Package list-nth-thm: list-nth-thm

Information

name	list-nth-thm
version	1.13
description	list-nth-thm
author	Joe Hurd <joe@gilith.com>
license	HOLLight
provenance	HOL Light theory extracted on 2011-09-21
show	Data.Bool

Files

Package tarball list-nth-thm-1.13.tgz
Theory file list-nth-thm.thy (included in the package tarball)

Theorems

⊦ ∀h t. Data.List.nth 0 (Data.List.:: h t) = h

⊦ ∀l i.
Number.Natural.< i (Data.List.length l) ⇒
Set.∈ (Data.List.nth i l) (Data.List.toSet l)

⊦ ∀l.
    ¬(l = Data.List.[]) ⇒
    Data.List.last l =
    Data.List.nth (Number.Natural.- (Data.List.length l) 1) l

⊦ ∀P l.
Data.List.all P l ⇔
∀i. Number.Natural.< i (Data.List.length l) ⇒ P (Data.List.nth i l)

⊦ ∀P l.
Data.List.exists P l ⇔
∃i. Number.Natural.< i (Data.List.length l) ∧ P (Data.List.nth i l)

⊦ ∀h t n.
    Number.Natural.< n (Data.List.length t) ⇒
    Data.List.nth (Number.Natural.suc n) (Data.List.:: h t) =
    Data.List.nth n t

⊦ ∀x l.
Set.∈ x (Data.List.toSet l) ⇔
∃i. Number.Natural.< i (Data.List.length l) ∧ x = Data.List.nth i l

⊦ ∀f l i.
Number.Natural.< i (Data.List.length l) ⇒
Data.List.nth i (Data.List.map f l) = f (Data.List.nth i l)

⊦ ∀l m.
    Data.List.length l = Data.List.length m ∧
    (∀i.
       Number.Natural.< i (Data.List.length l) ⇒
       Data.List.nth i l = Data.List.nth i m) ⇒ l = m

⊦ ∀k l m.
    Number.Natural.< k
      (Number.Natural.+ (Data.List.length l) (Data.List.length m)) ⇒
    Data.List.nth k (Data.List.@ l m) =
    if Number.Natural.< k (Data.List.length l) then Data.List.nth k l
    else Data.List.nth (Number.Natural.- k (Data.List.length l)) m

Input Type Operators

→
bool
Data
- List
  - Data.List.list
Number
- Natural
  - Number.Natural.natural
Set
- Set.set

Input Constants

=
Data
- Bool
  - ∀
  - ∧
  - ⇒
  - ∃
  - ∨
  - ¬
  - cond
  - F
  - T
- List
  - Data.List.::
  - Data.List.@
  - Data.List.[]
  - Data.List.all
  - Data.List.exists
  - Data.List.last
  - Data.List.length
  - Data.List.map
  - Data.List.nth
  - Data.List.toSet
Number
- Natural
  - Number.Natural.+
  - Number.Natural.-
  - Number.Natural.<
  - Number.Natural.≤
  - Number.Natural.bit1
  - Number.Natural.suc
  - Number.Natural.zero
Set
- Set.∅
- Set.insert
- Set.∈

Assumptions

⊦ T

⊦ F ⇔ ∀p. p

⊦ 1 = Number.Natural.suc 0

⊦ ∀x. ¬Set.∈ x Set.∅

⊦ ∀n. ¬Number.Natural.< n n

⊦ ∀n. Number.Natural.< 0 (Number.Natural.suc n)

⊦ ∀n. Number.Natural.< n (Number.Natural.suc n)

⊦ (¬) = λp. p ⇒ F

⊦ ∀t. (∀x. t) ⇔ t

⊦ (∀) = λp. p = λx. T

⊦ ∀x. x = x ⇔ T

⊦ ∀n. ¬(Number.Natural.suc n = 0)

⊦ ∀m. Number.Natural.- m 0 = m

⊦ ∀n. Number.Natural.- n n = 0

⊦ (⇒) = λp q. p ∧ q ⇔ p

⊦ ∀n. Number.Natural.- (Number.Natural.suc n) 1 = n

⊦ ∀h t. ¬(Data.List.:: h t = Data.List.[])

⊦ (¬T ⇔ F) ∧ (¬F ⇔ T)

⊦ ∀l. Data.List.length l = 0 ⇔ l = Data.List.[]

