Package bool: Boolean operators and quantifiers

Information

Files

• Package tarball bool-1.37.tgz
• Theory source file bool.thy (included in the package tarball)

Defined Constants

• Data
  • Bool
    • ∀
    • ∧
    • ⇒
    • ∃
    • ∃!
    • ∨
    • ¬
    • cond
    • ⊥
    • ⊤

Theorems

⊦ ⊤

⊦ ¬⊥ ⇔ ⊤

⊦ ¬⊤ ⇔ ⊥

⊦ ∀x. x = x

⊦ ∀t. t ⇒ t

⊦ ⊥ ⇔ ∀p. p

⊦ ∀t. t ∨ ¬t

⊦ (¬) = λp. p ⇒ ⊥

⊦ (∃) = λp. p ((select) p)

⊦ ∀a. ∃x. x = a

⊦ ∀a. ∃!x. x = a

⊦ ∀t. (∀x. t) ⇔ t

⊦ ∀t. (∃x. t) ⇔ t

⊦ ∀t. (λx. t x) = t

⊦ ⊤ ⇔ (λp. p) = λp. p

⊦ (∀) = λp. p = λx. ⊤

⊦ ∀t. ¬¬t ⇔ t

⊦ ∀t. (⊤ ⇔ t) ⇔ t

⊦ ∀t. (t ⇔ ⊤) ⇔ t

⊦ ∀t. ⊥ ∧ t ⇔ ⊥

⊦ ∀t. ⊤ ∧ t ⇔ t

⊦ ∀t. t ∧ ⊥ ⇔ ⊥

⊦ ∀t. t ∧ ⊤ ⇔ t

⊦ ∀t. t ∧ t ⇔ t

⊦ ∀t. ⊥ ⇒ t ⇔ ⊤

⊦ ∀t. ⊤ ⇒ t ⇔ t

⊦ ∀t. t ⇒ ⊤ ⇔ ⊤

⊦ ∀t. ⊥ ∨ t ⇔ t

⊦ ∀t. ⊤ ∨ t ⇔ ⊤

⊦ ∀t. t ∨ ⊥ ⇔ t

⊦ ∀t. t ∨ ⊤ ⇔ ⊤

⊦ ∀t. t ∨ t ⇔ t

⊦ ∀t₁ t₂. (let x ← t₂ in t₁) = t₁

⊦ ∀t. (⊥ ⇔ t) ⇔ ¬t

⊦ ∀t. (t ⇔ ⊥) ⇔ ¬t

⊦ ∀t. t ⇒ ⊥ ⇔ ¬t

⊦ ∀x. (select y. y = x) = x

⊦ (⇒) = λp q. p ∧ q ⇔ p

⊦ ∀t. (t ⇔ ⊤) ∨ (t ⇔ ⊥)

⊦ ∀t₁ t₂. (if ⊥ then t₁ else t₂) = t₂

⊦ ∀t₁ t₂. (if ⊤ then t₁ else t₂) = t₁

⊦ ∀b t. (if b then t else t) = t

⊦ ∀p x. p x ⇒ p ((select) p)

