Package base: The standard theory library

Information

name	base
version	1.2
description	The standard theory library
author	Joe Hurd <joe@gilith.com>
license	MIT
show	Data.Bool Data.List Data.Option Data.Pair Data.Sum Data.Unit Function Number.Natural Number.Numeral Relation

Files

Package tarball base-1.2.tgz
Theory file base.thy (included in the package tarball)

Defined Type Operators

Data
- List
  - list
- Option
  - option
- Pair
  - *
- Sum
  - +
- Unit
  - unit
Number
- Natural
  - natural

Defined Constants

Data
- Bool
  - ∀
  - ∧
  - ⇒
  - ∃
  - ∃!
  - ∨
  - ¬
  - cond
  - let
  - F
  - T
- List
  - ::
  - @
  - []
  - all
  - case
  - concat
  - drop
  - exists
  - filter
  - head
  - interval
  - last
  - length
  - map
  - member
  - nth
  - null
  - replicate
  - reverse
  - tail
  - take
  - zipWith
- Option
  - case
  - none
  - some
- Pair
  - ,
  - fst
  - snd
- Sum
  - destLeft
  - destRight
  - left
  - right
- Unit
  - ()
Function
- id
- injective
- o
- surjective
Number
- Natural
  - *
  - +
  - -
  - <
  - ≤
  - >
  - ≥
  - div
  - even
  - exp
  - factorial
  - max
  - min
  - minimal
  - mod
  - odd
  - pre
  - suc
- Numeral
  - bit0
  - bit1
  - zero
Relation
- measure
- wellFounded

Axioms

⊦ ∀t. (λx. t x) = t

⊦ ∃f. injective f ∧ ¬surjective f

⊦ ∀P x. P x ⇒ P ((select) P)

Theorems

⊦ T

⊦ wellFounded (<)

⊦ wellFounded (λx y. F)

⊦ id = λx. x

⊦ pre 0 = 0

⊦ map id = id

⊦ ∀x. x = x

⊦ ∀v. v = ()

⊦ ∀n. 0 ≤ n

⊦ ∀n. n ≤ n

⊦ ∀m. wellFounded (measure m)

⊦ F ⇔ ∀p. p

⊦ ∀l. all (λx. T) l

⊦ let = λf x. f x

⊦ 1 = suc 0

⊦ ∀x. id x = x

⊦ ∀t. t ∨ ¬t

⊦ ∀n. ¬(n < n)

⊦ ∀n. 0 < factorial n

⊦ ∀n. 0 < suc n

⊦ (¬) = λp. p ⇒ F

⊦ (∃) = λP. P ((select) P)

⊦ ∀a. ∃x. x = a

⊦ ∀a. ∃!x. x = a

⊦ ∀t. (∀x. t) ⇔ t

⊦ ∀t. (∃x. t) ⇔ t

⊦ ∀t. (λx. t x) = t

⊦ ∀f g. f = g

⊦ T ⇔ (λp. p) = λp. p

⊦ (∀) = λP. P = λx. T

⊦ ∀a'. ¬(none = some a')

⊦ ∀x. destLeft (left x) = x

⊦ ∀x. x = x ⇔ T

⊦ ∀y. destRight (right y) = y

⊦ ∀n. ¬(factorial n = 0)

⊦ ∀n. ¬(suc n = 0)

⊦ ∀n. n ≤ n * n

⊦ ∀n. even n ∨ odd n

⊦ ∀n. 1 ≤ factorial n

⊦ ∀n. pre (suc n) = n

⊦ ∀m. m * 0 = 0

⊦ ∀m. m + 0 = m

⊦ ∀n. n - n = 0

⊦ ∀l. reverse (reverse l) = l

⊦ ∀l. l @ [] = l

⊦ ∀e. ∃fn. fn () = e

⊦ ∀e. ∃!fn. fn () = e

⊦ ∀l. map (λx. x) l = l

⊦ 2 = suc 1

⊦ ∀t1 t2. (λx. t1) t2 = t1

⊦ ∀n. ¬(even n ∧ odd n)

⊦ ∀n. even (2 * n)

⊦ ∀n. bit0 n = n + n

⊦ ∀n. bit1 n = suc (bit0 n)

⊦ ∀n. ¬even n ⇔ odd n

⊦ ∀n. ¬odd n ⇔ even n

⊦ ∀n. n div 1 = n

⊦ ∀n. exp n 1 = n

⊦ ∀n. n mod 1 = 0

⊦ ∀l. null l ⇔ l = []

⊦ ∀l. drop (length l) l = []

⊦ ∀l. take (length l) l = l

⊦ ∀l. case [] (::) l = l

⊦ ∀x. case none some x = x

⊦ ∀x. (select y. y = x) = x

⊦ ∀m n. m ≤ m + n

⊦ ∀m n. n ≤ m + n

⊦ ∀P. P () ⇒ ∀x. P x

⊦ (⇒) = λp q. p ∧ q ⇔ p

⊦ ∀t. (t ⇔ T) ∨ (t ⇔ F)

⊦ ∀n. odd (suc (2 * n))

⊦ ∀m. suc m = m + 1

⊦ ∀n. bit1 n = suc (n + n)

⊦ ∀n. exp 1 n = 1

⊦ ∀n. suc n - 1 = n

⊦ ∀l. null (concat l) ⇔ all null l

⊦ ∀x. (fst x, snd x) = x

⊦ ∀x y. fst (x, y) = x

⊦ ∀x y. snd (x, y) = y

⊦ ∀h t. ¬(h :: t = [])

⊦ ∀h t. tail (h :: t) = t

⊦ ∀b t. (if b then t else t) = t

⊦ ∀n x. length (replicate n x) = n

⊦ ∀m n. length (interval m n) = n

⊦ ∀t h. head (h :: t) = h

⊦ ∀P x. P x ⇒ P ((select) P)

⊦ (¬T ⇔ F) ∧ (¬F ⇔ T)

⊦ ∀n. 0 < n ⇔ ¬(n = 0)

⊦ ∀l. length l = 0 ⇔ l = []

⊦ ∀f y. (λx. f x) y = f y

⊦ ∀p. ∃x y. p = (x, y)

