m. exp m 0 = 1

⊦ ∀m. m * 1 = m

⊦ ∀n. n div 1 = n

⊦ ∀n. exp n 1 = n

⊦ ∀n. n mod 1 = 0

⊦ ∀m. 1 * m = m

⊦ ∃f. injective f ∧ ¬surjective f

⊦ ∀m n. m ≤ m + n

⊦ ∀m n. m ≤ max m n

⊦ ∀m n. n ≤ m + n

⊦ ∀m n. n ≤ max m n

⊦ ∀m n. min m n ≤ m

⊦ ∀m n. min m n ≤ n

⊦ ∀n. odd (suc (2 * n))

⊦ ∀m. suc m = m + 1

⊦ ∀n. even (suc n) ⇔ ¬even n

⊦ ∀n. odd (suc n) ⇔ ¬odd n

⊦ ∀m. m ≤ 0 ⇔ m = 0

⊦ ∀n. exp 1 n = 1

⊦ ∀n. suc n - 1 = n

⊦ ∀n. 0 < n ⇔ ¬(n = 0)

⊦ ∀n. bit0 (suc n) = suc (suc (bit0 n))

⊦ ∀m n. m > n ⇔ n < m

⊦ ∀m n. m ≥ n ⇔ n ≤ m

⊦ ∀m n. m * n = n * m

⊦ ∀m n. m + n = n + m

⊦ ∀m n. distance m n = distance n m

⊦ ∀m n. max m n = max n m

⊦ ∀m n. min m n = min n m

⊦ ∀m n. m = n ⇒ m ≤ n

⊦ ∀m n. m < n ⇒ m ≤ n

⊦ ∀m n. m < n ∨ n ≤ m

⊦ ∀m n. m ≤ n ∨ n < m

⊦ ∀m n. m ≤ n ∨ n ≤ m

⊦ ∀m n. distance m n ≤ m + n

⊦ ∀m n. distance m (m + n) = n

⊦ ∀m n. m + n - m = n

⊦ ∀m n. m + n - n = m

⊦ ∀m n. distance (m + n) m = n

⊦ ∀m n. n * (m div n) ≤ m

⊦ ∀n. factorial (suc n) = suc n * factorial n

⊦ ∀n. exp n 2 = n * n

⊦ ∀n. 2 * n = n + n

⊦ ∀m n. ¬(m < n ∧ n < m)

⊦ ∀m n. ¬(m < n ∧ n ≤ m)

⊦ ∀m n. ¬(m ≤ n ∧ n < m)

⊦ ∀m n. ¬(m < n) ⇔ n ≤ m

⊦ ∀m n. ¬(m ≤ n) ⇔ n < m

⊦ ∀m n. m < suc n ⇔ m ≤ n

⊦ ∀m n. suc m ≤ n ⇔ m < n

⊦ ∀m. m = 0 ∨ ∃n. m = suc n

⊦ ∀n. even n ⇔ n mod 2 = 0

⊦ ∀n. ¬(n = 0) ⇒ 0 div n = 0

⊦ ∀n. ¬(n = 0) ⇒ 0 mod n = 0

⊦ ∀n. ¬(n = 0) ⇒ n mod n = 0

⊦ ∀m n. m < n ⇒ m div n = 0

⊦ ∀m n. m < n ⇒ m mod n = m

⊦ ∀m n. m ≤ n ⇒ factorial m ≤ factorial n

⊦ ∀m n. m + suc n = suc (m + n)

⊦ ∀m n. suc m + n = suc (m + n)