⊦ ∀f y. (let x ← y in f x) = f y

⊦ ∀x y. x = y ⇔ y = x

⊦ ∀x y. x = y ⇒ y = x

⊦ ∀t₁ t₂. t₁ ∧ t₂ ⇔ t₂ ∧ t₁

⊦ ∀t₁ t₂. t₁ ∨ t₂ ⇔ t₂ ∨ t₁

⊦ ∀a b. (a ⇔ b) ⇒ a ⇒ b

⊦ ∀p. (∀b. p b) ⇔ p ⊤ ∧ p ⊥

⊦ ∀p. (∃b. p b) ⇔ p ⊤ ∨ p ⊥

⊦ ∀p. p ⊥ ∧ p ⊤ ⇒ ∀x. p x

⊦ (∧) = λp q. (λf. f p q) = λf. f ⊤ ⊤

⊦ ∀p. (∀x. ¬p x) ⇔ ¬∃x. p x

⊦ ∀p. (∃x. ¬p x) ⇔ ¬∀x. p x

⊦ ∀p. ¬(∀x. p x) ⇔ ∃x. ¬p x

⊦ ∀p. ¬(∃x. p x) ⇔ ∀x. ¬p x

⊦ (∃) = λp. ∀q. (∀x. p x ⇒ q) ⇒ q

⊦ ∀p q. (q ⇒ p) ⇒ ¬p ⇒ ¬q

⊦ ∀t₁ t₂. ¬(t₁ ⇒ t₂) ⇔ t₁ ∧ ¬t₂

⊦ ∀t₁ t₂. (¬t₁ ⇔ ¬t₂) ⇔ t₁ ⇔ t₂

⊦ ∀t₁ t₂. ¬t₁ ⇒ ¬t₂ ⇔ t₂ ⇒ t₁

⊦ ∀t₁ t₂. ¬(t₁ ∧ t₂) ⇔ ¬t₁ ∨ ¬t₂

⊦ ∀t₁ t₂. ¬(t₁ ∨ t₂) ⇔ ¬t₁ ∧ ¬t₂

⊦ ∀a b. ∃f. f ⊥ = a ∧ f ⊤ = b

⊦ ∀f g. (∀x. f x = g x) ⇔ f = g

⊦ ∀f g. (∀x. f x = g x) ⇒ f = g

⊦ ∀p a. (∀x. a = x ⇒ p x) ⇔ p a

⊦ ∀p a. (∀x. x = a ⇒ p x) ⇔ p a

⊦ ∀p a. (∃x. a = x ∧ p x) ⇔ p a

⊦ ∀p a. (∃x. x = a ∧ p x) ⇔ p a

⊦ (∨) = λp q. ∀r. (p ⇒ r) ⇒ (q ⇒ r) ⇒ r

⊦ ∀c x y. (if ¬c then x else y) = if c then y else x

⊦ ∀p q. (∀x. p ⇒ q) ⇔ (∃x. p) ⇒ ∀x. q

⊦ ∀p q. (∀x. p ∨ q) ⇔ (∀x. p) ∨ ∀x. q

⊦ ∀p q. (∃x. p ∧ q) ⇔ (∃x. p) ∧ ∃x. q

⊦ ∀p q. (∃x. p ⇒ q) ⇔ (∀x. p) ⇒ ∃x. q

⊦ ∀p q. (∃x. p) ∧ (∃x. q) ⇔ ∃x. p ∧ q

⊦ ∀p q. (∀x. p) ∨ (∀x. q) ⇔ ∀x. p ∨ q

⊦ ∀p. (∀x y. p x y) ⇔ ∀y x. p x y

⊦ ∀p. (∃x y. p x y) ⇔ ∃y x. p x y

⊦ ∀p q. (∀x. p ⇒ q x) ⇔ p ⇒ ∀x. q x

⊦ ∀p q. (∀x. p ∨ q x) ⇔ p ∨ ∀x. q x

⊦ ∀p q. (∃x. p ∧ q x) ⇔ p ∧ ∃x. q x

⊦ ∀p q. (∃x. p ⇒ q x) ⇔ p ⇒ ∃x. q x

⊦ ∀p q. p ∧ (∀x. q x) ⇔ ∀x. p ∧ q x

⊦ ∀p q. p ∧ (∃x. q x) ⇔ ∃x. p ∧ q x

⊦ ∀p q. p ⇒ (∀x. q x) ⇔ ∀x. p ⇒ q x

⊦ ∀p q. p ⇒ (∃x. q x) ⇔ ∃x. p ⇒ q x

⊦ ∀p q. p ∨ (∀x. q x) ⇔ ∀x. p ∨ q x

⊦ ∀p q. p ∨ (∃x. q x) ⇔ ∃x. p ∨ q x

⊦ ∀p q. (∀x. p x ⇒ q) ⇔ (∃x. p x) ⇒ q

⊦ ∀p q. (∀x. p x ∨ q) ⇔ (∀x. p x) ∨ q

⊦ ∀p q. (∃x. p x ∧ q) ⇔ (∃x. p x) ∧ q

⊦ ∀p q. (∃x. p x ⇒ q) ⇔ (∀x. p x) ⇒ q

⊦ ∀p q. (∀x. p x) ∧ q ⇔ ∀x. p x ∧ q

⊦ ∀p q. (∃x. p x) ∧ q ⇔ ∃x. p x ∧ q

⊦ ∀p q. (∀x. p x) ⇒ q ⇔ ∃x. p x ⇒ q

⊦ ∀p q. (∃x. p x) ⇒ q ⇔ ∀x. p x ⇒ q

⊦ ∀p q. (∀x. p x) ∨ q ⇔ ∀x. p x ∨ q

⊦ ∀p q. (∃x. p x) ∨ q ⇔ ∃x. p x ∨ q

⊦ ∀p. (∃!x. p x) ⇔ ∃x. ∀y. p y ⇔ x = y

⊦ ∀x y z. x = y ∧ y = z ⇒ x = z

⊦ ∀p q r. p ⇒ q ⇒ r ⇔ p ∧ q ⇒ r

⊦ ∀t₁ t₂ t₃. (t₁ ∧ t₂) ∧ t₃ ⇔ t₁ ∧ t₂ ∧ t₃

⊦ ∀t₁ t₂ t₃. (t₁ ∨ t₂) ∨ t₃ ⇔ t₁ ∨ t₂ ∨ t₃

⊦ ∀p x. (∀y. p y ⇔ y = x) ⇒ (select) p = x

⊦ ∀r. (∀x. ∃y. r x y) ⇔ ∃f. ∀x. r x (f x)

