Package natural-div-mod-thm: natural-div-mod-thm

Information

namenatural-div-mod-thm
version1.0
descriptionnatural-div-mod-thm
authorJoe Hurd <joe@gilith.com>
licenseHOLLight
provenanceHOL Light theory extracted on 2011-02-19
showData.Bool

Files

Theorems

n. Number.Natural.div n (Number.Numeral.bit1 Number.Numeral.zero) = n

n.
    Number.Natural.mod n (Number.Numeral.bit1 Number.Numeral.zero) =
    Number.Numeral.zero

m n. Number.Natural.≤ (Number.Natural.* n (Number.Natural.div m n)) m

n.
    Number.Natural.even n
    Number.Natural.mod n
      (Number.Numeral.bit0 (Number.Numeral.bit1 Number.Numeral.zero)) =
    Number.Numeral.zero

n.
    ¬(n = Number.Numeral.zero)
    Number.Natural.div Number.Numeral.zero n = Number.Numeral.zero

n.
    ¬(n = Number.Numeral.zero)
    Number.Natural.mod Number.Numeral.zero n = Number.Numeral.zero

m n. Number.Natural.< m n Number.Natural.div m n = Number.Numeral.zero

m n. Number.Natural.< m n Number.Natural.mod m n = m

n.
    Number.Natural.odd n
    Number.Natural.mod n
      (Number.Numeral.bit0 (Number.Numeral.bit1 Number.Numeral.zero)) =
    Number.Numeral.bit1 Number.Numeral.zero

n.
    ¬(n = Number.Numeral.zero)
    Number.Natural.div n n = Number.Numeral.bit1 Number.Numeral.zero

m n.
    ¬(n = Number.Numeral.zero)
    Number.Natural.≤ (Number.Natural.div m n) m

m n.
    ¬(n = Number.Numeral.zero)
    Number.Natural.≤ (Number.Natural.mod m n) m

m n.
    ¬(m = Number.Numeral.zero)
    Number.Natural.div (Number.Natural.* m n) m = n

m n.
    ¬(m = Number.Numeral.zero)
    Number.Natural.mod (Number.Natural.* m n) m = Number.Numeral.zero

m n p.
    Number.Natural.mod (Number.Natural.+ (Number.Natural.* m n) p) n =
    Number.Natural.mod p n

m n.
    ¬(n = Number.Numeral.zero)
    (Number.Natural.div m n = Number.Numeral.zero Number.Natural.< m n)

m n.
    ¬(n = Number.Numeral.zero)
    Number.Natural.mod (Number.Natural.mod m n) n = Number.Natural.mod m n

a b n.
    ¬(a = Number.Numeral.zero)
    (Number.Natural.≤ n (Number.Natural.div b a)
     Number.Natural.≤ (Number.Natural.* a n) b)

m n p.
    ¬(p = Number.Numeral.zero)
    Number.Natural.≤ (Number.Natural.* m (Number.Natural.div n p))
      (Number.Natural.div (Number.Natural.* m n) p)

m n p.
    ¬(p = Number.Numeral.zero) Number.Natural.≤ m n
    Number.Natural.≤ (Number.Natural.div m p) (Number.Natural.div n p)

m n p.
    ¬(p = Number.Numeral.zero) Number.Natural.≤ p m
    Number.Natural.≤ (Number.Natural.div n m) (Number.Natural.div n p)

a b n.
    ¬(a = Number.Numeral.zero)
    Number.Natural.≤ b (Number.Natural.* a n)
    Number.Natural.≤ (Number.Natural.div b a) n

m n.
    ¬(n = Number.Numeral.zero)
    (Number.Natural.mod m n = Number.Numeral.zero
     q. m = Number.Natural.* q n)

m n p q.
    m = Number.Natural.+ n (Number.Natural.* q p)
    Number.Natural.mod m p = Number.Natural.mod n p

m n p.
    ¬(n = Number.Numeral.zero)
    Number.Natural.mod (Number.Natural.* m (Number.Natural.mod p n)) n =
    Number.Natural.mod (Number.Natural.* m p) n

m n p.
    ¬(n = Number.Numeral.zero)
    Number.Natural.mod (Number.Natural.* (Number.Natural.mod m n) p) n =
    Number.Natural.mod (Number.Natural.* m p) n

