Package natural-sub-thm: natural-sub-thm

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Files

• Package tarball natural-sub-thm-1.0.tgz
• Theory file natural-sub-thm.thy (included in the package tarball)

Theorems

⊦ ∀n. Number.Natural.- n n = Number.Numeral.zero

⊦ ∀n.
    Number.Natural.- (Number.Natural.suc n)
      (Number.Numeral.bit1 Number.Numeral.zero) = n

⊦ ∀m n. Number.Natural.- m (Number.Natural.+ m n) = Number.Numeral.zero

⊦ ∀m n. Number.Natural.- n (Number.Natural.+ m n) = Number.Numeral.zero

⊦ ∀m n. Number.Natural.- (Number.Natural.+ m n) m = n

⊦ ∀m n. Number.Natural.- (Number.Natural.+ m n) n = m

⊦ ∀m n. Number.Natural.- m n = Number.Numeral.zero ⇔ Number.Natural.≤ m n

⊦ ∀m n.
    Number.Natural.pre (Number.Natural.- (Number.Natural.suc m) n) =
    Number.Natural.- m n

⊦ ∀m n.
    Number.Natural.- (Number.Natural.suc m) (Number.Natural.suc n) =
    Number.Natural.- m n

⊦ ∀m.
    Number.Natural.- Number.Numeral.zero m = Number.Numeral.zero ∧
    Number.Natural.- m Number.Numeral.zero = m

⊦ ∀m n.
    Number.Natural.≤ n m ⇒ Number.Natural.+ (Number.Natural.- m n) n = m

⊦ ∀m n p.
    Number.Natural.- (Number.Natural.+ m n) (Number.Natural.+ m p) =
    Number.Natural.- n p

⊦ ∀m n p.
    Number.Natural.- (Number.Natural.+ m p) (Number.Natural.+ n p) =
    Number.Natural.- m n

⊦ ∀m n.
    Number.Natural.even (Number.Natural.- m n) ⇔
    Number.Natural.≤ m n ∨ (Number.Natural.even m ⇔ Number.Natural.even n)

⊦ ∀m n p.
    Number.Natural.* m (Number.Natural.- n p) =
    Number.Natural.- (Number.Natural.* m n) (Number.Natural.* m p)

⊦ ∀m n p.
    Number.Natural.* (Number.Natural.- m n) p =
    Number.Natural.- (Number.Natural.* m p) (Number.Natural.* n p)

⊦ ∀m n.
    Number.Natural.odd (Number.Natural.- m n) ⇔
    Number.Natural.< n m ∧ ¬(Number.Natural.odd m ⇔ Number.Natural.odd n)

Input Type Operators

• →
• bool
• Number
  • Natural
    • Number.Natural.natural

Input Constants

• =
• Data
  • Bool
    • ∀
    • ∧
    • ⇒
    • ∃
    • ∨
    • ¬
    • F
    • T
• Number
  • Natural
    • Number.Natural.*
    • Number.Natural.+
    • Number.Natural.-
    • Number.Natural.<
    • Number.Natural.≤
    • Number.Natural.even
    • Number.Natural.odd
    • Number.Natural.pre
    • Number.Natural.suc
  • Numeral
    • Number.Numeral.bit1
    • Number.Numeral.zero

Assumptions

⊦ T

⊦ Number.Natural.pre Number.Numeral.zero = Number.Numeral.zero

⊦ ∀n. Number.Natural.≤ Number.Numeral.zero n

⊦ F ⇔ ∀p. p

⊦ Number.Numeral.bit1 Number.Numeral.zero =
  Number.Natural.suc Number.Numeral.zero

⊦ ∀t. t ∨ ¬t

⊦ (¬) = λp. p ⇒ F

⊦ ∀t. (∀x. t) ⇔ t

⊦ (∀) = λP. P = λx. T

⊦ ∀x. x = x ⇔ T

⊦ ∀n. Number.Natural.pre (Number.Natural.suc n) = n

⊦ ∀n. ¬Number.Natural.even n ⇔ Number.Natural.odd n

⊦ ∀m n. Number.Natural.≤ m (Number.Natural.+ m n)

⊦ (⇒) = λp q. p ∧ q ⇔ p

⊦ ∀t. (t ⇔ T) ∨ (t ⇔ F)

⊦ (¬T ⇔ F) ∧ (¬F ⇔ T)

⊦ ∀m n. Number.Natural.* m n = Number.Natural.* n m

⊦ ∀m n. Number.Natural.+ m n = Number.Natural.+ n m

⊦ ∀m n. Number.Natural.≤ m n ∨ Number.Natural.≤ n m

⊦ ∀m n. ¬Number.Natural.≤ m n ⇔ Number.Natural.< n m

⊦ (∧) = λp q. (λf. f p q) = λf. f T T

⊦ (∃) = λP. ∀q. (∀x. P x ⇒ q) ⇒ q

⊦ ∀m n.
    Number.Natural.≤ (Number.Natural.suc m) (Number.Natural.suc n) ⇔
    Number.Natural.≤ m n

