Package natural-div: Natural number division

Information

namenatural-div
version1.21
descriptionNatural number division
authorJoe Hurd <joe@gilith.com>
licenseMIT
requiresbool
natural-def
natural-thm
natural-numeral
natural-order
natural-add
natural-mult
natural-exp
natural-sub
showData.Bool
Number.Natural

Files

Defined Constants

Theorems

even 0 T

odd 0 F

n. even n odd n

n. ¬(even n odd n)

n. even (2 * n)

n. ¬even n odd n

n. ¬odd n even n

n. n div 1 = n

n. n mod 1 = 0

n. odd (suc (2 * n))

n. even (suc n) ¬even n

n. odd (suc n) ¬odd n

m n. n * (m div n) m

n. even n n mod 2 = 0

n. ¬(n = 0) 0 div n = 0

n. ¬(n = 0) 0 mod n = 0

n. ¬(n = 0) n mod n = 0

m n. m < n m div n = 0

m n. m < n m mod n = m

n. odd n n mod 2 = 1

n. ¬(n = 0) n div n = 1

m n. even (m * n) even m even n

m n. even (m + n) even m even n

m n. odd (m * n) odd m odd n

m n. ¬(n = 0) m mod n < n

m n. ¬(n = 0) m div n m

m n. ¬(n = 0) m mod n m

n. even n m. n = 2 * m

m n. odd (m + n) ¬(odd m odd n)

m n. odd (exp m n) odd m n = 0

n. odd n m. n = suc (2 * m)

m n. even (exp m n) even m ¬(n = 0)

m n. ¬(m = 0) m * n div m = n

m n. ¬(m = 0) m * n mod m = 0

m n p. (m * n + p) mod n = p mod n

m n. n m (even (m - n) even m even n)

m n. ¬(n = 0) (m div n = 0 m < n)

m n. ¬(n = 0) m mod n mod n = m mod n

m n. n m (odd (m - n) ¬(odd m odd n))

m n. ¬(n = 0) m div n * n + m mod n = m

a b n. ¬(a = 0) (n b div a a * n b)

m n p. ¬(p = 0) m * (n div p) m * n div p

m n p. ¬(p = 0) m n m div p n div p

m n p. ¬(p = 0) p m n div m n div p

a b n. ¬(a = 0) b a * n b div a n

m n. ¬(n = 0) (m mod n = 0 q. m = q * n)

m n p q. m = n + q * p m mod p = n mod p

n. (k m. odd m n = exp 2 k * m) ¬(n = 0)

m n p. ¬(n = 0) m * (p mod n) mod n = m * p mod n

m n p. ¬(n = 0) m mod n * p mod n = m * p mod n

m n p. ¬(n = 0) exp (m mod n) p mod n = exp m p mod n

a b n. ¬(n = 0) (a * n + b) div n = a + b div n

m n p. ¬(m * p = 0) m * n div (m * p) = n div p

m n p. ¬(n * p = 0) m div n div p = m div (n * p)

m n p. ¬(n * p = 0) m mod (n * p) mod n = m mod n

m n p. ¬(p = 0) m + p n m div p < n div p

m n. (q. m = n * q) if n = 0 then m = 0 else m mod n = 0

m n q r. m = q * n + r r < n m div n = q

m n q r. m = q * n + r r < n m mod n = r

a b n. ¬(a = 0) (b div a n b < a * (n + 1))

m n p. ¬(n = 0) m mod n * (p mod n) mod n = m * p mod n

a b n. ¬(n = 0) (a mod n + b mod n) mod n = (a + b) mod n

m n p. ¬(m * p = 0) m * n mod (m * p) = m * (n mod p)

m n p. ¬(n * p = 0) m div n mod p = m mod (n * p) div n

x p m n. ¬(p = 0) x mod exp p m mod exp p n = x mod exp p (min m n)

a b c d. ¬(b = 0) b * c < (a + 1) * d c div d a div b

a b c d. b * c < (a + 1) * d a * d < (c + 1) * b a div b = c div d

a b n.
    ¬(n = 0)
    ((a + b) mod n = a mod n + b mod n (a + b) div n = a div n + b div n)

