Package natural-prime-thm: Properties of prime natural numbers

Information

namenatural-prime-thm
version1.13
descriptionProperties of prime natural numbers
authorJoe Hurd <joe@gilith.com>
licenseMIT
provenanceHOL Light theory extracted on 2011-11-28
requiresbool
natural
natural-divides
natural-gcd
natural-prime-def
showData.Bool
Number.Natural

Files

Theorems

¬prime 0

¬prime 1

prime 2

prime 3

n. p. n p prime p

p. prime p even p p = 2

n. ¬(n = 1) p. prime p divides p n

p n. prime p (gcd p n = 1 ¬divides p n)

p n. prime p ¬divides p n gcd p n = 1

p m n. prime p (divides p (m * n) divides p m divides p n)

p m n. prime p ¬divides p m ¬divides p n ¬divides p (m * n)

Input Type Operators

Input Constants

Assumptions

T

¬F T

¬T F

bit0 0 = 0

t. t t

n. 0 n

a. divides a 0

a. divides a a

F p. p

t. t ¬t

(¬) = λp. p F

t. (x. t) t

t. (λx. t x) = t

() = λp. p = λx. T

t. ¬¬t t

t. (T t) t

t. (t T) t

t. F t F

t. T t t

t. t T t

t. F t T

t. T t t

t. t T T

t. F t t

t. T t T

t. t F t

t. t t t

n. ¬(factorial n = 0)

n. ¬(suc n = 0)

n. 0 + n = n

t. (F t) ¬t

t. (t F) ¬t

t. t F ¬t

n. bit1 n = suc (bit0 n)

m. m * 1 = m

m. 1 * m = m

() = λp q. p q p

t. (t T) (t F)

n. even (suc n) ¬even n

m. m 0 m = 0

n. bit0 (suc n) = suc (suc (bit0 n))

a. divides 2 a even a

x y. x = y y = x

t1 t2. t1 t2 t2 t1

m n. m n n m

m n. distance m (m + n) = n

a. divides a 1 a = 1

n. 2 * n = n + n

m n. ¬(m < n n m)

m n. ¬(m n n < m)

m n. suc m n m < n

P. (b. P b) P T P F

() = λp q. (λf. f p q) = λf. f T T

P. ¬(x. P x) x. ¬P x

() = λP. q. (x. P x q) q

t1 t2. ¬(t1 t2) t1 ¬t2

t1 t2. ¬t1 ¬t2 t2 t1

m n. m + suc n = suc (m + n)

m n. suc m + n = suc (m + n)

m n. suc m = suc n m = n

m n. m + n = n m = 0

a b. gcd a b = a divides a b

t1 t2. ¬(t1 t2) ¬t1 ¬t2

t1 t2. ¬(t1 t2) ¬t1 ¬t2

m n. even (m * n) even m even n

m n. even (m + n) even m even n

a b c. divides a b divides a (b * c)

a b c. divides a c divides a (b * c)

a b. divides a b c. c * a = b

() = λp q. r. (p r) (q r) r

m n. m n m < n m = n

m n. m n n m m = n

P Q. P (x. Q x) x. P Q x

P Q. P (x. Q x) x. P Q x

P Q. P (x. Q x) x. P Q x

m n. m < n m n ¬(m = n)

a b. ¬(b = 0) divides a b a b

P Q. (x. P x) Q x. P x Q

P Q. (x. P x) Q x. P x Q

a b c. divides a b divides b c divides a c

m n. m suc n m = suc n m n

m n. m * n = 0 m = 0 n = 0

a b. ¬(b = 0) b a divides b (factorial a)

P. P 0 (n. P n P (suc n)) n. P n

a b c. divides (gcd a (b * c)) (gcd a b * gcd a c)

a. divides a 2 a = 1 a = 2

a. divides a 3 a = 1 a = 3

P. (n. (m. m < n P m) P n) n. P n

P Q. (x. P x) (x. Q x) x. P x Q x

m n p. m * n = m * p m = 0 n = p

m n p. m * n m * p m = 0 n p

m n p. m * n < m * p ¬(m = 0) n < p

a b s t. distance (s * a) (t * b) = 1 gcd a b = 1

a b. (c. divides c a divides c b c = 1) gcd a b = 1

p. prime p ¬(p = 1) n. divides n p n = 1 n = p