Package natural-divides: The divides relation on natural numbers
Information
| name | natural-divides |
| version | 1.16 |
| description | The divides relation on natural numbers |
| author | Joe Hurd <joe@gilith.com> |
| license | MIT |
| requires | bool natural |
| show | Data.Bool Number.Natural |
Files
- Package tarball natural-divides-1.16.tgz
- Theory file natural-divides.thy (included in the package tarball)
Defined Constant
- Number
- Natural
- divides
- Natural
Theorems
⊦ ∀a. divides a 0
⊦ ∀a. divides a a
⊦ ∀a. divides 1 a
⊦ ∀a. divides 0 a ⇔ a = 0
⊦ ∀a. divides 2 a ⇔ even a
⊦ ∀a b. a = b ⇒ divides a b
⊦ ∀a. divides a 1 ⇔ a = 1
⊦ ∀a b c. divides a b ⇒ divides a (b * c)
⊦ ∀a b c. divides a c ⇒ divides a (b * c)
⊦ ∀a b c. divides (a * b) c ⇒ divides a c
⊦ ∀a b c. divides (a * b) c ⇒ divides b c
⊦ ∀a b. divides a b ⇔ ∃c. c * a = b
⊦ ∀a b. divides a b ∧ divides b a ⇒ a = b
⊦ ∀a b. ¬(b = 0) ∧ divides a b ⇒ a ≤ b
⊦ ∀a b c. divides a b ∧ divides b c ⇒ divides a c
⊦ ∀a b. (∀c. divides b c ⇒ divides a c) ⇔ divides a b
⊦ ∀a b. (∀c. divides c a ⇒ divides c b) ⇔ divides a b
⊦ ∀a b. (∀c. divides b c ⇒ divides a c) ⇒ divides a b
⊦ ∀a b. (∀c. divides c a ⇒ divides c b) ⇒ divides a b
⊦ ∀a b. ¬(b = 0) ∧ b ≤ a ⇒ divides b (factorial a)
⊦ ∀a b. ¬(a = 0) ⇒ (divides a b ⇔ b mod a = 0)
⊦ ∀a b c. divides a b ∧ divides a c ⇒ divides a (b + c)
⊦ ∀a. divides a 2 ⇔ a = 1 ∨ a = 2
⊦ ∀a. divides a 3 ⇔ a = 1 ∨ a = 3
⊦ ∀a b. divides a b ⇔ if a = 0 then b = 0 else b mod a = 0
⊦ ∀a b. ¬(a = 0) ⇒ (divides a b ⇔ b div a * a = b)
⊦ ∀a b c. divides (a * b) (a * c) ⇔ a = 0 ∨ divides b c
⊦ ∀a b c. divides (b * a) (c * a) ⇔ a = 0 ∨ divides b c
⊦ ∀a b c d. divides a c ∧ divides b d ⇒ divides (a * b) (c * d)
⊦ ∀a b c. c ≤ b ∧ divides a b ∧ divides a c ⇒ divides a (b - c)
⊦ ∀a b.
∃g.
divides g a ∧ divides g b ∧
∀c. divides c a ∧ divides c b ⇒ divides c g
⊦ ∀p.
(∀n. p 0 n) ∧ (∀m n. n < m ∧ p n m ⇒ p m n) ∧
(∀m n. p m n ⇒ p m (n + m)) ⇒ ∀m n. p m n
Input Type Operators
- →
- bool
- Number
- Natural
- natural
- Natural
Input Constants
- =
- Data
- Bool
- ∀
- ∧
- ⇒
- ∃
- ∨
- ¬
- cond
- ⊥
- ⊤
- Bool
- Number
- Natural
- *
- +
- -
- <
- ≤
- bit0
- bit1
- div
- even
- factorial
- mod
- suc
- zero
- Natural
Assumptions
⊦ ⊤
⊦ ¬⊥ ⇔ ⊤
⊦ ¬⊤ ⇔ ⊥
⊦ bit0 0 = 0
⊦ ∀t. t ⇒ t
⊦ ∀n. 0 ≤ n
⊦ ⊥ ⇔ ∀p. p
⊦ ∀t. t ∨ ¬t
⊦ (¬) = λp. p ⇒ ⊥
⊦ ∀t. (∀x. t) ⇔ t
⊦ ∀t. (∃x. t) ⇔ t
⊦ ∀t. (λx. t x) = t
⊦ (∀) = λp. p = λx. ⊤
⊦ ∀t. ¬¬t ⇔ t
⊦ ∀t. (⊤ ⇔ t) ⇔ t
⊦ ∀t. (t ⇔ ⊤) ⇔ t