⊦ ∀m n. m < m + n ⇔ 0 < n

⊦ ∀m n. n < m + n ⇔ 0 < m

⊦ ∀m n. suc m = suc n ⇔ m = n

⊦ ∀m n. suc m < suc n ⇔ m < n

⊦ ∀m n. suc m ≤ suc n ⇔ m ≤ n

⊦ ∀m n. m + n = m ⇔ n = 0

⊦ ∀m n. m + n = n ⇔ m = 0

⊦ ∀m n. distance m n = 0 ⇔ m = n

⊦ ∀m n. distance (suc m) (suc n) = distance m n

⊦ ∀n. odd n ⇔ n mod 2 = 1

⊦ ∀n. exp 0 n = if n = 0 then 1 else 0

⊦ ∀n. ¬(n = 0) ⇒ n div n = 1

⊦ ∀m n. max m n = if m ≤ n then n else m

⊦ ∀m n. min m n = if m ≤ n then m else n

⊦ ∀m n. even (m * n) ⇔ even m ∨ even n

⊦ ∀m n. even (m + n) ⇔ even m ⇔ even n

⊦ ∀m n. odd (m * n) ⇔ odd m ∧ odd n

⊦ ∀m n. m * suc n = m + m * n

⊦ ∀m n. exp m (suc n) = m * exp m n

⊦ ∀m n. suc m * n = m * n + n

⊦ ∀m n. ¬(n = 0) ⇒ m mod n < n

⊦ ∀m n. ¬(n = 0) ⇒ m div n ≤ m

⊦ ∀m n. ¬(n = 0) ⇒ m mod n ≤ m

⊦ ∀n. even n ⇔ ∃m. n = 2 * m

⊦ ∀m n. m ≤ n ⇔ ∃d. n = m + d

⊦ ∀A B. (∀n. A * n ≤ B) ⇔ A = 0

⊦ ∀n. ¬(n = 0) ⇒ pre n = n - 1

⊦ ∀m n. m ≤ n ⇔ m < n ∨ m = n

⊦ ∀m n. n ≤ m ⇒ n + (m - n) = m

⊦ ∀m n. n ≤ m ⇒ m - n + n = m

⊦ ∀m n. m < n ∨ n < m ∨ m = n

⊦ ∀m n. odd (m + n) ⇔ ¬(odd m ⇔ odd n)

⊦ ∀m n. odd (exp m n) ⇔ odd m ∨ n = 0

⊦ ∀m n. m ≤ n ∧ n ≤ m ⇔ m = n

⊦ ∀n. odd n ⇔ ∃m. n = suc (2 * m)

⊦ ∀m n. m < n ⇔ ∃d. n = m + suc d

⊦ ∀m n. m < n ⇔ m ≤ n ∧ ¬(m = n)

⊦ ∀m n. even (exp m n) ⇔ even m ∧ ¬(n = 0)

⊦ ∀m n. m < suc n ⇔ m = n ∨ m < n

⊦ ∀m n. ¬(m = 0) ⇒ m * n div m = n

⊦ ∀m n. ¬(m = 0) ⇒ m * n mod m = 0

⊦ ∀x y n. x ≤ y ⇒ exp x n ≤ exp y n

⊦ ∀m n p. distance m p ≤ distance m n + distance n p

⊦ ∀m n p. m * (n * p) = n * (m * p)

⊦ ∀m n p. m * (n * p) = m * n * p

⊦ ∀m n p. m + (n + p) = m + n + p

⊦ ∀m n p. exp m (n * p) = exp (exp m n) p

⊦ ∀m n p. m + n = m + p ⇔ n = p

⊦ ∀m n p. m + p = n + p ⇔ m = n

⊦ ∀m n p. m + n < m + p ⇔ n < p

⊦ ∀m n p. n + m < p + m ⇔ n < p

⊦ ∀m n p. m + n ≤ m + p ⇔ n ≤ p

⊦ ∀m n p. m + p ≤ n + p ⇔ m ≤ n

⊦ ∀m n p. distance (m + n) (m + p) = distance n p

⊦ ∀p m n. distance (m + p) (n + p) = distance m n

⊦ ∀m n p. (m * n + p) mod n = p mod n

⊦ ∀m n p. m < n ∧ n < p ⇒ m < p

⊦ ∀m n p. m < n ∧ n ≤ p ⇒ m < p

⊦ ∀m n p. m ≤ n ∧ n < p ⇒ m < p

⊦ ∀m n p. m ≤ n ∧ n ≤ p ⇒ m ≤ p

⊦ ∀m n. n < m ⇒ m - suc n = pre (m - n)

⊦ ∀m n. n < m ⇒ suc (m - suc n) = m - n

⊦ ∀m n. n ≤ m ⇒ suc (m - n) = suc m - n

⊦ ∀m n. n ≤ m ⇒ (m - n = 0 ⇔ m = n)