⊦ ∀x y. x = y ⇔ y = x

⊦ ∀x y. x = y ⇒ y = x

⊦ ∀t1 t2. t1 ∧ t2 ⇔ t2 ∧ t1

⊦ ∀t1 t2. t1 ∨ t2 ⇔ t2 ∨ t1

⊦ ∀a b. (a ⇔ b) ⇒ a ⇒ b

⊦ ∀n m. m > n ⇔ n < m

⊦ ∀n m. m ≥ n ⇔ n ≤ m

⊦ ∀m n. m * n = n * m

⊦ ∀m n. m + n = n + m

⊦ ∀m n. m = n ⇒ m ≤ n

⊦ ∀m n. m < n ⇒ m ≤ n

⊦ ∀m n. m < n ∨ n ≤ m

⊦ ∀m n. m ≤ n ∨ n < m

⊦ ∀m n. m ≤ n ∨ n ≤ m

⊦ ∀m n. m - (m + n) = 0

⊦ ∀m n. n - (m + n) = 0

⊦ ∀m n. m + n - m = n

⊦ ∀m n. m + n - n = m

⊦ ∀m n. n * (m div n) ≤ m

⊦ ∀l f. length (map f l) = length l

⊦ ∀<< x. wellFounded << ⇒ ¬<< x x

⊦ ∀n. exp n 2 = n * n

⊦ ∀n. 2 * n = n + n

⊦ ∀m. measure m = λx y. m x < m y

⊦ ∀f g. (f o g) = λx. f (g x)

⊦ ∀m n. ¬(m < n ∧ n < m)

⊦ ∀m n. ¬(m < n ∧ n ≤ m)

⊦ ∀m n. ¬(m ≤ n ∧ n < m)

⊦ ∀m n. ¬(m < n) ⇔ n ≤ m

⊦ ∀m n. ¬(m ≤ n) ⇔ n < m

⊦ ∀m n. m < suc n ⇔ m ≤ n

⊦ ∀m n. suc m ≤ n ⇔ m < n

⊦ ∀m. m = 0 ∨ ∃n. m = suc n

⊦ ∀x. x = none ∨ ∃a. x = some a

⊦ ∀P. (∀b. P b) ⇔ P T ∧ P F

⊦ ∀P. (∃b. P b) ⇔ P T ∨ P F

⊦ ∀P. P F ∧ P T ⇒ ∀x. P x

⊦ (∧) = λp q. (λf. f p q) = λf. f T T

⊦ ∀n. even n ⇔ n mod 2 = 0

⊦ ∀n. ¬(n = 0) ⇒ 0 div n = 0

⊦ ∀n. ¬(n = 0) ⇒ 0 mod n = 0

⊦ ∀f. surjective f ⇔ ∀y. ∃x. y = f x

⊦ ∀P. (∀x. ¬P x) ⇔ ¬∃x. P x

⊦ ∀P. (∃x. ¬P x) ⇔ ¬∀x. P x

⊦ ∀P. ¬(∀x. P x) ⇔ ∃x. ¬P x

⊦ ∀P. ¬(∃x. P x) ⇔ ∀x. ¬P x

⊦ (∃) = λP. ∀q. (∀x. P x ⇒ q) ⇒ q

⊦ ∀a a'. some a = some a' ⇔ a = a'

⊦ ∀A B. (B ⇒ A) ⇒ ¬A ⇒ ¬B

⊦ ∀t1 t2. ¬(t1 ⇒ t2) ⇔ t1 ∧ ¬t2

⊦ ∀t1 t2. ¬t1 ⇒ ¬t2 ⇔ t2 ⇒ t1

⊦ ∀m n. m < n ⇒ m div n = 0

⊦ ∀m n. m < n ⇒ m mod n = m

⊦ ∀m n. m ≤ n ⇒ factorial m ≤ factorial n

⊦ ∀m n. m + suc n = suc (m + n)

⊦ ∀m n. m < m + n ⇔ 0 < n

⊦ ∀m n. n < m + n ⇔ 0 < m

⊦ ∀m n. suc m = suc n ⇔ m = n

⊦ ∀m n. suc m < suc n ⇔ m < n

⊦ ∀m n. suc m ≤ suc n ⇔ m ≤ n

⊦ ∀m n. m + n = m ⇔ n = 0

⊦ ∀m n. m + n = n ⇔ m = 0

⊦ ∀m n. m - n = 0 ⇔ m ≤ n

⊦ ∀m n. pre (suc m - n) = m - n

⊦ ∀m n. suc m - suc n = m - n

⊦ ∀f l. map f l = [] ⇔ l = []

⊦ ∀n. odd n ⇔ n mod 2 = 1

⊦ ∀n. exp 0 n = if n = 0 then 1 else 0

⊦ ∀n. ¬(n = 0) ⇒ n div n = 1

⊦ ∀m. 0 - m = 0 ∧ m - 0 = m

⊦ ∀f. (id o f) = f ∧ (f o id) = f

⊦ ∀f g x. (f o g) x = f (g x)

⊦ ∀m n. max m n = if m ≤ n then n else m

⊦ ∀m n. min m n = if m ≤ n then m else n

⊦ ∀m n. even (m * n) ⇔ even m ∨ even n

⊦ ∀m n. even (m + n) ⇔ even m ⇔ even n

⊦ ∀m n. odd (m * n) ⇔ odd m ∧ odd n

⊦ ∀m n. m * suc n = m + m * n

⊦ ∀m n. ¬(n = 0) ⇒ m mod n < n

⊦ ∀m n. ¬(n = 0) ⇒ m div n ≤ m

⊦ ∀m n. ¬(n = 0) ⇒ m mod n ≤ m

⊦ ∀n. even n ⇔ ∃m. n = 2 * m

⊦ ∀l n. n < length l ⇒ member (nth n l) l

⊦ ∀l m. null (l @ m) ⇔ null l ∧ null m

⊦ ∀l m. length (l @ m) = length l + length m

⊦ ∀l m. reverse (l @ m) = reverse m @ reverse l

⊦ ∀<< m. wellFounded << ⇒ wellFounded (λx x'. << (m x) (m x'))

