Package list-quant-thm: list-quant-thm

Information

Files

• Package tarball list-quant-thm-1.9.tgz
• Theory file list-quant-thm.thy (included in the package tarball)

Theorems

⊦ ∀l. Data.List.all (λx. T) l

⊦ ∀P l. ¬Data.List.all P l ⇔ Data.List.exists (λx. ¬P x) l

⊦ ∀P l. ¬Data.List.exists P l ⇔ Data.List.all (λx. ¬P x) l

⊦ ∀P f l.
    Data.List.all P (Data.List.map f l) ⇔ Data.List.all (Function.o P f) l

⊦ ∀P f l.
    Data.List.exists P (Data.List.map f l) ⇔
    Data.List.exists (Function.o P f) l

⊦ ∀P l. (∀x. Data.List.all (P x) l) ⇔ Data.List.all (λs. ∀x. P x s) l

⊦ ∀P l. (∃x. Data.List.exists (P x) l) ⇔ Data.List.exists (λs. ∃x. P x s) l

⊦ ∀P l1 l2.
    Data.List.all P (Data.List.@ l1 l2) ⇔
    Data.List.all P l1 ∧ Data.List.all P l2

⊦ ∀P Q l. (∀x. P x ⇒ Q x) ⇒ Data.List.all P l ⇒ Data.List.all Q l

⊦ ∀f g l.
    Data.List.all (λx. f x = g x) l ⇒ Data.List.map f l = Data.List.map g l

⊦ ∀P Q l.
    Data.List.all P l ∧ Data.List.all Q l ⇔ Data.List.all (λx. P x ∧ Q x) l

⊦ ∀P Q l.
    Data.List.all (λx. P x ⇒ Q x) l ∧ Data.List.all P l ⇒ Data.List.all Q l

Input Type Operators

• →
• bool
• Data
  • List
    • Data.List.list

Input Constants

• =
• Data
  • Bool
    • ∀
    • ∧
    • ⇒
    • ∃
    • ∨
    • ~
    • F
    • T
  • List
    • Data.List.::
    • Data.List.@
    • Data.List.[]
    • Data.List.all
    • Data.List.exists
    • Data.List.map
• Function
  • Function.id
  • Function.o

Assumptions

⊦ T

⊦ ∀x. Function.id x = x

⊦ ∀a. ∃x. x = a

⊦ ∀t. (∀x. t) ⇔ t

⊦ ∀t. (∃x. t) ⇔ t

⊦ ∀t. (λx. t x) = t

⊦ (∀) = λp. p = λx. T

⊦ ∀x. x = x ⇔ T

⊦ (⇒) = λp q. p ∧ q ⇔ p

⊦ ∀t. (t ⇔ T) ∨ (t ⇔ F)

⊦ (¬T ⇔ F) ∧ (¬F ⇔ T)

⊦ ∀f y. (let x ← y ∈ f x) = f y

⊦ (∧) = λp q. (λf. f p q) = λf. f T T

⊦ ∀P. ¬(∀x. P x) ⇔ ∃x. ¬P x

⊦ ∀P. ¬(∃x. P x) ⇔ ∀x. ¬P x

⊦ (∃) = λP. ∀q. (∀x. P x ⇒ q) ⇒ q

⊦ ∀f g x. Function.o f g x = f (g x)

⊦ ∀f g. f = g ⇔ ∀x. f x = g x

⊦ (∨) = λp q. ∀r. (p ⇒ r) ⇒ (q ⇒ r) ⇒ r

⊦ ∀P Q. P ∧ (∃x. Q x) ⇔ ∃x. P ∧ Q x

⊦ ∀P Q. P ∨ (∃x. Q x) ⇔ ∃x. P ∨ Q x

⊦ ∀P Q. (∀x. P x ⇒ Q) ⇔ (∃x. P x) ⇒ Q

⊦ ∀P Q. (∃x. P x) ∧ Q ⇔ ∃x. P x ∧ Q

⊦ ∀P Q. (∃x. P x) ∨ Q ⇔ ∃x. P x ∨ Q

⊦ ∀t1 t2 t3. t1 ∧ t2 ∧ t3 ⇔ (t1 ∧ t2) ∧ t3

⊦ ∀P. (∀x. ∃y. P x y) ⇔ ∃y. ∀x. P x (y x)