m n p.
    ¬(n = Number.Numeral.zero)
    Number.Natural.mod (Number.Natural.exp (Number.Natural.mod m n) p) n =
    Number.Natural.mod (Number.Natural.exp m p) n

m n p.
    ¬(Number.Natural.* m p = Number.Numeral.zero)
    Number.Natural.div (Number.Natural.* m n) (Number.Natural.* m p) =
    Number.Natural.div n p

m n p.
    ¬(Number.Natural.* n p = Number.Numeral.zero)
    Number.Natural.div (Number.Natural.div m n) p =
    Number.Natural.div m (Number.Natural.* n p)

m n p.
    ¬(Number.Natural.* n p = Number.Numeral.zero)
    Number.Natural.mod (Number.Natural.mod m (Number.Natural.* n p)) n =
    Number.Natural.mod m n

m n p.
    ¬(p = Number.Numeral.zero)
    Number.Natural.≤ (Number.Natural.+ m p) n
    Number.Natural.< (Number.Natural.div m p) (Number.Natural.div n p)

m n.
    (q. m = Number.Natural.* n q)
    (if n = Number.Numeral.zero then m = Number.Numeral.zero
     else Number.Natural.mod m n = Number.Numeral.zero)

m n q r.
    m = Number.Natural.+ (Number.Natural.* q n) r Number.Natural.< r n
    Number.Natural.div m n = q

m n q r.
    m = Number.Natural.+ (Number.Natural.* q n) r Number.Natural.< r n
    Number.Natural.mod m n = r

a b n.
    ¬(a = Number.Numeral.zero)
    (Number.Natural.≤ (Number.Natural.div b a) n
     Number.Natural.< b
       (Number.Natural.* a
          (Number.Natural.+ n (Number.Numeral.bit1 Number.Numeral.zero))))

m n p.
    ¬(n = Number.Numeral.zero)
    Number.Natural.mod
      (Number.Natural.* (Number.Natural.mod m n) (Number.Natural.mod p n))
      n = Number.Natural.mod (Number.Natural.* m p) n

a b n.
    ¬(n = Number.Numeral.zero)
    Number.Natural.mod
      (Number.Natural.+ (Number.Natural.mod a n) (Number.Natural.mod b n))
      n = Number.Natural.mod (Number.Natural.+ a b) n

m n p.
    ¬(Number.Natural.* m p = Number.Numeral.zero)
    Number.Natural.mod (Number.Natural.* m n) (Number.Natural.* m p) =
    Number.Natural.* m (Number.Natural.mod n p)

m n p.
    ¬(Number.Natural.* n p = Number.Numeral.zero)
    Number.Natural.mod (Number.Natural.div m n) p =
    Number.Natural.div (Number.Natural.mod m (Number.Natural.* n p)) n

m n q r.
    m = Number.Natural.+ (Number.Natural.* q n) r Number.Natural.< r n
    Number.Natural.div m n = q Number.Natural.mod m n = r

a b c d.
    ¬(b = Number.Numeral.zero)
    Number.Natural.< (Number.Natural.* b c)
      (Number.Natural.*
         (Number.Natural.+ a (Number.Numeral.bit1 Number.Numeral.zero))
         d)
    Number.Natural.≤ (Number.Natural.div c d) (Number.Natural.div a b)

a b c d.
    Number.Natural.< (Number.Natural.* b c)
      (Number.Natural.*
         (Number.Natural.+ a (Number.Numeral.bit1 Number.Numeral.zero))
         d)
    Number.Natural.< (Number.Natural.* a d)
      (Number.Natural.*
         (Number.Natural.+ c (Number.Numeral.bit1 Number.Numeral.zero))
         b) Number.Natural.div a b = Number.Natural.div c d

a b n.
    ¬(n = Number.Numeral.zero)
    (Number.Natural.mod (Number.Natural.+ a b) n =
     Number.Natural.+ (Number.Natural.mod a n) (Number.Natural.mod b n)
     Number.Natural.div (Number.Natural.+ a b) n =
     Number.Natural.+ (Number.Natural.div a n) (Number.Natural.div b n))

Input Type Operators

Input Constants

Assumptions

T

n. Number.Natural.≤ Number.Numeral.zero n

n. Number.Natural.≤ n n

F p. p

Number.Numeral.bit1 Number.Numeral.zero =
  Number.Natural.suc Number.Numeral.zero

t. t ¬t

n. Number.Natural.< Number.Numeral.zero (Number.Natural.suc n)