⊦ ∀m n. n ≤ m ⇒ pre (suc m - n) = m - n

⊦ ∀m n. n ≤ m ⇒ suc m - suc n = m - n

⊦ ∀m n. m ≤ suc n ⇔ m = suc n ∨ m ≤ n

⊦ ∀m n. 0 < m * n ⇔ 0 < m ∧ 0 < n

⊦ ∀m n. m * n = 0 ⇔ m = 0 ∨ n = 0

⊦ ∀m n. m + n = 0 ⇔ m = 0 ∧ n = 0

⊦ ∀m n. distance (distance m n) (distance m (n + 1)) = 1

⊦ ∀P. P 0 ∧ (∀n. P n ⇒ P (suc n)) ⇒ ∀n. P n

⊦ ∀m n. distance m n = if m ≤ n then n - m else m - n

⊦ ∀m n. n ≤ m ⇒ (even (m - n) ⇔ even m ⇔ even n)

⊦ ∀m n. ¬(n = 0) ⇒ (m div n = 0 ⇔ m < n)

⊦ ∀m n. ¬(n = 0) ⇒ m mod n mod n = m mod n

⊦ ∀m n. m = m * n ⇔ m = 0 ∨ n = 1

⊦ ∀m n. m = n * m ⇔ m = 0 ∨ n = 1

⊦ ∀n x. 0 < exp x n ⇔ ¬(x = 0) ∨ n = 0

⊦ ∀m n. m * n = m ⇔ m = 0 ∨ n = 1

⊦ ∀m n. n * m = m ⇔ m = 0 ∨ n = 1

⊦ ∀m n. exp m n = 0 ⇔ m = 0 ∧ ¬(n = 0)

⊦ ∀m n p. m * (n + p) = m * n + m * p

⊦ ∀m n p. m * distance n p = distance (m * n) (m * p)

⊦ ∀m n p. exp m (n + p) = exp m n * exp m p

⊦ ∀m n p. (m + n) * p = m * p + n * p

⊦ ∀p m n. distance m n * p = distance (m * p) (n * p)

⊦ ∀p m n. exp (m * n) p = exp m p * exp n p

⊦ ∀m n. n ≤ m ⇒ (odd (m - n) ⇔ ¬(odd m ⇔ odd n))

⊦ ∀x n. exp x n = 1 ⇔ x = 1 ∨ n = 0

⊦ ∀P. (∀n. (∀m. m < n ⇒ P m) ⇒ P n) ⇒ ∀n. P n

⊦ ∀e f. ∃!fn. fn 0 = e ∧ ∀n. fn (suc n) = f (fn n) n

⊦ ∀A B C. (∀n. A * n ≤ B * n + C) ⇔ A ≤ B

⊦ ∀m n. ¬(n = 0) ⇒ m div n * n + m mod n = m

⊦ ∀m n. m * n = 1 ⇔ m = 1 ∧ n = 1

⊦ ∀P. (∃n. P n) ⇔ ∃n. P n ∧ ∀m. m < n ⇒ ¬P m

⊦ ∀m n p. n ≤ m ⇒ m + p - (n + p) = m - n

⊦ ∀m n p. p ≤ n ⇒ m + n - (m + p) = n - p

⊦ ∀m n p. m * n = m * p ⇔ m = 0 ∨ n = p

⊦ ∀m n p. m * p = n * p ⇔ m = n ∨ p = 0

⊦ ∀x y n. exp x n = exp y n ⇔ x = y ∨ n = 0

⊦ ∀m n p. m * n ≤ m * p ⇔ m = 0 ∨ n ≤ p

⊦ ∀m n p. m * p ≤ n * p ⇔ m ≤ n ∨ p = 0

⊦ ∀x y n. exp x n ≤ exp y n ⇔ x ≤ y ∨ n = 0

⊦ ∀P. (∃n. P n) ⇔ P ((minimal) P) ∧ ∀m. m < (minimal) P ⇒ ¬P m

⊦ ∀a b n. ¬(a = 0) ⇒ (n ≤ b div a ⇔ a * n ≤ b)

⊦ ∀m n p. ¬(p = 0) ⇒ m * (n div p) ≤ m * n div p

⊦ ∀m n p. m * n < m * p ⇔ ¬(m = 0) ∧ n < p

⊦ ∀m n p. m * p < n * p ⇔ m < n ∧ ¬(p = 0)