Input Type Operators

Input Constants

Assumptions

T

¬F T

¬T F

bit0 0 = 0

t. t t

n. 0 n

n. n n

F p. p

t. t ¬t

n. 0 < suc n

(¬) = λp. p F

() = λp. p ((select) p)

a. x. x = a

t. (x. t) t

t. (x. t) t

t. (λx. t x) = t

() = λp. p = λx. T

t. ¬¬t t

t. (T t) t

t. (t T) t

t. F t F

t. T t t

t. t F F

t. t T t

t. F t T

t. T t t

t. t T T

t. F t t

t. T t T

t. t F t

t. t T T

n. ¬(suc n = 0)

m. m < 0 F

n. 0 * n = 0

m. m * 0 = 0

n. 0 + n = n

m. m + 0 = m

t. (F t) ¬t

t. (t F) ¬t

t. t F ¬t

n. bit1 n = suc (bit0 n)

m. exp m 0 = 1

m. m * 1 = m

m. 1 * m = m

m n. m m + n

() = λp q. p q p

t. (t T) (t F)

m. suc m = m + 1

m. m 0 m = 0

t1 t2. (if F then t1 else t2) = t2

t1 t2. (if T then t1 else t2) = t1

n. 0 < n ¬(n = 0)

n. bit0 (suc n) = suc (suc (bit0 n))

x y. x = y y = x

x y. x = y y = x

t1 t2. t1 t2 t2 t1

m n. m * n = n * m

m n. m + n = n + m

m n. m n n m

m n. m + n - m = n

n. 2 * n = n + n

m n. ¬(m < n) n m

m n. ¬(m n) n < m

m n. m < suc n m n

m n. suc m n m < n

() = λp q. (λf. f p q) = λf. f T T

p. ¬(x. p x) x. ¬p x

p. ¬(x. p x) x. ¬p x

() = λp. q. (x. p x q) q

t1 t2. ¬(t1 t2) t1 ¬t2

m n. m + suc n = suc (m + n)

m n. suc m + n = suc (m + n)

m n. m < m + n 0 < n

m n. n < m + n 0 < m

t1 t2. ¬(t1 t2) ¬t1 ¬t2

m n. min m n = if m n then m else n

m n. m * suc n = m + m * n

m n. exp m (suc n) = m * exp m n

m n. suc m * n = m * n + n

m n. m n d. n = m + d

() = λp q. r. (p r) (q r) r

m n. m n n m m = n

p. (x y. p x y) y x. p x y

p q. (x. p q x) p x. q x

p q. p (x. q x) x. p q x

p q. p (x. q x) x. p q x

m n. m < suc n m = n m < n

p q. (x. p x q) (x. p x) q

p q. (x. p x q) (x. p x) q

p q. (x. p x) q x. p x q

p q. (x. p x) q x. p x q

p q. (x. p x) q x. p x q

p q. (x. p x) q x. p x q

x y z. x = y y = z x = z

t1 t2 t3. (t1 t2) t3 t1 t2 t3

m n p. m * (n * p) = n * (m * p)

m n p. m * (n * p) = m * n * p

m n p. m + (n + p) = m + n + p

m n p. m + n = m + p n = p

m n p. m + p = n + p m = n

m n p. m + n < m + p n < p

m n p. m + p n + p m n

m n p. m < n n p m < p

m n p. m n n < p m < p

m n p. m n n p m p

p. (x. y. p x y) y. x. p x (y x)

m n. m suc n m = suc n m n

m n. m * n = 0 m = 0 n = 0

P. P 0 (n. P n P (suc n)) n. P n

m n. exp m n = 0 m = 0 ¬(n = 0)

m n p. m * (n + p) = m * n + m * p

m n p. exp m (n + p) = exp m n * exp m p

m n p. (m + n) * p = m * p + n * p

(∃!) = λp. () p x y. p x p y x = y

P. (n. (m. m < n P m) P n) n. P n

p q. (x. p x q x) (x. p x) x. q x

p q. (x. p x q x) (x. p x) x. q x

p q. (x. p x) (x. q x) x. p x q x

p q. (x. p x) (x. q x) x. p x q x

e f. ∃!fn. fn 0 = e n. fn (suc n) = f (fn n) n

P. (n. P n) n. P n m. m < n ¬P m

m n p. m * n = m * p m = 0 n = p

m n p. m * p = n * p m = n p = 0

m n p. m * n m * p m = 0 n p

m n p. m * p n * p m n p = 0

m n p. m * n < m * p ¬(m = 0) n < p

m n p. m * p < n * p m < n ¬(p = 0)

p1 p2 q1 q2. (p2 p1) (q1 q2) (p1 q1) p2 q2

m n p q. m p n q m + n p + q

p c x y. p (if c then x else y) (c p x) (¬c p y)

x m n.
    exp x m exp x n if x = 0 then m = 0 n = 0 else x = 1 m n