Package natural-exp: Natural number exponentiation

Information

namenatural-exp
version1.45
descriptionNatural number exponentiation
authorJoe Leslie-Hurd <joe@gilith.com>
licenseMIT
requiresbool
natural-add
natural-def
natural-div
natural-mult
natural-numeral
natural-order
natural-thm
showData.Bool
Number.Natural

Files

Defined Constants

Theorems

m. m 0 = 1

n. n 1 = n

n. n < 2 n

n. 1 n = 1

n. n 2 = n * n

n. 0 n = if n = 0 then 1 else 0

k. 1 < k log k 1 = 0

m n. m suc n = m * m n

m n. odd (m n) odd m n = 0

k n. 1 < k m. n k m

m n. even (m n) even m ¬(n = 0)

k m. 1 < k log k (k m) = m

x y n. x y x n y n

m n p. m (n * p) = (m n) p

n x. 0 < x n ¬(x = 0) n = 0

m n. m n = 0 m = 0 ¬(n = 0)

m n p. m (n + p) = m n * m p

p m n. (m * n) p = m p * n p

x n. x n = 1 x = 1 n = 0

x y n. x n = y n x = y n = 0

x y n. x n y n x y n = 0

k n. 1 < k ¬(n = 0) k log k n n

x y n. x n < y n x < y ¬(n = 0)

x y n. x < y ¬(n = 0) x n < y n

k m n. 1 < k k m n m log k n

k m. 1 < k log k (k (m + 1) - 1) = m

n. (k m. odd m n = 2 k * m) ¬(n = 0)

k n. 1 < k ¬(n = 0) (log k n = 0 n < k)

k n. 1 < k ¬(n = 0) n < k log k n = 0

n m p. ¬(n = 0) (m mod n) p mod n = m p mod n

k n. 1 < k ¬(n = 0) n < k (log k n + 1)

k n m. k m n n < k (m + 1) log k n = m

k n1 n2. 1 < k ¬(n1 = 0) n1 n2 log k n1 log k n2

k m n. 1 < k ¬(n = 0) n < k m log k n < m

x p m n. ¬(p = 0) x mod p m mod p n = x mod p min m n

k n.
    1 < k ¬(n = 0) log k n = if n < k then 0 else log k (n div k) + 1

x m n. x m = x n if x = 0 then m = 0 n = 0 else x = 1 m = n

x m n. x m x n if x = 0 then m = 0 n = 0 else x = 1 m n

x m n. x m < x n 2 x m < n x = 0 ¬(m = 0) n = 0

k n m. 1 < k ¬(n = 0) (log k n = m k m n n < k (m + 1))

k n1 n2.
    1 < k ¬(n1 = 0) ¬(n2 = 0)
    log k (n1 * n2) log k n1 + (log k n2 + 1)

External Type Operators

External Constants

Assumptions

even 0

¬odd 0

¬

¬

bit0 0 = 0

t. t t

n. 0 n

n. n n

p. p

t. t ¬t

m. ¬(m < 0)

n. ¬(n < n)

n. n < suc n

(¬) = λp. p

() = λp. p ((select) p)

t. (x. t) t

t. (x. t) t

t. (λx. t x) = t

() = λp. p = λx.

t. ¬¬t t

t. ( t) t

t. (t ) t

t. t

t. t t

t. t

t. t t

t. t

t. t t

t. t

t. t t

t. t

t. t t

t. t

n. ¬(suc n = 0)

n. even n odd n

n. 0 * n = 0

m. m * 0 = 0

n. 0 + n = n

m. m + 0 = m

t. ( t) ¬t

t. (t ) ¬t

t. t ¬t

n. bit1 n = suc (bit0 n)

m. m * 1 = m

m. 1 * m = m

m n. m m + n

() = λp q. p q p

t. (t ) (t )

