Package option-thm: option-thm

Information

Files

• Package tarball option-thm-1.0.tgz
• Theory file option-thm.thy (included in the package tarball)

Theorems

⊦ ∀a'. ¬(Data.Option.none = Data.Option.some a')

⊦ ∀x. x = Data.Option.none ∨ ∃a. x = Data.Option.some a

⊦ ∀a a'. Data.Option.some a = Data.Option.some a' ⇔ a = a'

Input Type Operators

• →
• bool
• Data
  • Option
    • Data.Option.option
• Number
  • Natural
    • Number.Natural.natural

Input Constants

• =
• Data
  • Bool
    • ∀
    • ∧
    • ⇒
    • ∃
    • ∨
    • ¬
    • F
    • T
  • Option
    • Data.Option.none
    • Data.Option.some
• Number
  • Natural
    • Number.Natural.*
    • Number.Natural.+
    • Number.Natural.<
    • Number.Natural.≤
    • Number.Natural.even
    • Number.Natural.suc
  • Numeral
    • Number.Numeral.bit0
    • Number.Numeral.bit1
    • Number.Numeral.zero

Assumptions

⊦ T

⊦ ∀n. Number.Natural.≤ Number.Numeral.zero n

⊦ F ⇔ ∀p. p

⊦ (¬) = λp. p ⇒ F

⊦ ∀t. (∀x. t) ⇔ t

⊦ (∀) = λP. P = λx. T

⊦ ∀x. x = x ⇔ T

⊦ ∀n. ¬(Number.Natural.suc n = Number.Numeral.zero)

⊦ ∀n. Number.Numeral.bit0 n = Number.Natural.+ n n

⊦ (⇒) = λp q. p ∧ q ⇔ p

⊦ ∀n. Number.Numeral.bit1 n = Number.Natural.suc (Number.Natural.+ n n)

⊦ (¬T ⇔ F) ∧ (¬F ⇔ T)

⊦ ∀t1 t2. t1 ∨ t2 ⇔ t2 ∨ t1

⊦ ∀n.
    Number.Natural.*
      (Number.Numeral.bit0 (Number.Numeral.bit1 Number.Numeral.zero)) n =
    Number.Natural.+ n n

⊦ ∀m n. Number.Natural.≤ (Number.Natural.suc m) n ⇔ Number.Natural.< m n

⊦ (∧) = λp q. (λf. f p q) = λf. f T T

⊦ (∃) = λP. ∀q. (∀x. P x ⇒ q) ⇒ q

⊦ ∀m n. Number.Natural.suc m = Number.Natural.suc n ⇔ m = n

⊦ ∀m n.
    Number.Natural.even (Number.Natural.* m n) ⇔
    Number.Natural.even m ∨ Number.Natural.even n

⊦ ∀m n.
    Number.Natural.even (Number.Natural.+ m n) ⇔ Number.Natural.even m ⇔
    Number.Natural.even n

⊦ ∀P. P Data.Option.none ∧ (∀a. P (Data.Option.some a)) ⇒ ∀x. P x

⊦ (∨) = λp q. ∀r. (p ⇒ r) ⇒ (q ⇒ r) ⇒ r

⊦ (Number.Natural.even Number.Numeral.zero ⇔ T) ∧
  ∀n. Number.Natural.even (Number.Natural.suc n) ⇔ ¬Number.Natural.even n

⊦ ∀m n. Number.Natural.≤ m n ⇔ Number.Natural.< m n ∨ m = n

⊦ ∀m n. Number.Natural.≤ m n ∧ Number.Natural.≤ n m ⇔ m = n

⊦ ∀m n.
    Number.Natural.* m n = Number.Numeral.zero ⇔
    m = Number.Numeral.zero ∨ n = Number.Numeral.zero

⊦ ∀NONE' SOME'.
    ∃fn.
      fn Data.Option.none = NONE' ∧ ∀a. fn (Data.Option.some a) = SOME' a

⊦ ∀m n p.
    Number.Natural.* m n = Number.Natural.* m p ⇔
    m = Number.Numeral.zero ∨ n = p

⊦ ∀m n p.
    Number.Natural.≤ (Number.Natural.* m n) (Number.Natural.* m p) ⇔
    m = Number.Numeral.zero ∨ Number.Natural.≤ n p

⊦ ∀m n p.
    Number.Natural.< (Number.Natural.* m n) (Number.Natural.* m p) ⇔
    ¬(m = Number.Numeral.zero) ∧ Number.Natural.< n p

⊦ (∀m. Number.Natural.≤ m Number.Numeral.zero ⇔ m = Number.Numeral.zero) ∧
  ∀m n.
    Number.Natural.≤ m (Number.Natural.suc n) ⇔
    m = Number.Natural.suc n ∨ Number.Natural.≤ m n

⊦ ∀t. ((T ⇔ t) ⇔ t) ∧ ((t ⇔ T) ⇔ t) ∧ ((F ⇔ t) ⇔ ¬t) ∧ ((t ⇔ F) ⇔ ¬t)

⊦ ∀t. (T ∧ t ⇔ t) ∧ (t ∧ T ⇔ t) ∧ (F ∧ t ⇔ F) ∧ (t ∧ F ⇔ F) ∧ (t ∧ t ⇔ t)

⊦ ∀t. (T ∨ t ⇔ T) ∧ (t ∨ T ⇔ T) ∧ (F ∨ t ⇔ t) ∧ (t ∨ F ⇔ t) ∧ (t ∨ t ⇔ t)

⊦ ∀t. (T ⇒ t ⇔ t) ∧ (t ⇒ T ⇔ T) ∧ (F ⇒ t ⇔ T) ∧ (t ⇒ t ⇔ T) ∧ (t ⇒ F ⇔ ¬t)

⊦ (∀n. Number.Natural.+ Number.Numeral.zero n = n) ∧
  (∀m. Number.Natural.+ m Number.Numeral.zero = m) ∧
  (∀m n.
     Number.Natural.+ (Number.Natural.suc m) n =
     Number.Natural.suc (Number.Natural.+ m n)) ∧
  ∀m n.
    Number.Natural.+ m (Number.Natural.suc n) =
    Number.Natural.suc (Number.Natural.+ m n)