⊦ ∀P. (∀x y. P (x, y)) ⇒ ∀p. P p

⊦ ∀P. (∀p. P p) ⇔ ∀p1 p2. P (p1, p2)

⊦ ∀P. (∃p. P p) ⇔ ∃p1 p2. P (p1, p2)

⊦ ∀a b. ∃f. f F = a ∧ f T = b

⊦ ∀m n. m ≤ n ⇔ ∃d. n = m + d

⊦ ∀x. x = [] ∨ ∃a0 a1. x = a0 :: a1

⊦ ∀P a. (∀x. a = x ⇒ P x) ⇔ P a

⊦ ∀P l. ¬exists P l ⇔ all (λx. ¬P x) l

⊦ ∀P l. ¬all P l ⇔ exists (λx. ¬P x) l

⊦ ∀f g. f = g ⇔ ∀x. f x = g x

⊦ ∀f g. (∀x. f x = g x) ⇒ f = g

⊦ ∀P a. (∀x. x = a ⇒ P x) ⇔ P a

⊦ ∀P a. (∃x. a = x ∧ P x) ⇔ P a

⊦ ∀P a. (∃x. x = a ∧ P x) ⇔ P a

⊦ ∀P. P none ∧ (∀a. P (some a)) ⇒ ∀x. P x

⊦ (∨) = λp q. ∀r. (p ⇒ r) ⇒ (q ⇒ r) ⇒ r

⊦ (even 0 ⇔ T) ∧ ∀n. even (suc n) ⇔ ¬even n

⊦ (odd 0 ⇔ F) ∧ ∀n. odd (suc n) ⇔ ¬odd n

⊦ ∀m n. m ≤ n ⇔ m < n ∨ m = n

⊦ ∀m n. n ≤ m ⇒ m - n + n = m

⊦ ∀m n. m < n ∨ n < m ∨ m = n

⊦ ∀m n. odd (m + n) ⇔ ¬(odd m ⇔ odd n)

⊦ ∀m n. odd (exp m n) ⇔ odd m ∨ n = 0

⊦ ∀m n. m ≤ n ∧ n ≤ m ⇔ m = n

⊦ ∀n l. n ≤ length l ⇒ length (take n l) = n

⊦ ∀n. odd n ⇔ ∃m. n = suc (2 * m)

⊦ ∀PAIR'. ∃fn. ∀a0 a1. fn (a0, a1) = PAIR' a0 a1

⊦ (null [] ⇔ T) ∧ ∀h t. null (h :: t) ⇔ F

⊦ ∀P Q. (∀x. P ⇒ Q) ⇔ (∃x. P) ⇒ ∀x. Q

⊦ ∀P Q. (∀x. P ∨ Q) ⇔ (∀x. P) ∨ ∀x. Q

⊦ ∀P Q. (∃x. P ∧ Q) ⇔ (∃x. P) ∧ ∃x. Q

⊦ ∀P Q. (∃x. P ⇒ Q) ⇔ (∀x. P) ⇒ ∃x. Q

⊦ ∀P Q. (∃x. P) ∧ (∃x. Q) ⇔ ∃x. P ∧ Q

⊦ ∀P Q. (∀x. P) ∨ (∀x. Q) ⇔ ∀x. P ∨ Q

⊦ ∀m n. m < n ⇔ ∃d. n = m + suc d

⊦ ∀P l. (∀x. member x l ⇒ P x) ⇔ all P l

⊦ ∀P l. (∃x. P x ∧ member x l) ⇔ exists P l

⊦ ∀<<. wellFounded << ⇔ ¬∃s. ∀n. << (s (suc n)) (s n)

⊦ ∀P. (∀x y. P x y) ⇔ ∀y x. P x y

⊦ ∀P. (∃x y. P x y) ⇔ ∃y x. P x y

⊦ bit0 0 = 0 ∧ ∀n. bit0 (suc n) = suc (suc (bit0 n))

⊦ ∀h t. last (h :: t) = if t = [] then h else last t

⊦ ∀P Q. (∀x. P ⇒ Q x) ⇔ P ⇒ ∀x. Q x

⊦ ∀P Q. (∀x. P ∨ Q x) ⇔ P ∨ ∀x. Q x

⊦ ∀P Q. (∃x. P ∧ Q x) ⇔ P ∧ ∃x. Q x

⊦ ∀P Q. (∃x. P ⇒ Q x) ⇔ P ⇒ ∃x. Q x

⊦ ∀P Q. P ∧ (∀x. Q x) ⇔ ∀x. P ∧ Q x

⊦ ∀P Q. P ∧ (∃x. Q x) ⇔ ∃x. P ∧ Q x

⊦ ∀P Q. P ⇒ (∀x. Q x) ⇔ ∀x. P ⇒ Q x

⊦ ∀P Q. P ⇒ (∃x. Q x) ⇔ ∃x. P ⇒ Q x

⊦ ∀P Q. P ∨ (∀x. Q x) ⇔ ∀x. P ∨ Q x

⊦ ∀P Q. P ∨ (∃x. Q x) ⇔ ∃x. P ∨ Q x

⊦ ∀m n. m < n ⇔ m ≤ n ∧ ¬(m = n)

⊦ ∀m n. even (exp m n) ⇔ even m ∧ ¬(n = 0)