⊦ ∀x y n. exp x n < exp y n ⇔ x < y ∧ ¬(n = 0)

⊦ ∀x y n. x < y ∧ ¬(n = 0) ⇒ exp x n < exp y n

⊦ ∀m n p. ¬(m = 0) ∧ n < p ⇒ m * n < m * p

⊦ ∀m n p. ¬(p = 0) ∧ m ≤ n ⇒ m div p ≤ n div p

⊦ ∀m n p. ¬(p = 0) ∧ p ≤ m ⇒ n div m ≤ n div p

⊦ ∀a b n. ¬(a = 0) ∧ b ≤ a * n ⇒ b div a ≤ n

⊦ ∀m n. ¬(n = 0) ⇒ (m mod n = 0 ⇔ ∃q. m = q * n)

⊦ ∀m n p q. distance m p ≤ distance (m + n) (p + q) + distance n q

⊦ ∀m n p q. m = n + q * p ⇒ m mod p = n mod p

⊦ ∀m n p q. m < n ∧ p < q ⇒ m * p < n * q

⊦ ∀m n p q. m < p ∧ n < q ⇒ m + n < p + q

⊦ ∀m n p q. m < p ∧ n ≤ q ⇒ m + n < p + q

⊦ ∀m n p q. m ≤ n ∧ p ≤ q ⇒ m * p ≤ n * q

⊦ ∀m n p q. m ≤ p ∧ n < q ⇒ m + n < p + q

⊦ ∀m n p q. m ≤ p ∧ n ≤ q ⇒ m + n ≤ p + q

⊦ ∀m n p q. distance (m + n) (p + q) ≤ distance m p + distance n q

⊦ ∀m n p q. distance m n + distance n p ≤ q ⇒ distance m p ≤ q

⊦ ∀m n p. n ≤ m ⇒ (m - n) * p = m * p - n * p

⊦ ∀m n p. p ≤ n ⇒ m * (n - p) = m * n - m * p

⊦ ∀m n p. distance m n = p ⇔ m + p = n ∨ n + p = m

⊦ ∀m n p. distance m n ≤ p ⇔ m ≤ n + p ∧ n ≤ m + p

⊦ ∀n. (∃k m. odd m ∧ n = exp 2 k * m) ⇔ ¬(n = 0)

⊦ ∀m n p. ¬(n = 0) ⇒ m * (p mod n) mod n = m * p mod n

⊦ ∀m n p. ¬(n = 0) ⇒ m mod n * p mod n = m * p mod n

⊦ ∀m n p. ¬(n = 0) ⇒ exp (m mod n) p mod n = exp m p mod n

⊦ ∀a b n. ¬(n = 0) ⇒ (a * n + b) div n = a + b div n

⊦ ∀m n p. ¬(m * p = 0) ⇒ m * n div (m * p) = n div p

⊦ ∀m n p. ¬(n * p = 0) ⇒ m div n div p = m div (n * p)

⊦ ∀m n p. ¬(n * p = 0) ⇒ m mod (n * p) mod n = m mod n

⊦ ∀m n p. ¬(p = 0) ∧ m + p ≤ n ⇒ m div p < n div p

⊦ ∀m n. (∃q. m = n * q) ⇔ if n = 0 then m = 0 else m mod n = 0

⊦ ∀m n q r. m = q * n + r ∧ r < n ⇒ m div n = q

⊦ ∀m n q r. m = q * n + r ∧ r < n ⇒ m mod n = r

⊦ ∀a b n. ¬(a = 0) ⇒ (b div a ≤ n ⇔ b < a * (n + 1))

⊦ ∀P. (∃B. ∀n. P n ≤ B) ⇔ ∃A B. ∀n. n * P n ≤ A * n + B

⊦ ∀m n p. ¬(n = 0) ⇒ m mod n * (p mod n) mod n = m * p mod n

⊦ ∀a b n. ¬(n = 0) ⇒ (a mod n + b mod n) mod n = (a + b) mod n

⊦ ∀m n p. ¬(m * p = 0) ⇒ m * n mod (m * p) = m * (n mod p)

⊦ ∀m n p. ¬(n * p = 0) ⇒ m div n mod p = m mod (n * p) div n

⊦ ∀x p m n. ¬(p = 0) ⇒ x mod exp p m mod exp p n = x mod exp p (min m n)