⊦ ∀m n.
    Number.Natural.even (Number.Natural.+ m n) ⇔ Number.Natural.even m ⇔
    Number.Natural.even n

⊦ ∀m n. Number.Natural.≤ m n ⇔ ∃d. n = Number.Natural.+ m d

⊦ (∨) = λp q. ∀r. (p ⇒ r) ⇒ (q ⇒ r) ⇒ r

⊦ (Number.Natural.even Number.Numeral.zero ⇔ T) ∧
  ∀n. Number.Natural.even (Number.Natural.suc n) ⇔ ¬Number.Natural.even n

⊦ ∀P.
    P Number.Numeral.zero ∧ (∀n. P n ⇒ P (Number.Natural.suc n)) ⇒ ∀n. P n

⊦ (∀t. ¬¬t ⇔ t) ∧ (¬T ⇔ F) ∧ (¬F ⇔ T)

⊦ ∀m n p.
    Number.Natural.* m (Number.Natural.+ n p) =
    Number.Natural.+ (Number.Natural.* m n) (Number.Natural.* m p)

⊦ ∀P Q. (∀x. P x ∧ Q x) ⇔ (∀x. P x) ∧ ∀x. Q x

⊦ ∀m n p.
    Number.Natural.≤ (Number.Natural.* m n) (Number.Natural.* m p) ⇔
    m = Number.Numeral.zero ∨ Number.Natural.≤ n p

⊦ (∀m. Number.Natural.- m Number.Numeral.zero = m) ∧
  ∀m n.
    Number.Natural.- m (Number.Natural.suc n) =
    Number.Natural.pre (Number.Natural.- m n)

⊦ (∀m. Number.Natural.≤ m Number.Numeral.zero ⇔ m = Number.Numeral.zero) ∧
  ∀m n.
    Number.Natural.≤ m (Number.Natural.suc n) ⇔
    m = Number.Natural.suc n ∨ Number.Natural.≤ m n

⊦ ∀t. ((T ⇔ t) ⇔ t) ∧ ((t ⇔ T) ⇔ t) ∧ ((F ⇔ t) ⇔ ¬t) ∧ ((t ⇔ F) ⇔ ¬t)

⊦ ∀t. (T ∧ t ⇔ t) ∧ (t ∧ T ⇔ t) ∧ (F ∧ t ⇔ F) ∧ (t ∧ F ⇔ F) ∧ (t ∧ t ⇔ t)

⊦ ∀t. (T ∨ t ⇔ T) ∧ (t ∨ T ⇔ T) ∧ (F ∨ t ⇔ t) ∧ (t ∨ F ⇔ t) ∧ (t ∨ t ⇔ t)

⊦ ∀t. (T ⇒ t ⇔ t) ∧ (t ⇒ T ⇔ T) ∧ (F ⇒ t ⇔ T) ∧ (t ⇒ t ⇔ T) ∧ (t ⇒ F ⇔ ¬t)

⊦ (∀n. Number.Natural.+ Number.Numeral.zero n = n) ∧
  (∀m. Number.Natural.+ m Number.Numeral.zero = m) ∧
  (∀m n.
     Number.Natural.+ (Number.Natural.suc m) n =
     Number.Natural.suc (Number.Natural.+ m n)) ∧
  ∀m n.
    Number.Natural.+ m (Number.Natural.suc n) =
    Number.Natural.suc (Number.Natural.+ m n)

⊦ ∀p q r.
    (p ∨ q ⇔ q ∨ p) ∧ ((p ∨ q) ∨ r ⇔ p ∨ q ∨ r) ∧ (p ∨ q ∨ r ⇔ q ∨ p ∨ r) ∧
    (p ∨ p ⇔ p) ∧ (p ∨ p ∨ q ⇔ p ∨ q)

⊦ (∀n. Number.Natural.* Number.Numeral.zero n = Number.Numeral.zero) ∧
  (∀m. Number.Natural.* m Number.Numeral.zero = Number.Numeral.zero) ∧
  (∀n. Number.Natural.* (Number.Numeral.bit1 Number.Numeral.zero) n = n) ∧
  (∀m. Number.Natural.* m (Number.Numeral.bit1 Number.Numeral.zero) = m) ∧
  (∀m n.
     Number.Natural.* (Number.Natural.suc m) n =
     Number.Natural.+ (Number.Natural.* m n) n) ∧
  ∀m n.
    Number.Natural.* m (Number.Natural.suc n) =
    Number.Natural.+ m (Number.Natural.* m n)