⊦ ∀m n. ¬(m = 0) ⇒ m * n div m = n

⊦ ∀m n. ¬(m = 0) ⇒ m * n mod m = 0

⊦ ∀P Q. (∀x. P x ⇒ Q) ⇔ (∃x. P x) ⇒ Q

⊦ ∀P Q. (∀x. P x ∨ Q) ⇔ (∀x. P x) ∨ Q

⊦ ∀P Q. (∃x. P x ∧ Q) ⇔ (∃x. P x) ∧ Q

⊦ ∀P Q. (∃x. P x ⇒ Q) ⇔ (∀x. P x) ⇒ Q

⊦ ∀P Q. (∀x. P x) ∧ Q ⇔ ∀x. P x ∧ Q

⊦ ∀P Q. (∃x. P x) ∧ Q ⇔ ∃x. P x ∧ Q

⊦ ∀P Q. (∀x. P x) ⇒ Q ⇔ ∃x. P x ⇒ Q

⊦ ∀P Q. (∃x. P x) ⇒ Q ⇔ ∀x. P x ⇒ Q

⊦ ∀P Q. (∀x. P x) ∨ Q ⇔ ∀x. P x ∨ Q

⊦ ∀P Q. (∃x. P x) ∨ Q ⇔ ∃x. P x ∨ Q

⊦ ∀P. (∃!x. P x) ⇔ ∃x. ∀y. P y ⇔ x = y

⊦ ∀x y z. x = y ∧ y = z ⇒ x = z

⊦ ∀t1 t2 t3. t1 ∧ t2 ∧ t3 ⇔ (t1 ∧ t2) ∧ t3

⊦ ∀p q r. p ⇒ q ⇒ r ⇔ p ∧ q ⇒ r

⊦ ∀t1 t2 t3. t1 ∨ t2 ∨ t3 ⇔ (t1 ∨ t2) ∨ t3

⊦ ∀p q r. p ∧ q ⇒ r ⇔ p ⇒ q ⇒ r

⊦ ∀p q r. p ∧ q ⇒ r ⇔ q ⇒ p ⇒ r

⊦ ∀n x i. i < n ⇒ nth i (replicate n x) = x

⊦ ∀x y n. x ≤ y ⇒ exp x n ≤ exp y n

⊦ ∀m n p. m * (n * p) = m * n * p

⊦ ∀m n p. m + (n + p) = m + n + p

⊦ ∀m n p. exp m (n * p) = exp (exp m n) p

⊦ ∀m n p. m + n = m + p ⇔ n = p

⊦ ∀m n p. m + p = n + p ⇔ m = n

⊦ ∀m n p. m + n < m + p ⇔ n < p

⊦ ∀m n p. m + p < n + p ⇔ m < n

⊦ ∀m n p. m + n ≤ m + p ⇔ n ≤ p

⊦ ∀m n p. m + p ≤ n + p ⇔ m ≤ n

⊦ ∀m n p. m + n - (m + p) = n - p

⊦ ∀m n p. m + p - (n + p) = m - n

⊦ ∀m n p. (m * n + p) mod n = p mod n

⊦ ∀m n p. m < n ∧ n < p ⇒ m < p

⊦ ∀m n p. m < n ∧ n ≤ p ⇒ m < p

⊦ ∀m n p. m ≤ n ∧ n < p ⇒ m < p

⊦ ∀m n p. m ≤ n ∧ n ≤ p ⇒ m ≤ p

⊦ ∀l. ¬(l = []) ⇒ length (tail l) = length l - 1

⊦ ∀l m n. l @ m @ n = (l @ m) @ n

⊦ ∀P f l. all P (map f l) ⇔ all (P o f) l

⊦ ∀P f l. exists P (map f l) ⇔ exists (P o f) l

⊦ ∀f g l. map (g o f) l = map g (map f l)

⊦ ∀P x. (∀y. P y ⇔ y = x) ⇒ (select) P = x

⊦ ∀f g h. (f o (g o h)) = (f o g o h)

⊦ ∀P. (∀x. ∃y. P x y) ⇔ ∃y. ∀x. P x (y x)

⊦ ∀P. (∀x. ∃!y. P x y) ⇔ ∃!f. ∀x. P x (f x)

⊦ ∀t1 t2. (if T then t1 else t2) = t1 ∧ (if F then t1 else t2) = t2

⊦ ∀b f g. (λx. if b then f x else g x) = if b then f else g

⊦ ∀m n. 0 < m * n ⇔ 0 < m ∧ 0 < n

⊦ ∀m n. m * n = 0 ⇔ m = 0 ∨ n = 0

⊦ ∀m n. m + n = 0 ⇔ m = 0 ∧ n = 0

⊦ ∀l m. l @ m = [] ⇔ l = [] ∧ m = []

⊦ ∀p q. last (p @ q) = if q = [] then last p else last q

⊦ ∀l m. head (l @ m) = if l = [] then head m else head l

⊦ ∀P. (∀a. P (left a)) ∧ (∀a. P (right a)) ⇒ ∀x. P x

⊦ length [] = 0 ∧ ∀h t. length (h :: t) = suc (length t)

⊦ ∀l. ¬(l = []) ⇒ last l = nth (length l - 1) l

⊦ ∀P l x. member x (filter P l) ⇔ P x ∧ member x l

⊦ ∀f. injective f ⇔ ∀x1 x2. f x1 = f x2 ⇒ x1 = x2

⊦ ∀P. P 0 ∧ (∀n. P n ⇒ P (suc n)) ⇒ ∀n. P n

⊦ ∀P l. (∃x. exists (P x) l) ⇔ exists (λs. ∃x. P x s) l

⊦ ∀P l. (∀x. all (P x) l) ⇔ all (λs. ∀x. P x s) l

⊦ factorial 0 = 1 ∧ ∀n. factorial (suc n) = suc n * factorial n

⊦ (∀t. ¬¬t ⇔ t) ∧ (¬T ⇔ F) ∧ (¬F ⇔ T)

⊦ ∀NONE' SOME'. ∃fn. fn none = NONE' ∧ ∀a. fn (some a) = SOME' a

⊦ ∀m n. even (m - n) ⇔ m ≤ n ∨ (even m ⇔ even n)

⊦ ∀m n. ¬(n = 0) ⇒ (m div n = 0 ⇔ m < n)

⊦ ∀m n. ¬(n = 0) ⇒ m mod n mod n = m mod n

⊦ ∀n x. 0 < exp x n ⇔ ¬(x = 0) ∨ n = 0

⊦ ∀m n. exp m n = 0 ⇔ m = 0 ∧ ¬(n = 0)