⊦ (∀t. ¬¬t ⇔ t) ∧ (¬T ⇔ F) ∧ (¬F ⇔ T)

⊦ ∀P Q. (∀x. P x ∧ Q x) ⇔ (∀x. P x) ∧ ∀x. Q x

⊦ ∀P Q. (∃x. P x ∨ Q x) ⇔ (∃x. P x) ∨ ∃x. Q x

⊦ ∀P Q. (∃x. P x) ∨ (∃x. Q x) ⇔ ∃x. P x ∨ Q x

⊦ ∀P. P Data.List.[] ∧ (∀a0 a1. P a1 ⇒ P (Data.List.:: a0 a1)) ⇒ ∀x. P x

⊦ (∀l. Data.List.@ Data.List.[] l = l) ∧
  ∀l h t.
    Data.List.@ (Data.List.:: h t) l = Data.List.:: h (Data.List.@ t l)

⊦ ∀t1 t2. (¬(t1 ∧ t2) ⇔ ¬t1 ∨ ¬t2) ∧ (¬(t1 ∨ t2) ⇔ ¬t1 ∧ ¬t2)

⊦ (∀f. Data.List.map f Data.List.[] = Data.List.[]) ∧
  ∀f h t.
    Data.List.map f (Data.List.:: h t) =
    Data.List.:: (f h) (Data.List.map f t)

⊦ (∀P. Data.List.all P Data.List.[] ⇔ T) ∧
  ∀P h t. Data.List.all P (Data.List.:: h t) ⇔ P h ∧ Data.List.all P t

⊦ (∀P. Data.List.exists P Data.List.[] ⇔ F) ∧
  ∀P h t.
    Data.List.exists P (Data.List.:: h t) ⇔ P h ∨ Data.List.exists P t

⊦ ∀t. ((T ⇔ t) ⇔ t) ∧ ((t ⇔ T) ⇔ t) ∧ ((F ⇔ t) ⇔ ¬t) ∧ ((t ⇔ F) ⇔ ¬t)

⊦ ∀t. (T ∧ t ⇔ t) ∧ (t ∧ T ⇔ t) ∧ (F ∧ t ⇔ F) ∧ (t ∧ F ⇔ F) ∧ (t ∧ t ⇔ t)

⊦ ∀t. (T ∨ t ⇔ T) ∧ (t ∨ T ⇔ T) ∧ (F ∨ t ⇔ t) ∧ (t ∨ F ⇔ t) ∧ (t ∨ t ⇔ t)

⊦ ∀t. (T ⇒ t ⇔ t) ∧ (t ⇒ T ⇔ T) ∧ (F ⇒ t ⇔ T) ∧ (t ⇒ t ⇔ T) ∧ (t ⇒ F ⇔ ¬t)

⊦ ∀p q r.
    (p ∧ q ⇔ q ∧ p) ∧ ((p ∧ q) ∧ r ⇔ p ∧ q ∧ r) ∧ (p ∧ q ∧ r ⇔ q ∧ p ∧ r) ∧
    (p ∧ p ⇔ p) ∧ (p ∧ p ∧ q ⇔ p ∧ q)

⊦ ∀p q r.
    (p ∨ q ⇔ q ∨ p) ∧ ((p ∨ q) ∨ r ⇔ p ∨ q ∨ r) ∧ (p ∨ q ∨ r ⇔ q ∨ p ∨ r) ∧
    (p ∨ p ⇔ p) ∧ (p ∨ p ∨ q ⇔ p ∨ q)