(¬) = λp. p F

t. (x. t) t

t. (x. t) t

t. (λx. t x) = t

() = λP. P = λx. T

x. x = x T

n. ¬(Number.Natural.suc n = Number.Numeral.zero)

Number.Numeral.bit0 (Number.Numeral.bit1 Number.Numeral.zero) =
  Number.Natural.suc (Number.Numeral.bit1 Number.Numeral.zero)

n. ¬Number.Natural.even n Number.Natural.odd n

m n. Number.Natural.≤ m (Number.Natural.+ m n)

() = λp q. p q p

t. (t T) (t F)

m.
    Number.Natural.suc m =
    Number.Natural.+ m (Number.Numeral.bit1 Number.Numeral.zero)

(¬T F) (¬F T)

n. Number.Natural.< Number.Numeral.zero n ¬(n = Number.Numeral.zero)

x y. x = y y = x

m n. Number.Natural.* m n = Number.Natural.* n m

m n. Number.Natural.+ m n = Number.Natural.+ n m

m n. Number.Natural.≤ m n Number.Natural.≤ n m

m n. ¬Number.Natural.< m n Number.Natural.≤ n m

m n. ¬Number.Natural.≤ m n Number.Natural.< n m

m n. Number.Natural.< m (Number.Natural.suc n) Number.Natural.≤ m n

m n. Number.Natural.≤ (Number.Natural.suc m) n Number.Natural.< m n

() = λp q. (λf. f p q) = λf. f T T

P. ¬(x. P x) x. ¬P x

P. ¬(x. P x) x. ¬P x

() = λP. q. (x. P x q) q

m n.
    Number.Natural.< m (Number.Natural.+ m n)
    Number.Natural.< Number.Numeral.zero n

m n.
    ¬(n = Number.Numeral.zero)
    Number.Natural.< (Number.Natural.mod m n) n

n.
    Number.Natural.even n
    m.
      n =
      Number.Natural.*
        (Number.Numeral.bit0 (Number.Numeral.bit1 Number.Numeral.zero)) m

m n. Number.Natural.≤ m n d. n = Number.Natural.+ m d

() = λp q. r. (p r) (q r) r

m n. Number.Natural.≤ m n Number.Natural.≤ n m m = n

P Q. (x. P x Q) (x. P x) Q

P Q. (x. P x Q) (x. P x) Q

P Q. (x. P x) Q x. P x Q

x y z. x = y y = z x = z

t1 t2 t3. t1 t2 t3 (t1 t2) t3

m n p.
    Number.Natural.* m (Number.Natural.* n p) =
    Number.Natural.* (Number.Natural.* m n) p

m n p.
    Number.Natural.+ m (Number.Natural.+ n p) =
    Number.Natural.+ (Number.Natural.+ m n) p

m n p. Number.Natural.+ m n = Number.Natural.+ m p n = p

m n p. Number.Natural.+ m p = Number.Natural.+ n p m = n

m n p.
    Number.Natural.< (Number.Natural.+ m n) (Number.Natural.+ m p)
    Number.Natural.< n p

m n p.
    Number.Natural.≤ (Number.Natural.+ m p) (Number.Natural.+ n p)
    Number.Natural.≤ m n

m n p.
    Number.Natural.≤ m n Number.Natural.< n p Number.Natural.< m p

m n p.
    Number.Natural.≤ m n Number.Natural.≤ n p Number.Natural.≤ m p

m n.
    Number.Natural.* m n = Number.Numeral.zero
    m = Number.Numeral.zero n = Number.Numeral.zero

P.
    P Number.Numeral.zero (n. P n P (Number.Natural.suc n)) n. P n

(t. ¬¬t t) (¬T F) (¬F T)

m n p.
    Number.Natural.* m (Number.Natural.+ n p) =
    Number.Natural.+ (Number.Natural.* m n) (Number.Natural.* m p)

m n p.
    Number.Natural.* (Number.Natural.+ m n) p =
    Number.Natural.+ (Number.Natural.* m p) (Number.Natural.* n p)