⊦ ∀n l. n ≤ length l ⇒ length (drop n l) = length l - n

⊦ ∀n l. n ≤ length l ⇒ take n l @ drop n l = l

⊦ concat [] = [] ∧ ∀h t. concat (h :: t) = h @ concat t

⊦ ∀x l1 l2. member x (l1 @ l2) ⇔ member x l1 ∨ member x l2

⊦ ∀b t1 t2. (if b then t1 else t2) ⇔ (¬b ∨ t1) ∧ (b ∨ t2)

⊦ ∀p q r. p ∧ (q ∨ r) ⇔ p ∧ q ∨ p ∧ r

⊦ ∀p q r. (p ∨ q) ∧ r ⇔ p ∧ r ∨ q ∧ r

⊦ ∀m n i. i < n ⇒ nth i (interval m n) = m + i

⊦ ∀m n p. m * (n + p) = m * n + m * p

⊦ ∀m n p. m * (n - p) = m * n - m * p

⊦ ∀m n p. exp m (n + p) = exp m n * exp m p

⊦ ∀m n p. (m + n) * p = m * p + n * p

⊦ ∀m n p. (m - n) * p = m * p - n * p

⊦ ∀p m n. exp (m * n) p = exp m p * exp n p

⊦ ∀P l1 l2. filter P (l1 @ l2) = filter P l1 @ filter P l2

⊦ ∀P f l. filter P (map f l) = map f (filter (P o f) l)

⊦ ∀P l1 l2. all P (l1 @ l2) ⇔ all P l1 ∧ all P l2

⊦ ∀f l1 l2. map f (l1 @ l2) = map f l1 @ map f l2

⊦ ∀f. (∀m. ∃l. map f l = m) ⇔ ∀y. ∃x. f x = y

⊦ (∃!) = λP. (∃) P ∧ ∀x y. P x ∧ P y ⇒ x = y

⊦ ∀b f x y. f (if b then x else y) = if b then f x else f y

⊦ ∀b f g x. (if b then f else g) x = if b then f x else g x

⊦ ∀m n. odd (m - n) ⇔ n < m ∧ ¬(odd m ⇔ odd n)

⊦ ∀x n. exp x n = 1 ⇔ x = 1 ∨ n = 0

⊦ ∀P. (∃!x. P x) ⇔ ∃x. P x ∧ ∀y. P y ⇒ y = x

⊦ ∀P. (∀n. (∀m. m < n ⇒ P m) ⇒ P n) ⇒ ∀n. P n

⊦ ∀P g h. ∃f. ∀x. f x = if P x then f (g x) else h x

⊦ ∀P Q. (∀x. P x ∧ Q x) ⇔ (∀x. P x) ∧ ∀x. Q x

⊦ ∀P Q. (∃x. P x ∨ Q x) ⇔ (∃x. P x) ∨ ∃x. Q x

⊦ ∀P Q. (∀x. P x ⇒ Q x) ⇒ (∀x. P x) ⇒ ∀x. Q x

⊦ ∀P Q. (∀x. P x ⇒ Q x) ⇒ (∃x. P x) ⇒ ∃x. Q x

⊦ ∀P Q. (∀x. P x) ∧ (∀x. Q x) ⇔ ∀x. P x ∧ Q x

⊦ ∀P Q. (∃x. P x) ∨ (∃x. Q x) ⇔ ∃x. P x ∨ Q x

⊦ ∀l x. member x l ⇔ ∃i. i < length l ∧ x = nth i l

⊦ ∀t. (λp. t p) = λ(x, y). t (x, y)

⊦ ∀e f. ∃fn. fn 0 = e ∧ ∀n. fn (suc n) = f (fn n) n

⊦ ∀e f. ∃!fn. fn 0 = e ∧ ∀n. fn (suc n) = f (fn n) n

⊦ ∀e f. ∃fn. fn 0 = e ∧ ∀n. fn (suc n) = f n (fn n)

⊦ ∀m n. ¬(n = 0) ⇒ m div n * n + m mod n = m

⊦ ∀m n. m * n = 1 ⇔ m = 1 ∧ n = 1

⊦ ∀P Q l. (∀x. P x ⇒ Q x) ⇒ all P l ⇒ all Q l

⊦ ∀P. (∃n. P n) ⇔ ∃n. P n ∧ ∀m. m < n ⇒ ¬P m

⊦ ∀P. P [] ∧ (∀a0 a1. P a1 ⇒ P (a0 :: a1)) ⇒ ∀x. P x

⊦ ∀<< <<<. (∀x y. << x y ⇒ <<< x y) ∧ wellFounded <<< ⇒ wellFounded <<

⊦ reverse [] = [] ∧ ∀l x. reverse (x :: l) = reverse l @ x :: []

⊦ ∀m n p. m * n = m * p ⇔ m = 0 ∨ n = p

⊦ ∀m n p. m * p = n * p ⇔ m = n ∨ p = 0

⊦ ∀x y n. exp x n = exp y n ⇔ x = y ∨ n = 0

⊦ ∀m n p. m * n ≤ m * p ⇔ m = 0 ∨ n ≤ p

⊦ ∀m n p. m * p ≤ n * p ⇔ m ≤ n ∨ p = 0

⊦ ∀x y n. exp x n ≤ exp y n ⇔ x ≤ y ∨ n = 0

⊦ ∀f l i. i < length l ⇒ nth i (map f l) = f (nth i l)

⊦ ∀P. (∃n. P n) ⇔ P ((minimal) P) ∧ ∀m. m < (minimal) P ⇒ ¬P m

⊦ (∀n. 0 + n = n) ∧ ∀m n. suc m + n = suc (m + n)

⊦ (∀m. m - 0 = m) ∧ ∀m n. m - suc n = pre (m - n)

⊦ ∀f g l. all (λx. f x = g x) l ⇒ map f l = map g l

⊦ ∀P Q l. all (λx. P x ⇒ Q x) l ∧ all P l ⇒ all Q l

⊦ ∀P Q l. all P l ∧ all Q l ⇔ all (λx. P x ∧ Q x) l

⊦ ∀f y l. member y (map f l) ⇔ ∃x. member x l ∧ y = f x

⊦ cond = λt t1 t2. select x. ((t ⇔ T) ⇒ x = t1) ∧ ((t ⇔ F) ⇒ x = t2)