⊦ ∀t. ⊥ ∧ t ⇔ ⊥
⊦ ∀t. ⊤ ∧ t ⇔ t
⊦ ∀t. t ∧ ⊥ ⇔ ⊥
⊦ ∀t. t ∧ ⊤ ⇔ t
⊦ ∀t. ⊥ ⇒ t ⇔ ⊤
⊦ ∀t. ⊤ ⇒ t ⇔ t
⊦ ∀t. t ⇒ ⊤ ⇔ ⊤
⊦ ∀t. ⊥ ∨ t ⇔ t
⊦ ∀t. ⊤ ∨ t ⇔ ⊤
⊦ ∀t. t ∨ ⊥ ⇔ t
⊦ ∀n. ¬(suc n = 0)
⊦ ∀n. 0 * n = 0
⊦ ∀m. m * 0 = 0
⊦ ∀n. 0 + n = n
⊦ ∀m. m + 0 = m
⊦ ∀n. n - n = 0
⊦ ∀t. (⊥ ⇔ t) ⇔ ¬t
⊦ ∀t. (t ⇔ ⊥) ⇔ ¬t
⊦ ∀t. t ⇒ ⊥ ⇔ ¬t
⊦ ∀n. bit1 n = suc (bit0 n)
⊦ ∀m. m * 1 = m
⊦ ∀m. 1 * m = m
⊦ ∀m n. n ≤ m + n
⊦ (⇒) = λp q. p ∧ q ⇔ p
⊦ ∀t. (t ⇔ ⊤) ∨ (t ⇔ ⊥)
⊦ ∀n. even (suc n) ⇔ ¬even n
⊦ ∀m. m ≤ 0 ⇔ m = 0
⊦ ∀t1 t2. (if ⊥ then t1 else t2) = t2
⊦ ∀t1 t2. (if ⊤ then t1 else t2) = t1
⊦ ∀n. 0 < n ⇔ ¬(n = 0)
⊦ ∀n. bit0 (suc n) = suc (suc (bit0 n))
⊦ ∀x y. x = y ⇔ y = x
⊦ ∀x y. x = y ⇒ y = x
⊦ ∀t1 t2. t1 ∨ t2 ⇔ t2 ∨ t1
⊦ ∀m n. m * n = n * m
⊦ ∀m n. m + n = n + m
⊦ ∀m n. m + n - n = m
⊦ ∀n. factorial (suc n) = suc n * factorial n
⊦ ∀n. 2 * n = n + n
⊦ ∀m n. ¬(m ≤ n) ⇔ n < m
⊦ ∀m n. suc m ≤ n ⇔ m < n
⊦ ∀p. (∀b. p b) ⇔ p ⊤ ∧ p ⊥
⊦ (∧) = λp q. (λf. f p q) = λf. f ⊤ ⊤
⊦ ∀n. even n ⇔ n mod 2 = 0
⊦ ∀p. ¬(∀x. p x) ⇔ ∃x. ¬p x
⊦ (∃) = λp. ∀q. (∀x. p x ⇒ q) ⇒ q
⊦ ∀t1 t2. ¬(t1 ⇒ t2) ⇔ t1 ∧ ¬t2
⊦ ∀m n. m + suc n = suc (m + n)
⊦ ∀m n. suc m + n = suc (m + n)
⊦ ∀m n. n < m + n ⇔ 0 < m
⊦ ∀m n. suc m = suc n ⇔ m = n
⊦ ∀m n. m + n = m ⇔ n = 0
⊦ ∀t1 t2. ¬(t1 ∨ t2) ⇔ ¬t1 ∧ ¬t2
⊦ ∀m n. even (m * n) ⇔ even m ∨ even n
⊦ ∀m n. even (m + n) ⇔ even m ⇔ even n
⊦ ∀m n. m ≤ n ⇔ ∃d. n = m + d
⊦ ∀p a. (∃x. x = a ∧ p x) ⇔ p a
⊦ (∨) = λp q. ∀r. (p ⇒ r) ⇒ (q ⇒ r) ⇒ r
⊦ ∀m n. m ≤ n ⇔ m < n ∨ m = n
⊦ ∀m n. m ≤ n ∧ n ≤ m ⇔ m = n
⊦ ∀p q. p ∧ (∃x. q x) ⇔ ∃x. p ∧ q x
⊦ ∀p q. p ∨ (∀x. q x) ⇔ ∀x. p ∨ q x
⊦ ∀p q. p ∨ (∃x. q x) ⇔ ∃x. p ∨ q x
⊦ ∀m n. ¬(m = 0) ⇒ m * n div m = n
⊦ ∀p q. (∃x. p x) ∧ q ⇔ ∃x. p x ∧ q
⊦ ∀p q. (∃x. p x) ∨ q ⇔ ∃x. p x ∨ q
⊦ ∀m n p. m * (n * p) = m * n * p
⊦ ∀m n p. m + (n + p) = m + n + p
⊦ ∀m n p. m + n < m + p ⇔ n < p
⊦ ∀m n p. n + m < p + m ⇔ n < p
⊦ ∀m n. m ≤ suc n ⇔ m = suc n ∨ m ≤ n
⊦ ∀m n. m * n = 0 ⇔ m = 0 ∨ n = 0
⊦ ∀P. P 0 ∧ (∀n. P n ⇒ P (suc n)) ⇒ ∀n. P n
⊦ ∀m n. n * m = m ⇔ m = 0 ∨ n = 1
⊦ ∀m n p. (m + n) * p = m * p + n * p
⊦ ∀P. (∀n. (∀m. m < n ⇒ P m) ⇒ P n) ⇒ ∀n. P n
⊦ ∀p q. (∃x. p x) ∨ (∃x. q x) ⇔ ∃x. p x ∨ q x
⊦ ∀m n. ¬(n = 0) ⇒ m div n * n + m mod n = m
⊦ ∀m n. m * n = 1 ⇔ m = 1 ∧ n = 1
⊦ ∀m n p. m * n = m * p ⇔ m = 0 ∨ n = p
⊦ ∀m n p. m * p = n * p ⇔ m = n ∨ p = 0
⊦ ∀m n p. m * n ≤ m * p ⇔ m = 0 ∨ n ≤ p
⊦ ∀m n p. m * p ≤ n * p ⇔ m ≤ n ∨ p = 0
⊦ ∀m n p. m * n < m * p ⇔ ¬(m = 0) ∧ n < p
⊦ ∀m n p. n ≤ m ⇒ (m - n) * p = m * p - n * p