⊦ ∀p x y. p (distance x y) ⇔ ∀d. (x = y + d ⇒ p d) ∧ (y = x + d ⇒ p d)

⊦ ∀P. (∃x. P x) ∧ (∃M. ∀x. P x ⇒ x ≤ M) ⇔ ∃m. P m ∧ ∀x. P x ⇒ x ≤ m

⊦ ∀a b c d. ¬(b = 0) ∧ b * c < (a + 1) * d ⇒ c div d ≤ a div b

⊦ ∀P Q. (∃B. ∀i. P i ≤ Q i + B) ⇔ ∃B N. ∀i. N ≤ i ⇒ P i ≤ Q i + B

⊦ ∀x m n.
    exp x m = exp x n ⇔ if x = 0 then m = 0 ⇔ n = 0 else x = 1 ∨ m = n

⊦ ∀x m n.
    exp x m ≤ exp x n ⇔ if x = 0 then m = 0 ⇒ n = 0 else x = 1 ∨ m ≤ n

⊦ ∀m n p q r s.
    distance m n ≤ r ∧ distance p q ≤ s ⇒
    distance m p ≤ distance n q + (r + s)

⊦ ∀x m n. exp x m < exp x n ⇔ 2 ≤ x ∧ m < n ∨ x = 0 ∧ ¬(m = 0) ∧ n = 0

⊦ ∀a b c d. b * c < (a + 1) * d ∧ a * d < (c + 1) * b ⇒ a div b = c div d

⊦ ∀a b n.
    ¬(n = 0) ⇒
    ((a + b) mod n = a mod n + b mod n ⇔ (a + b) div n = a div n + b div n)

⊦ ∀P A B.
    P 0 0 = 0 ∧ (∀m n. P m n ≤ A * (m + n) + B) ⇒
    ∃B. ∀m n. P m n ≤ B * (m + n)

Input Type Operators

• →
• bool
• ind

Input Constants

• =
• select
• Data
  • Bool
    • ∀
    • ∧
    • ⇒
    • ∃
    • ∃!
    • ∨
    • ¬
    • cond
    • F
    • T
• Function
  • injective
  • surjective

Assumptions

⊦ T

⊦ ¬F ⇔ T

⊦ ¬T ⇔ F

⊦ ∀t. t ⇒ t

⊦ F ⇔ ∀p. p

⊦ ∀t. t ∨ ¬t

⊦ (¬) = λp. p ⇒ F

⊦ (∃) = λp. p ((select) p)

⊦ ∀a. ∃x. x = a

⊦ ∀a. ∃!x. x = a

⊦ ∀t. (∀x. t) ⇔ t

⊦ ∀t. (∃x. t) ⇔ t

⊦ ∀t. (λx. t x) = t

⊦ T ⇔ (λp. p) = λp. p

⊦ (∀) = λp. p = λx. T

⊦ ∀t. ¬¬t ⇔ t

⊦ ∀t. (T ⇔ t) ⇔ t

⊦ ∀t. (t ⇔ T) ⇔ t

⊦ ∀t. F ∧ t ⇔ F

⊦ ∀t. T ∧ t ⇔ t

⊦ ∀t. t ∧ F ⇔ F

⊦ ∀t. t ∧ T ⇔ t

⊦ ∀t. t ∧ t ⇔ t

⊦ ∀t. F ⇒ t ⇔ T

⊦ ∀t. T ⇒ t ⇔ t

⊦ ∀t. t ⇒ T ⇔ T

⊦ ∀t. F ∨ t ⇔ t

⊦ ∀t. T ∨ t ⇔ T

⊦ ∀t. t ∨ F ⇔ t

⊦ ∀t. t ∨ T ⇔ T

⊦ ∀t. t ∨ t ⇔ t

⊦ ∀t. (F ⇔ t) ⇔ ¬t

⊦ ∀t. (t ⇔ F) ⇔ ¬t

⊦ ∀t. t ⇒ F ⇔ ¬t

⊦ (⇒) = λp q. p ∧ q ⇔ p

⊦ ∀t. (t ⇔ T) ∨ (t ⇔ F)

⊦ ∀t1 t2. (if F then t1 else t2) = t2

⊦ ∀t1 t2. (if T then t1 else t2) = t1

⊦ ∀p x. p x ⇒ p ((select) p)