⊦ ∀a b n. ¬(a = 0) ⇒ (n ≤ b div a ⇔ a * n ≤ b)

⊦ ∀m n p. ¬(p = 0) ⇒ m * (n div p) ≤ m * n div p

⊦ ∀m n p. m * n < m * p ⇔ ¬(m = 0) ∧ n < p

⊦ ∀m n p. m * p < n * p ⇔ m < n ∧ ¬(p = 0)

⊦ ∀x y n. exp x n < exp y n ⇔ x < y ∧ ¬(n = 0)

⊦ ∀x y n. x < y ∧ ¬(n = 0) ⇒ exp x n < exp y n

⊦ ∀m n p. ¬(m = 0) ∧ n < p ⇒ m * n < m * p

⊦ ∀m n p. ¬(p = 0) ∧ m ≤ n ⇒ m div p ≤ n div p

⊦ ∀m n p. ¬(p = 0) ∧ p ≤ m ⇒ n div m ≤ n div p

⊦ ∀a b n. ¬(a = 0) ∧ b ≤ a * n ⇒ b div a ≤ n

⊦ ∀m n. ¬(n = 0) ⇒ (m mod n = 0 ⇔ ∃q. m = q * n)

⊦ ∀INL' INR'. ∃fn. (∀a. fn (left a) = INL' a) ∧ ∀a. fn (right a) = INR' a

⊦ (∀x. replicate 0 x = []) ∧ ∀n x. replicate (suc n) x = x :: replicate n x

⊦ (∀n. 0 * n = 0) ∧ ∀m n. suc m * n = m * n + n

⊦ ∀h1 h2 t1 t2. h1 :: t1 = h2 :: t2 ⇔ h1 = h2 ∧ t1 = t2

⊦ ∀x y a b. (x, y) = (a, b) ⇔ x = a ∧ y = b

⊦ ∀A B C D. (A ⇒ B) ∧ (C ⇒ D) ⇒ A ∧ C ⇒ B ∧ D

⊦ ∀A B C D. (A ⇒ B) ∧ (C ⇒ D) ⇒ A ∨ C ⇒ B ∨ D

⊦ ∀A B C D. (B ⇒ A) ∧ (C ⇒ D) ⇒ (A ⇒ C) ⇒ B ⇒ D

⊦ ∀m n p q. m = n + q * p ⇒ m mod p = n mod p

⊦ ∀m n p q. m < n ∧ p < q ⇒ m * p < n * q

⊦ ∀m n p q. m < p ∧ n < q ⇒ m + n < p + q

⊦ ∀m n p q. m < p ∧ n ≤ q ⇒ m + n < p + q

⊦ ∀m n p q. m ≤ n ∧ p ≤ q ⇒ m * p ≤ n * q

⊦ ∀m n p q. m ≤ p ∧ n < q ⇒ m + n < p + q

⊦ ∀m n p q. m ≤ p ∧ n ≤ q ⇒ m + n ≤ p + q

⊦ ∀m a b. (∀y. measure m y a ⇒ measure m y b) ⇔ m a ≤ m b

⊦ ∀P. (∀x. ∃!y. P x y) ⇔ ∃f. ∀x y. P x y ⇔ f x = y

⊦ ∀n h t. nth n (h :: t) = if n = 0 then h else nth (n - 1) t

⊦ ∀n. (∃k m. odd m ∧ n = exp 2 k * m) ⇔ ¬(n = 0)

⊦ (∀m. interval m 0 = []) ∧
∀m n. interval m (suc n) = m :: interval (suc m) n

⊦ (∀m. exp m 0 = 1) ∧ ∀m n. exp m (suc n) = m * exp m n

⊦ ∀l n. length l = suc n ⇔ ∃h t. l = h :: t ∧ length t = n

⊦ ∀P c x y. P (if c then x else y) ⇔ (c ⇒ P x) ∧ (¬c ⇒ P y)

⊦ (∀l. drop 0 l = l) ∧ ∀n h t. drop (suc n) (h :: t) = drop n t

⊦ ∀NIL' CONS'.
∃fn. fn [] = NIL' ∧ ∀a0 a1. fn (a0 :: a1) = CONS' a0 a1 (fn a1)

⊦ ∀m n p. ¬(n = 0) ⇒ m * (p mod n) mod n = m * p mod n

⊦ ∀m n p. ¬(n = 0) ⇒ m mod n * p mod n = m * p mod n

⊦ ∀m n p. ¬(n = 0) ⇒ exp (m mod n) p mod n = exp m p mod n

⊦ ∀m n p. ¬(m * p = 0) ⇒ m * n div (m * p) = n div p

⊦ ∀m n p. ¬(n * p = 0) ⇒ m div n div p = m div (n * p)

⊦ ∀m n p. ¬(n * p = 0) ⇒ m mod (n * p) mod n = m mod n

⊦ ∀m n p. ¬(p = 0) ∧ m + p ≤ n ⇒ m div p < n div p

⊦ ∀m n. (∃q. m = n * q) ⇔ if n = 0 then m = 0 else m mod n = 0

⊦ ∀n l i. n ≤ length l ∧ i < n ⇒ nth i (take n l) = nth i l

⊦ ∀P. (∃!x. P x) ⇔ (∃x. P x) ∧ ∀x x'. P x ∧ P x' ⇒ x = x'

⊦ ∀<<. wellFounded << ⇔ ∀P. (∀x. (∀y. << y x ⇒ P y) ⇒ P x) ⇒ ∀x. P x

⊦ (∀m. m < 0 ⇔ F) ∧ ∀m n. m < suc n ⇔ m = n ∨ m < n

⊦ (∀b f. case b f none = b) ∧ ∀b f a. case b f (some a) = f a

⊦ ∀m n q r. m = q * n + r ∧ r < n ⇒ m div n = q

⊦ ∀m n q r. m = q * n + r ∧ r < n ⇒ m mod n = r

⊦ ∀P Q l. (∀x. member x l ∧ P x ⇒ Q x) ∧ all P l ⇒ all Q l

⊦ ∀P Q l. (∀x. member x l ∧ P x ⇒ Q x) ∧ exists P l ⇒ exists Q l

⊦ ∀f l1 l2 n. length l1 = n ∧ length l2 = n ⇒ length (zipWith f l1 l2) = n

⊦ (∀l. [] @ l = l) ∧ ∀h t l. (h :: t) @ l = h :: t @ l

⊦ ∀a b n. ¬(a = 0) ⇒ (b div a ≤ n ⇔ b < a * (n + 1))