P Q. (x. P x Q x) (x. P x) x. Q x

P Q. (x. P x) (x. Q x) x. P x Q x

m n.
    ¬(n = Number.Numeral.zero)
    Number.Natural.+ (Number.Natural.* (Number.Natural.div m n) n)
      (Number.Natural.mod m n) = m

m n p.
    Number.Natural.* m n = Number.Natural.* m p
    m = Number.Numeral.zero n = p

m n p.
    Number.Natural.* m p = Number.Natural.* n p
    m = n p = Number.Numeral.zero

m n p.
    Number.Natural.≤ (Number.Natural.* m n) (Number.Natural.* m p)
    m = Number.Numeral.zero Number.Natural.≤ n p

m n p.
    Number.Natural.≤ (Number.Natural.* m p) (Number.Natural.* n p)
    Number.Natural.≤ m n p = Number.Numeral.zero

m n p.
    Number.Natural.< (Number.Natural.* m n) (Number.Natural.* m p)
    ¬(m = Number.Numeral.zero) Number.Natural.< n p

m n p.
    Number.Natural.< (Number.Natural.* m p) (Number.Natural.* n p)
    Number.Natural.< m n ¬(p = Number.Numeral.zero)

A B C D. (B A) (C D) (A C) B D

m n p q.
    Number.Natural.≤ m p Number.Natural.≤ n q
    Number.Natural.≤ (Number.Natural.+ m n) (Number.Natural.+ p q)

(m.
     Number.Natural.exp m Number.Numeral.zero =
     Number.Numeral.bit1 Number.Numeral.zero)
  m n.
    Number.Natural.exp m (Number.Natural.suc n) =
    Number.Natural.* m (Number.Natural.exp m n)

P c x y. P (if c then x else y) (c P x) (¬c P y)

(m. Number.Natural.< m Number.Numeral.zero F)
  m n.
    Number.Natural.< m (Number.Natural.suc n)
    m = n Number.Natural.< m n

t1 t2. (¬(t1 t2) ¬t1 ¬t2) (¬(t1 t2) ¬t1 ¬t2)

(m. Number.Natural.≤ m Number.Numeral.zero m = Number.Numeral.zero)
  m n.
    Number.Natural.≤ m (Number.Natural.suc n)
    m = Number.Natural.suc n Number.Natural.≤ m n

t. ((T t) t) ((t T) t) ((F t) ¬t) ((t F) ¬t)

t. (T t t) (t T t) (F t F) (t F F) (t t t)

t. (T t T) (t T T) (F t t) (t F t) (t t t)

t. (T t t) (t T T) (F t T) (t t T) (t F ¬t)

m n p.
    Number.Natural.* m n = Number.Natural.* n m
    Number.Natural.* (Number.Natural.* m n) p =
    Number.Natural.* m (Number.Natural.* n p)
    Number.Natural.* m (Number.Natural.* n p) =
    Number.Natural.* n (Number.Natural.* m p)

m n p.
    Number.Natural.+ m n = Number.Natural.+ n m
    Number.Natural.+ (Number.Natural.+ m n) p =
    Number.Natural.+ m (Number.Natural.+ n p)
    Number.Natural.+ m (Number.Natural.+ n p) =
    Number.Natural.+ n (Number.Natural.+ m p)

(n. Number.Natural.+ Number.Numeral.zero n = n)
  (m. Number.Natural.+ m Number.Numeral.zero = m)
  (m n.
     Number.Natural.+ (Number.Natural.suc m) n =
     Number.Natural.suc (Number.Natural.+ m n))
  m n.
    Number.Natural.+ m (Number.Natural.suc n) =
    Number.Natural.suc (Number.Natural.+ m n)

p q r.
    (p q q p) ((p q) r p q r) (p q r q p r)
    (p p p) (p p q p q)

(n. Number.Natural.* Number.Numeral.zero n = Number.Numeral.zero)
  (m. Number.Natural.* m Number.Numeral.zero = Number.Numeral.zero)
  (n. Number.Natural.* (Number.Numeral.bit1 Number.Numeral.zero) n = n)
  (m. Number.Natural.* m (Number.Numeral.bit1 Number.Numeral.zero) = m)
  (m n.
     Number.Natural.* (Number.Natural.suc m) n =
     Number.Natural.+ (Number.Natural.* m n) n)
  m n.
    Number.Natural.* m (Number.Natural.suc n) =
    Number.Natural.+ m (Number.Natural.* m n)