⊦ ∀x y. x = y ⇒ y = x

⊦ ∀l f. Data.List.length (Data.List.map f l) = Data.List.length l

⊦ ∀m n. ¬Number.Natural.< m n ⇔ Number.Natural.≤ n m

⊦ ∀m. m = 0 ∨ ∃n. m = Number.Natural.suc n

⊦ (∧) = λp q. (λf. f p q) = λf. f T T

⊦ (∃) = λP. ∀q. (∀x. P x ⇒ q) ⇒ q

⊦ ∀m n. Number.Natural.suc m = Number.Natural.suc n ⇔ m = n

⊦ ∀m n.
Number.Natural.< (Number.Natural.suc m) (Number.Natural.suc n) ⇔
Number.Natural.< m n

⊦ ∀l m.
Data.List.length (Data.List.@ l m) =
Number.Natural.+ (Data.List.length l) (Data.List.length m)

⊦ (∨) = λp q. ∀r. (p ⇒ r) ⇒ (q ⇒ r) ⇒ r

⊦ ∀P. (∀x y. P x y) ⇔ ∀y x. P x y

⊦ ∀h t.
Data.List.last (Data.List.:: h t) =
if t = Data.List.[] then h else Data.List.last t

⊦ ∀P l. Data.List.all P l ⇔ ∀x. Set.∈ x (Data.List.toSet l) ⇒ P x

⊦ ∀P l. Data.List.exists P l ⇔ ∃x. Set.∈ x (Data.List.toSet l) ∧ P x

⊦ ∀t1 t2. (if T then t1 else t2) = t1 ∧ (if F then t1 else t2) = t2

⊦ ∀m n.
    Number.Natural.≤ n m ⇒
    Number.Natural.- (Number.Natural.suc m) (Number.Natural.suc n) =
    Number.Natural.- m n

⊦ Data.List.length Data.List.[] = 0 ∧
  ∀h t.
    Data.List.length (Data.List.:: h t) =
    Number.Natural.suc (Data.List.length t)

⊦ ∀P. P 0 ∧ (∀n. P n ⇒ P (Number.Natural.suc n)) ⇒ ∀n. P n

⊦ Data.List.toSet Data.List.[] = Set.∅ ∧
∀h t.
Data.List.toSet (Data.List.:: h t) = Set.insert h (Data.List.toSet t)

⊦ ∀x y s. Set.∈ x (Set.insert y s) ⇔ x = y ∨ Set.∈ x s

⊦ ∀P. P Data.List.[] ∧ (∀a0 a1. P a1 ⇒ P (Data.List.:: a0 a1)) ⇒ ∀x. P x

⊦ (∀n. Number.Natural.+ 0 n = n) ∧
  ∀m n.
    Number.Natural.+ (Number.Natural.suc m) n =
    Number.Natural.suc (Number.Natural.+ m n)

⊦ ∀h1 h2 t1 t2. Data.List.:: h1 t1 = Data.List.:: h2 t2 ⇔ h1 = h2 ∧ t1 = t2

⊦ ∀P c x y. P (if c then x else y) ⇔ (c ⇒ P x) ∧ (¬c ⇒ P y)

⊦ (∀m. Number.Natural.< m 0 ⇔ F) ∧
  ∀m n.
    Number.Natural.< m (Number.Natural.suc n) ⇔
    m = n ∨ Number.Natural.< m n

⊦ (∀l. Data.List.@ Data.List.[] l = l) ∧
∀l h t.
Data.List.@ (Data.List.:: h t) l = Data.List.:: h (Data.List.@ t l)

⊦ (∀f. Data.List.map f Data.List.[] = Data.List.[]) ∧
  ∀f h t.
    Data.List.map f (Data.List.:: h t) =
    Data.List.:: (f h) (Data.List.map f t)

⊦ ∀t. (T ∧ t ⇔ t) ∧ (t ∧ T ⇔ t) ∧ (F ∧ t ⇔ F) ∧ (t ∧ F ⇔ F) ∧ (t ∧ t ⇔ t)

⊦ ∀t. (T ∨ t ⇔ T) ∧ (t ∨ T ⇔ T) ∧ (F ∨ t ⇔ t) ∧ (t ∨ F ⇔ t) ∧ (t ∨ t ⇔ t)

⊦ (∀h t. Data.List.nth 0 (Data.List.:: h t) = h) ∧
  ∀h t n.
    Number.Natural.< n (Data.List.length t) ⇒
    Data.List.nth (Number.Natural.suc n) (Data.List.:: h t) =
    Data.List.nth n t

⊦ ∀t. (T ⇒ t ⇔ t) ∧ (t ⇒ T ⇔ T) ∧ (F ⇒ t ⇔ T) ∧ (t ⇒ t ⇔ T) ∧ (t ⇒ F ⇔ ¬t)