Package natural-exp: Definitions and theorems about natural number exponentiation

Information

namenatural-exp
version1.5
description Definitions and theorems about natural number exponentiation
authorJoe Hurd <joe@gilith.com>
licenseMIT
showData.Bool
Number.Natural

Files

Defined Constant

Theorems

n. exp n 1 = n

n. exp 1 n = 1

n. exp n 2 = n * n

n. exp 0 n = if n = 0 then 1 else 0

x y n. x y exp x n exp y n

m n p. exp m (n * p) = exp (exp m n) p

n x. 0 < exp x n ¬(x = 0) n = 0

m n. exp m n = 0 m = 0 ¬(n = 0)

m n p. exp m (n + p) = exp m n * exp m p

p m n. exp (m * n) p = exp m p * exp n p

x n. exp x n = 1 x = 1 n = 0

x y n. exp x n = exp y n x = y n = 0

x y n. exp x n exp y n x y n = 0

x y n. exp x n < exp y n x < y ¬(n = 0)

x y n. x < y ¬(n = 0) exp x n < exp y n

(m. exp m 0 = 1) m n. exp m (suc n) = m * exp m n

x m n.
    exp x m = exp x n if x = 0 then m = 0 n = 0 else x = 1 m = n

x m n.
    exp x m exp x n if x = 0 then m = 0 n = 0 else x = 1 m n

x m n. exp x m < exp x n 2 x m < n x = 0 ¬(m = 0) n = 0

Input Type Operators

Input Constants

Assumptions

T

n. n n

F p. p

1 = suc 0

t. t ¬t

n. ¬(n < n)

(~) = λp. p F

() = λP. P ((select) P)

t. (x. t) t

() = λp. p = λx. T

x. x = x T

n. ¬(suc n = 0)

2 = suc 1

n. bit0 n = n + n

() = λp q. p q p

t. (t T) (t F)

n. bit1 n = suc (n + n)

(¬T F) (¬F T)

m n. m * n = n * m

m n. m < n m n

n. 2 * n = n + n

m n. ¬(m < n) n m

m n. ¬(m n) n < m

() = λp q. (λf. f p q) = λf. f T T

() = λP. q. (x. P x q) q

m n. m < m + n 0 < n

m n. m n d. n = m + d

() = λp q. r. (p r) (q r) r

m n. m n n m m = n

m n. m < n d. n = m + suc d

P Q. (x. P Q x) P x. Q x

t1 t2 t3. t1 t2 t3 (t1 t2) t3

m n p. m * (n * p) = m * n * p

m n p. m < n n p m < p

m n p. m n n < p m < p

m n p. m n n p m p

t1 t2. (if T then t1 else t2) = t1 (if F then t1 else t2) = t2

m n. m + n = 0 m = 0 n = 0

P. P 0 (n. P n P (suc n)) n. P n

(t. ¬¬t t) (¬T F) (¬F T)

P Q. (x. P x Q x) (x. P x) x. Q x

e f. fn. fn 0 = e n. fn (suc n) = f (fn n) n

m n. m * n = 1 m = 1 n = 1

m n p. m * n m * p m = 0 n p

m n p. m * p n * p m n p = 0

m n p. m * p < n * p m < n ¬(p = 0)

m n p q. m n p q m * p n * q

P c x y. P (if c then x else y) (c P x) (¬c P y)

(m. m < 0 F) m n. m < suc n m = n m < n

t1 t2. (¬(t1 t2) ¬t1 ¬t2) (¬(t1 t2) ¬t1 ¬t2)

(m. m 0 m = 0) m n. m suc n m = suc n m n

t. ((T t) t) ((t T) t) ((F t) ¬t) ((t F) ¬t)

t. (T t t) (t T t) (F t F) (t F F) (t t t)

t. (T t T) (t T T) (F t t) (t F t) (t t t)

t. (T t t) (t T T) (F t T) (t t T) (t F ¬t)

m n p.
    m * n = n * m m * n * p = m * (n * p) m * (n * p) = n * (m * p)

(n. 0 + n = n) (m. m + 0 = m) (m n. suc m + n = suc (m + n))
  m n. m + suc n = suc (m + n)

p q r.
    (p q q p) ((p q) r p q r) (p q r q p r)
    (p p p) (p p q p q)

(n. 0 * n = 0) (m. m * 0 = 0) (n. 1 * n = n) (m. m * 1 = m)
  (m n. suc m * n = m * n + n) m n. m * suc n = m + m * n