⊦ ∀<<. wellFounded << ⇔ ∀P. (∃x. P x) ⇔ ∃x. P x ∧ ∀y. << y x ⇒ ¬P y

⊦ ∀<<. wellFounded << ⇔ ∀P. (∃x. P x) ⇒ ∃x. P x ∧ ∀y. << y x ⇒ ¬P y

⊦ ∀t1 t2. (¬(t1 ∧ t2) ⇔ ¬t1 ∨ ¬t2) ∧ (¬(t1 ∨ t2) ⇔ ¬t1 ∧ ¬t2)

⊦ (∀l. take 0 l = []) ∧ ∀n h t. take (suc n) (h :: t) = h :: take n t

⊦ (∀P. all P [] ⇔ T) ∧ ∀h P t. all P (h :: t) ⇔ P h ∧ all P t

⊦ (∀P. exists P [] ⇔ F) ∧ ∀h P t. exists P (h :: t) ⇔ P h ∨ exists P t

⊦ (∀f. map f [] = []) ∧ ∀f h t. map f (h :: t) = f h :: map f t

⊦ (∀h. last (h :: []) = h) ∧ ∀h k t. last (h :: k :: t) = last (k :: t)

⊦ ∀b A B C D. (A ⇒ B) ∧ (C ⇒ D) ⇒ (if b then A else C) ⇒ if b then B else D

⊦ ∀m n p. ¬(n = 0) ⇒ m mod n * (p mod n) mod n = m * p mod n

⊦ ∀a b n. ¬(n = 0) ⇒ (a mod n + b mod n) mod n = (a + b) mod n

⊦ ∀m n p. ¬(m * p = 0) ⇒ m * n mod (m * p) = m * (n mod p)

⊦ ∀m n p. ¬(n * p = 0) ⇒ m div n mod p = m mod (n * p) div n

⊦ ∀k l m.
nth k (l @ m) = if k < length l then nth k l else nth (k - length l) m

⊦ (∀x. member x [] ⇔ F) ∧ ∀h x t. member x (h :: t) ⇔ x = h ∨ member x t

⊦ (∀m. m ≤ 0 ⇔ m = 0) ∧ ∀m n. m ≤ suc n ⇔ m = suc n ∨ m ≤ n

⊦ (∀h t. nth 0 (h :: t) = h) ∧ ∀h t n. nth (suc n) (h :: t) = nth n t

⊦ (∀b f. case b f [] = b) ∧ ∀b f h t. case b f (h :: t) = f h t

⊦ ∀t. ((T ⇔ t) ⇔ t) ∧ ((t ⇔ T) ⇔ t) ∧ ((F ⇔ t) ⇔ ¬t) ∧ ((t ⇔ F) ⇔ ¬t)

⊦ ∀l m.
length l = length m ∧ (∀i. i < length l ⇒ nth i l = nth i m) ⇒ l = m

⊦ ∀n l i.
n ≤ length l ∧ i < length l - n ⇒ nth i (drop n l) = nth (n + i) l

⊦ ∀n. (even n ⇒ ∃m. n = 2 * m) ∧ (¬even n ⇒ ∃m. n = suc (2 * m))

⊦ ∀P. (∃x. P x) ∧ (∃M. ∀x. P x ⇒ x ≤ M) ⇔ ∃m. P m ∧ ∀x. P x ⇒ x ≤ m

⊦ ∀f. (∀l m. map f l = map f m ⇒ l = m) ⇔ ∀x y. f x = f y ⇒ x = y

⊦ ∀m n q r. m = q * n + r ∧ r < n ⇒ m div n = q ∧ m mod n = r

⊦ ∀a b c d. ¬(b = 0) ∧ b * c < (a + 1) * d ⇒ c div d ≤ a div b

⊦ (∀P. filter P [] = []) ∧
∀h P t. filter P (h :: t) = if P h then h :: filter P t else filter P t

⊦ ∀P. (∀m n. P m n ⇔ P n m) ∧ (∀m n. m ≤ n ⇒ P m n) ⇒ ∀m n. P m n

⊦ ∀t. (T ∧ t ⇔ t) ∧ (t ∧ T ⇔ t) ∧ (F ∧ t ⇔ F) ∧ (t ∧ F ⇔ F) ∧ (t ∧ t ⇔ t)

⊦ ∀t. (T ∨ t ⇔ T) ∧ (t ∨ T ⇔ T) ∧ (F ∨ t ⇔ t) ∧ (t ∨ F ⇔ t) ∧ (t ∨ t ⇔ t)

⊦ ∀t. (T ⇒ t ⇔ t) ∧ (t ⇒ T ⇔ T) ∧ (F ⇒ t ⇔ T) ∧ (t ⇒ t ⇔ T) ∧ (t ⇒ F ⇔ ¬t)

⊦ ∀x m n.
exp x m = exp x n ⇔ if x = 0 then m = 0 ⇔ n = 0 else x = 1 ∨ m = n

⊦ ∀x m n.
exp x m ≤ exp x n ⇔ if x = 0 then m = 0 ⇒ n = 0 else x = 1 ∨ m ≤ n

⊦ (∀f. zipWith f [] [] = []) ∧
∀f h1 h2 t1 t2.
zipWith f (h1 :: t1) (h2 :: t2) = f h1 h2 :: zipWith f t1 t2

⊦ ∀x m n. exp x m < exp x n ⇔ 2 ≤ x ∧ m < n ∨ x = 0 ∧ ¬(m = 0) ∧ n = 0

⊦ ∀R.
(∀x y z. R x y ∧ R y z ⇒ R x z) ⇒
((∀m n. m < n ⇒ R m n) ⇔ ∀n. R n (suc n))

