Package natural-mult: Definitions and theorems about natural number multiplication

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namenatural-mult
version1.11
descriptionDefinitions and theorems about natural number multiplication
authorJoe Hurd <joe@gilith.com>
licenseMIT
showData.Bool
Number.Natural

Files

Defined Constant

Theorems

n. n n * n

m. m * 0 = 0

m n. m * n = n * m

n. 2 * n = n + n

m n. m * suc n = m + m * n

A B. (n. A * n B) A = 0

m n p. m * (n * p) = m * n * p

m n. 0 < m * n 0 < m 0 < n

m n. m * n = 0 m = 0 n = 0

m n p. m * (n + p) = m * n + m * p

m n p. (m + n) * p = m * p + n * p

A B C. (n. A * n B * n + C) A B

m n. m * n = 1 m = 1 n = 1

m n p. m * n = m * p m = 0 n = p

m n p. m * p = n * p m = n p = 0

m n p. m * n m * p m = 0 n p

m n p. m * p n * p m n p = 0

m n p. m * n < m * p ¬(m = 0) n < p

m n p. m * p < n * p m < n ¬(p = 0)

m n p. ¬(m = 0) n < p m * n < m * p

(n. 0 * n = 0) m n. suc m * n = m * n + n

m n p q. m < n p < q m * p < n * q

m n p q. m n p q m * p n * q

P. (B. n. P n B) A B. n. n * P n A * n + B

m n p.
    m * n = n * m m * n * p = m * (n * p) m * (n * p) = n * (m * p)

P A B.
    P 0 0 = 0 (m n. P m n A * (m + n) + B)
    B. m n. P m n B * (m + n)

(n. 0 * n = 0) (m. m * 0 = 0) (n. 1 * n = n) (m. m * 1 = m)
  (m n. suc m * n = m * n + n) m n. m * suc n = m + m * n

Input Type Operators

Input Constants

Assumptions

T

n. 0 n

n. n n

F p. p

t. t ¬t

n. ¬(n < n)

n. 0 < suc n

(¬) = λp. p F

() = λP. P ((select) P)

t. (x. t) t

t. (λx. t x) = t

() = λp. p = λx. T

x. x = x T

n. ¬(suc n = 0)

n. bit0 n = n + n

m n. m m + n

m n. n m + n

() = λp q. p q p

t. (t T) (t F)

n. bit1 n = suc (n + n)

(¬T F) (¬F T)

t1 t2. t1 t2 t2 t1

t1 t2. t1 t2 t2 t1

m n. m + n = n + m

m n. m < n m n

m n. ¬(m n) n < m

m n. m < suc n m n

() = λp q. (λf. f p q) = λf. f T T

P. ¬(x. P x) x. ¬P x

() = λP. q. (x. P x q) q

m n. suc m = suc n m = n

m n. suc m < suc n m < n

m n. suc m suc n m n

m n. m n d. n = m + d

() = λp q. r. (p r) (q r) r

m n. m < n d. n = m + suc d

P Q. P (x. Q x) x. P Q x

m n. m < n m n ¬(m = n)

m n p. m + (n + p) = m + n + p

m n p. m + n = m + p n = p

m n p. m + n < m + p n < p

m n p. m + n m + p n p

m n p. m n n < p m < p

m n p. m n n p m p

m n. m + n = 0 m = 0 n = 0

P. P 0 (n. P n P (suc n)) n. P n

(t. ¬¬t t) (¬T F) (¬F T)

P Q. (x. P x Q x) (x. P x) x. Q x

P Q. (x. P x) (x. Q x) x. P x Q x

e f. fn. fn 0 = e n. fn (suc n) = f (fn n) n

(m. m < 0 F) m n. m < suc n m = n m < n

(m. m 0 m = 0) m n. m suc n m = suc n m n

t. ((T t) t) ((t T) t) ((F t) ¬t) ((t F) ¬t)

t. (T t t) (t T t) (F t F) (t F F) (t t t)

t. (T t T) (t T T) (F t t) (t F t) (t t t)

t. (T t t) (t T T) (F t T) (t t T) (t F ¬t)

(n. 0 + n = n) (m. m + 0 = m) (m n. suc m + n = suc (m + n))
  m n. m + suc n = suc (m + n)

p q r.
    (p q q p) ((p q) r p q r) (p q r q p r)
    (p p p) (p p q p q)