⊦ ∀p. (∀x. ∃!y. p x y) ⇔ ∃!f. ∀x. p x (f x)

⊦ ∀b f g. (λx. if b then f x else g x) = if b then f else g

⊦ ∀b t₁ t₂. (if b then t₁ else t₂) ⇔ (¬b ∨ t₁) ∧ (b ∨ t₂)

⊦ ∀p q r. p ∧ (q ∨ r) ⇔ p ∧ q ∨ p ∧ r

⊦ ∀p q r. p ⇒ q ∧ r ⇔ (p ⇒ q) ∧ (p ⇒ r)

⊦ ∀p q r. p ∨ q ∧ r ⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)

⊦ ∀p q r. (p ∨ q) ∧ r ⇔ p ∧ r ∨ q ∧ r

⊦ ∀p q r. p ∨ q ⇒ r ⇔ (p ⇒ r) ∧ (q ⇒ r)

⊦ ∀p q r. p ∧ q ∨ r ⇔ (p ∨ r) ∧ (q ∨ r)

⊦ (∃!) = λp. (∃) p ∧ ∀x y. p x ∧ p y ⇒ x = y

⊦ ∀b f x y. f (if b then x else y) = if b then f x else f y

⊦ ∀b f g x. (if b then f else g) x = if b then f x else g x

⊦ ∀p. (∃!x. p x) ⇔ ∃x. p x ∧ ∀y. p y ⇒ y = x

⊦ ∀p q. (∀x. p x ∧ q x) ⇔ (∀x. p x) ∧ ∀x. q x

⊦ ∀p q. (∃x. p x ∨ q x) ⇔ (∃x. p x) ∨ ∃x. q x

⊦ ∀p q. (∀x. p x ⇒ q x) ⇒ (∀x. p x) ⇒ ∀x. q x

⊦ ∀p q. (∀x. p x ⇒ q x) ⇒ (∃x. p x) ⇒ ∃x. q x

⊦ ∀p q. (∀x. p x) ∧ (∀x. q x) ⇔ ∀x. p x ∧ q x

⊦ ∀p q. (∃x. p x) ∨ (∃x. q x) ⇔ ∃x. p x ∨ q x

⊦ cond = λt t₁ t₂. select x. ((t ⇔ ⊤) ⇒ x = t₁) ∧ ((t ⇔ ⊥) ⇒ x = t₂)

⊦ ∀p₁ p₂ q₁ q₂. (p₁ ⇒ p₂) ∧ (q₁ ⇒ q₂) ⇒ p₁ ∧ q₁ ⇒ p₂ ∧ q₂

⊦ ∀p₁ p₂ q₁ q₂. (p₁ ⇒ p₂) ∧ (q₁ ⇒ q₂) ⇒ p₁ ∨ q₁ ⇒ p₂ ∨ q₂

⊦ ∀p₁ p₂ q₁ q₂. (p₂ ⇒ p₁) ∧ (q₁ ⇒ q₂) ⇒ (p₁ ⇒ q₁) ⇒ p₂ ⇒ q₂

⊦ ∀p. (∀x. ∃!y. p x y) ⇔ ∃f. ∀x y. p x y ⇔ f x = y

⊦ ∀p c x y. p (if c then x else y) ⇔ (c ⇒ p x) ∧ (¬c ⇒ p y)

⊦ ∀p. (∃!x. p x) ⇔ (∃x. p x) ∧ ∀x x'. p x ∧ p x' ⇒ x = x'

⊦ ∀p r. (∀x. p x ⇒ ∃y. r x y) ⇔ ∃f. ∀x. p x ⇒ r x (f x)

⊦ ∀b p q r s. (p ⇒ q) ∧ (r ⇒ s) ⇒ (if b then p else r) ⇒ if b then q else s

⊦ ∀r p.
    (∀x y. p x y ⇒ p y x) ∧ (∀x y. r x y ∨ r y x) ∧ (∀x y. r x y ⇒ p x y) ⇒
    ∀x y. p x y

External Type Operators

• →
• bool

External Constants

• =
• select

Assumptions

⊦ AXIOM OF EXTENSIONALITY

⊦ AXIOM OF CHOICE

OpenTheory package document generated by opentheory 1.3 (release 20150526)