Package natural-sub: Definitions and theorems about natural number subtraction

Information

Files

• Package tarball natural-sub-1.0.tgz
• Theory file natural-sub.thy (included in the package tarball)

Defined Constant

• Number
  • Natural
    • -

Theorems

⊦ ∀n. n - n = 0

⊦ ∀n. suc n - 1 = n

⊦ ∀m n. m - (m + n) = 0

⊦ ∀m n. n - (m + n) = 0

⊦ ∀m n. m + n - m = n

⊦ ∀m n. m + n - n = m

⊦ ∀m n. m - n = 0 ⇔ m ≤ n

⊦ ∀m n. pre (suc m - n) = m - n

⊦ ∀m n. suc m - suc n = m - n

⊦ ∀m. 0 - m = 0 ∧ m - 0 = m

⊦ ∀m n. n ≤ m ⇒ m - n + n = m

⊦ ∀m n p. m + n - (m + p) = n - p

⊦ ∀m n p. m + p - (n + p) = m - n

⊦ ∀m n. even (m - n) ⇔ m ≤ n ∨ (even m ⇔ even n)

⊦ ∀m n p. m * (n - p) = m * n - m * p

⊦ ∀m n p. (m - n) * p = m * p - n * p

⊦ ∀m n. odd (m - n) ⇔ n < m ∧ ¬(odd m ⇔ odd n)

⊦ (∀m. m - 0 = m) ∧ ∀m n. m - suc n = pre (m - n)

Input Type Operators

• →
• bool
• Number
  • Natural
    • natural

Input Constants

• =
• Data
  • Bool
    • ∀
    • ∧
    • ⇒
    • ∃
    • ∨
    • ¬
    • select
    • F
    • T
• Number
  • Natural
    • *
    • +
    • <
    • ≤
    • even
    • odd
    • pre
    • suc
  • Numeral
    • bit1
    • zero

Assumptions

⊦ T

⊦ pre 0 = 0

⊦ ∀n. 0 ≤ n

⊦ F ⇔ ∀p. p

⊦ 1 = suc 0

⊦ ∀t. t ∨ ¬t

⊦ (¬) = λp. p ⇒ F

⊦ (∃) = λP. P ((select) P)

⊦ ∀t. (∀x. t) ⇔ t

⊦ (∀) = λP. P = λx. T

⊦ ∀x. x = x ⇔ T

⊦ ∀n. pre (suc n) = n

⊦ ∀n. ¬even n ⇔ odd n

⊦ ∀m n. m ≤ m + n

⊦ (⇒) = λp q. p ∧ q ⇔ p

⊦ ∀t. (t ⇔ T) ∨ (t ⇔ F)

⊦ (¬T ⇔ F) ∧ (¬F ⇔ T)

⊦ ∀m n. m * n = n * m

⊦ ∀m n. m + n = n + m

⊦ ∀m n. m ≤ n ∨ n ≤ m

⊦ ∀m n. ¬(m ≤ n) ⇔ n < m

⊦ (∧) = λp q. (λf. f p q) = λf. f T T

⊦ (∃) = λP. ∀q. (∀x. P x ⇒ q) ⇒ q

⊦ ∀m n. suc m ≤ suc n ⇔ m ≤ n

⊦ ∀m n. even (m + n) ⇔ even m ⇔ even n

⊦ ∀m n. m ≤ n ⇔ ∃d. n = m + d

⊦ (∨) = λp q. ∀r. (p ⇒ r) ⇒ (q ⇒ r) ⇒ r

⊦ (even 0 ⇔ T) ∧ ∀n. even (suc n) ⇔ ¬even n

⊦ ∀P. P 0 ∧ (∀n. P n ⇒ P (suc n)) ⇒ ∀n. P n

⊦ (∀t. ¬¬t ⇔ t) ∧ (¬T ⇔ F) ∧ (¬F ⇔ T)

⊦ ∀m n p. m * (n + p) = m * n + m * p

⊦ ∀P Q. (∀x. P x ∧ Q x) ⇔ (∀x. P x) ∧ ∀x. Q x

⊦ ∀e f. ∃fn. fn 0 = e ∧ ∀n. fn (suc n) = f (fn n) n

⊦ ∀m n p. m * n ≤ m * p ⇔ m = 0 ∨ n ≤ p

⊦ (∀m. m ≤ 0 ⇔ m = 0) ∧ ∀m n. m ≤ suc n ⇔ m = suc n ∨ m ≤ n

⊦ ∀t. ((T ⇔ t) ⇔ t) ∧ ((t ⇔ T) ⇔ t) ∧ ((F ⇔ t) ⇔ ¬t) ∧ ((t ⇔ F) ⇔ ¬t)

⊦ ∀t. (T ∧ t ⇔ t) ∧ (t ∧ T ⇔ t) ∧ (F ∧ t ⇔ F) ∧ (t ∧ F ⇔ F) ∧ (t ∧ t ⇔ t)

⊦ ∀t. (T ∨ t ⇔ T) ∧ (t ∨ T ⇔ T) ∧ (F ∨ t ⇔ t) ∧ (t ∨ F ⇔ t) ∧ (t ∨ t ⇔ t)

⊦ ∀t. (T ⇒ t ⇔ t) ∧ (t ⇒ T ⇔ T) ∧ (F ⇒ t ⇔ T) ∧ (t ⇒ t ⇔ T) ∧ (t ⇒ F ⇔ ¬t)

⊦ (∀n. 0 + n = n) ∧ (∀m. m + 0 = m) ∧ (∀m n. suc m + n = suc (m + n)) ∧
  ∀m n. m + suc n = suc (m + n)

⊦ ∀p q r.
    (p ∨ q ⇔ q ∨ p) ∧ ((p ∨ q) ∨ r ⇔ p ∨ q ∨ r) ∧ (p ∨ q ∨ r ⇔ q ∨ p ∨ r) ∧
    (p ∨ p ⇔ p) ∧ (p ∨ p ∨ q ⇔ p ∨ q)

⊦ (∀n. 0 * n = 0) ∧ (∀m. m * 0 = 0) ∧ (∀n. 1 * n = n) ∧ (∀m. m * 1 = m) ∧
  (∀m n. suc m * n = m * n + n) ∧ ∀m n. m * suc n = m + m * n