m. suc m = m + 1

n. even (suc n) ¬even n

n. odd (suc n) ¬odd n

m. m 0 m = 0

n. suc n - 1 = n

t1 t2. (if then t1 else t2) = t2

t1 t2. (if then t1 else t2) = t1

n. 0 < n ¬(n = 0)

n. bit0 (suc n) = suc (suc (bit0 n))

x y. x = y y = x

t1 t2. t1 t2 t2 t1

m n. m * n = n * m

m n. m + n = n + m

m n. m < n m n

m n. m n n m

n. 2 * n = n + n

m n. ¬(m < n) n m

m n. ¬(m n) n < m

m n. m < suc n m n

m n. suc m n m < n

m. m = 0 n. m = suc n

() = λp q. (λf. f p q) = λf. f

p. ¬(x. p x) x. ¬p x

p. ¬(x. p x) x. ¬p x

() = λp. q. (x. p x q) q

t1 t2. ¬t1 ¬t2 t2 t1

m n. m < n m mod n = m

m n. m + suc n = suc (m + n)

m n. suc m + n = suc (m + n)

m n. m < m + n 0 < n

m n. suc m suc n m n

t1 t2. ¬(t1 t2) ¬t1 ¬t2

t1 t2. ¬(t1 t2) ¬t1 ¬t2

m n. min m n = if m n then m else n

m n. even (m * n) even m even n

m n. odd (m * n) odd m odd n

m n. m * suc n = m + m * n

m n. suc m * n = m * n + n

m n. ¬(n = 0) m mod n < n

n. even n m. n = 2 * m

m n. m n d. n = m + d

() = λp q. r. (p r) (q r) r

m n. m n n m m = n

m n. m < n d. n = m + suc d

p. (x y. p x y) y x. p x y

p q. (x. p q x) p x. q x

p q. p (x. q x) x. p q x

p q. p (x. q x) x. p q x

m n. m < suc n m = n m < n

p q. (x. p x) q x. p x q

p q. (x. p x) q x. p x q

x y z. x = y y = z x = z

t1 t2 t3. (t1 t2) t3 t1 t2 t3

m n p. m * (n * p) = n * (m * p)

m n p. m * (n * p) = m * n * p

m n p. m + (n + p) = m + n + p

m n p. m + n < m + p n < p

m n p. m + n m + p n p

m n p. m < n n < p m < p

m n p. m < n n p m < p

m n p. m n n < p m < p

m n p. m n n p m p

r. (x. y. r x y) f. x. r x (f x)

m n. m * n = 0 m = 0 n = 0

m n. m + n = 0 m = 0 n = 0

p. p 0 (n. p n p (suc n)) n. p n

m n. ¬(n = 0) (m div n = 0 m < n)

(∃!) = λp. () p x y. p x p y x = y

p. (n. (m. m < n p m) p n) n. p n

p q. (x. p x q x) (x. p x) x. q x

p q. (x. p x q x) (x. p x) x. q x

e f. ∃!fn. fn 0 = e n. fn (suc n) = f (fn n) n

m n. ¬(n = 0) (m div n) * n + m mod n = m

m n. m * n = 1 m = 1 n = 1

m n p. m * n m * p m = 0 n p

m n p. m * p n * p m n p = 0

p n. p n (m. m < n ¬p m) (minimal) p = n

p. (n. p n) p ((minimal) p) m. m < (minimal) p ¬p m

m n p. m * n < m * p ¬(m = 0) n < p

m n p. m * p < n * p m < n ¬(p = 0)

m n p q. m < p n q m + n < p + q

m n p q. m n p q m * p n * q

p c x y. p (if c then x else y) (c p x) (¬c p y)

n m p. ¬(n = 0) m * (p mod n) mod n = m * p mod n

n m p. ¬(n = 0) (m mod n) * p mod n = m * p mod n

m n p. ¬(n * p = 0) m mod n * p mod n = m mod n

k p. 1 < k p 0 (n. ¬(n = 0) p (n div k) p n) n. p n