⊦ ∀R.
(∀x y z. R x y ∧ R y z ⇒ R x z) ∧ (∀n. R n (suc n)) ⇒
∀m n. m < n ⇒ R m n

⊦ ∀H.
(∀f g n. (∀m. m < n ⇒ f m = g m) ⇒ H f n = H g n) ⇒ ∃f. ∀n. f n = H f n

⊦ ∀a b c d. b * c < (a + 1) * d ∧ a * d < (c + 1) * b ⇒ a div b = c div d

⊦ ∀P.
(∀m. P m m) ∧ (∀m n. P m n ⇔ P n m) ∧ (∀m n. m < n ⇒ P m n) ⇒
∀m y. P m y

⊦ ∀m n p.
m * n = n * m ∧ m * n * p = m * (n * p) ∧ m * (n * p) = n * (m * p)

⊦ ∀m n p.
m + n = n + m ∧ m + n + p = m + (n + p) ∧ m + (n + p) = n + (m + p)

⊦ ∀<< <<<.
wellFounded << ∧ wellFounded <<< ⇒
wellFounded (λ(x1, y1) (x2, y2). << x1 x2 ∧ <<< y1 y2)

⊦ ∀a b n.
¬(n = 0) ⇒
((a + b) mod n = a mod n + b mod n ⇔ (a + b) div n = a div n + b div n)

⊦ ∀<<.
    wellFounded << ⇒
    ∀H.
      (∀f g x. (∀z. << z x ⇒ f z = g z) ⇒ H f x = H g x) ⇒
      ∃f. ∀x. f x = H f x

⊦ ∀<<.
    wellFounded << ⇒
    ∀H.
      (∀f g x. (∀z. << z x ⇒ f z = g z) ⇒ H f x = H g x) ⇒
      ∃!f. ∀x. f x = H f x

⊦ ∀<<.
    (∀H.
       (∀f g x. (∀z. << z x ⇒ f z = g z) ⇒ H f x = H g x) ⇒
       ∃f. ∀x. f x = H f x) ⇒ wellFounded <<

⊦ ∀R S.
wellFounded R ∧ wellFounded S ⇒
wellFounded (λ(r1, s1) (r2, s2). R r1 r2 ∨ r1 = r2 ∧ S s1 s2)

⊦ ∀R.
(∀x. R x x) ∧ (∀x y z. R x y ∧ R y z ⇒ R x z) ⇒
((∀m n. m ≤ n ⇒ R m n) ⇔ ∀n. R n (suc n))

⊦ ∀R.
(∀x. R x x) ∧ (∀x y z. R x y ∧ R y z ⇒ R x z) ∧ (∀n. R n (suc n)) ⇒
∀m n. m ≤ n ⇒ R m n

⊦ (∀n. 0 + n = n) ∧ (∀m. m + 0 = m) ∧ (∀m n. suc m + n = suc (m + n)) ∧
∀m n. m + suc n = suc (m + n)

⊦ ∀R S.
wellFounded R ∧ (∀a. wellFounded (S a)) ⇒
wellFounded (λ(r1, s1) (r2, s2). R r1 r2 ∨ r1 = r2 ∧ S r1 s1 s2)

⊦ ∀p q r.
(p ∧ q ⇔ q ∧ p) ∧ ((p ∧ q) ∧ r ⇔ p ∧ q ∧ r) ∧ (p ∧ q ∧ r ⇔ q ∧ p ∧ r) ∧
(p ∧ p ⇔ p) ∧ (p ∧ p ∧ q ⇔ p ∧ q)

⊦ ∀p q r.
(p ∨ q ⇔ q ∨ p) ∧ ((p ∨ q) ∨ r ⇔ p ∨ q ∨ r) ∧ (p ∨ q ∨ r ⇔ q ∨ p ∨ r) ∧
(p ∨ p ⇔ p) ∧ (p ∨ p ∨ q ⇔ p ∨ q)

⊦ ∀<<.
    wellFounded << ⇒
    ∀H S.
      (∀f g x.
         (∀z. << z x ⇒ f z = g z ∧ S z (f z)) ⇒
         H f x = H g x ∧ S x (H f x)) ⇒ ∃f. ∀x. f x = H f x

⊦ ∀<<.
    wellFounded << ⇒
    ∀H.
      (∀f g x. (∀z. << z x ⇒ f z = g z) ⇒ H f x = H g x) ⇒
      ∀f g. (∀x. f x = H f x) ∧ (∀x. g x = H g x) ⇒ f = g

⊦ ∀<<.
    (∀H.
       (∀f g x. (∀z. << z x ⇒ (f z ⇔ g z)) ⇒ (H f x ⇔ H g x)) ⇒
       ∀f g. (∀x. f x ⇔ H f x) ∧ (∀x. g x ⇔ H g x) ⇒ f = g) ⇒
    wellFounded <<

⊦ (∀n. 0 * n = 0) ∧ (∀m. m * 0 = 0) ∧ (∀n. 1 * n = n) ∧ (∀m. m * 1 = m) ∧
(∀m n. suc m * n = m * n + n) ∧ ∀m n. m * suc n = m + m * n

⊦ (∀n. ¬(n = 0) ⇒ 0 < n) ∧ (∀n. ¬(n = 0) ⇒ 1 ≤ n) ∧
(∀n. 0 < n ⇒ ¬(n = 0)) ∧ (∀n. 0 < n ⇒ 1 ≤ n) ∧ (∀n. 1 ≤ n ⇒ 0 < n) ∧
∀n. 1 ≤ n ⇒ ¬(n = 0)

⊦ ∀<< P G H.
    wellFounded << ∧
    (∀f g x.
       (∀z. << z x ⇒ f z = g z) ⇒
       (P f x ⇔ P g x) ∧ G f x = G g x ∧ H f x = H g x) ∧
    (∀f g x. (∀z. << z x ⇒ f z = g z) ⇒ H f x = H g x) ∧
    (∀f x y. P f x ∧ << y (G f x) ⇒ << y x) ⇒
    ∃f. ∀x. f x = if P f x then f (G f x) else H f x

Input Type Operators

→
bool
ind

Input Constants

=
Data
- Bool
  - select