⊦ ∀f y. (let x ← y in f x) = f y

⊦ ∀x y. x = y ⇔ y = x

⊦ ∀x y. x = y ⇒ y = x

⊦ ∀t1 t2. t1 ∧ t2 ⇔ t2 ∧ t1

⊦ ∀t1 t2. t1 ∨ t2 ⇔ t2 ∨ t1

⊦ (∧) = λp q. (λf. f p q) = λf. f T T

⊦ ∀f. surjective f ⇔ ∀y. ∃x. y = f x

⊦ ∀p. ¬(∀x. p x) ⇔ ∃x. ¬p x

⊦ ∀p. ¬(∃x. p x) ⇔ ∀x. ¬p x

⊦ (∃) = λp. ∀q. (∀x. p x ⇒ q) ⇒ q

⊦ ∀t1 t2. ¬(t1 ⇒ t2) ⇔ t1 ∧ ¬t2

⊦ ∀t1 t2. ¬(t1 ∧ t2) ⇔ ¬t1 ∨ ¬t2

⊦ ∀t1 t2. ¬(t1 ∨ t2) ⇔ ¬t1 ∧ ¬t2

⊦ ∀f g. (∀x. f x = g x) ⇔ f = g

⊦ ∀p a. (∀x. x = a ⇒ p x) ⇔ p a

⊦ ∀p a. (∃x. a = x ∧ p x) ⇔ p a

⊦ (∨) = λp q. ∀r. (p ⇒ r) ⇒ (q ⇒ r) ⇒ r

⊦ ∀p. (∃x y. p x y) ⇔ ∃y x. p x y

⊦ ∀p q. (∀x. p ⇒ q x) ⇔ p ⇒ ∀x. q x

⊦ ∀p q. (∃x. p ∧ q x) ⇔ p ∧ ∃x. q x

⊦ ∀p q. p ∧ (∃x. q x) ⇔ ∃x. p ∧ q x

⊦ ∀p q. p ∨ (∃x. q x) ⇔ ∃x. p ∨ q x

⊦ ∀p q. (∀x. p x ∨ q) ⇔ (∀x. p x) ∨ q

⊦ ∀p q. (∃x. p x ∧ q) ⇔ (∃x. p x) ∧ q

⊦ ∀p q. (∃x. p x) ∧ q ⇔ ∃x. p x ∧ q

⊦ ∀p q. (∃x. p x) ⇒ q ⇔ ∀x. p x ⇒ q

⊦ ∀p q. (∀x. p x) ∨ q ⇔ ∀x. p x ∨ q

⊦ ∀p q. (∃x. p x) ∨ q ⇔ ∃x. p x ∨ q

⊦ ∀x y z. x = y ∧ y = z ⇒ x = z

⊦ ∀t1 t2 t3. (t1 ∨ t2) ∨ t3 ⇔ t1 ∨ t2 ∨ t3

⊦ ∀p. (∀x. ∃y. p x y) ⇔ ∃y. ∀x. p x (y x)

⊦ ∀f. injective f ⇔ ∀x1 x2. f x1 = f x2 ⇒ x1 = x2

⊦ (∃!) = λp. (∃) p ∧ ∀x y. p x ∧ p y ⇒ x = y

⊦ ∀p q. (∀x. p x ∧ q x) ⇔ (∀x. p x) ∧ ∀x. q x

⊦ ∀p q. (∃x. p x ∨ q x) ⇔ (∃x. p x) ∨ ∃x. q x

⊦ ∀p q. (∀x. p x ⇒ q x) ⇒ (∃x. p x) ⇒ ∃x. q x

⊦ ∀p q. (∀x. p x) ∧ (∀x. q x) ⇔ ∀x. p x ∧ q x

⊦ ∀p q. (∃x. p x) ∨ (∃x. q x) ⇔ ∃x. p x ∨ q x

⊦ ∀p1 p2 q1 q2. (p1 ⇒ p2) ∧ (q1 ⇒ q2) ⇒ p1 ∧ q1 ⇒ p2 ∧ q2

⊦ ∀p1 p2 q1 q2. (p1 ⇒ p2) ∧ (q1 ⇒ q2) ⇒ p1 ∨ q1 ⇒ p2 ∨ q2