Package list-take-drop-thm: list-take-drop-thm

Information

Files

• Package tarball list-take-drop-thm-1.11.tgz
• Theory file list-take-drop-thm.thy (included in the package tarball)

Theorems

⊦ ∀l. Data.List.drop 0 l = l

⊦ ∀l. Data.List.take 0 l = Data.List.[]

⊦ ∀l. Data.List.drop (Data.List.length l) l = Data.List.[]

⊦ ∀l. Data.List.take (Data.List.length l) l = l

⊦ ∀n l.
    Number.Natural.≤ n (Data.List.length l) ⇒
    Data.List.length (Data.List.take n l) = n

⊦ ∀n l.
    Number.Natural.≤ n (Data.List.length l) ⇒
    Data.List.length (Data.List.drop n l) =
    Number.Natural.- (Data.List.length l) n

⊦ ∀n l.
    Number.Natural.≤ n (Data.List.length l) ⇒
    Data.List.@ (Data.List.take n l) (Data.List.drop n l) = l

⊦ ∀n h t.
    Number.Natural.≤ n (Data.List.length t) ⇒
    Data.List.drop (Number.Natural.suc n) (Data.List.:: h t) =
    Data.List.drop n t

⊦ ∀n h t.
    Number.Natural.≤ n (Data.List.length t) ⇒
    Data.List.take (Number.Natural.suc n) (Data.List.:: h t) =
    Data.List.:: h (Data.List.take n t)

⊦ ∀n l i.
    Number.Natural.≤ n (Data.List.length l) ∧ Number.Natural.< i n ⇒
    Data.List.nth i (Data.List.take n l) = Data.List.nth i l

⊦ ∀n l i.
    Number.Natural.≤ n (Data.List.length l) ∧
    Number.Natural.< i (Number.Natural.- (Data.List.length l) n) ⇒
    Data.List.nth i (Data.List.drop n l) =
    Data.List.nth (Number.Natural.+ n i) l

Input Type Operators

• →
• bool
• Data
  • List
    • Data.List.list
• Number
  • Natural
    • Number.Natural.natural

Input Constants

• =
• Data
  • Bool
    • ∀
    • ∧
    • ⇒
    • ∃
    • ∨
    • ~
    • F
    • T
  • List
    • Data.List.::
    • Data.List.@
    • Data.List.[]
    • Data.List.drop
    • Data.List.length
    • Data.List.nth
    • Data.List.take
• Number
  • Natural
    • Number.Natural.+
    • Number.Natural.-
    • Number.Natural.<
    • Number.Natural.≤
    • Number.Natural.suc
    • Number.Natural.zero

Assumptions

⊦ T

⊦ ∀n. Number.Natural.≤ n n

⊦ F ⇔ ∀p. p

⊦ (~) = λp. p ⇒ F

⊦ ∀t. (∀x. t) ⇔ t

⊦ (∀) = λp. p = λx. T

⊦ ∀x. x = x ⇔ T

⊦ ∀n. ¬(Number.Natural.suc n = 0)

⊦ ∀n. Number.Natural.- n n = 0

⊦ ∀l. Data.List.@ l Data.List.[] = l

⊦ (⇒) = λp q. p ∧ q ⇔ p

⊦ ∀l. Data.List.length l = 0 ⇔ l = Data.List.[]

⊦ ∀h t. Data.List.nth 0 (Data.List.:: h t) = h

⊦ ∀m n. Number.Natural.- (Number.Natural.+ m n) m = n

⊦ (∧) = λp q. (λf. f p q) = λf. f T T

⊦ (∃) = λP. ∀q. (∀x. P x ⇒ q) ⇒ q

⊦ ∀m n. Number.Natural.suc m = Number.Natural.suc n ⇔ m = n

⊦ ∀m n.
    Number.Natural.< (Number.Natural.suc m) (Number.Natural.suc n) ⇔
    Number.Natural.< m n

⊦ ∀m n.
    Number.Natural.≤ (Number.Natural.suc m) (Number.Natural.suc n) ⇔
    Number.Natural.≤ m n

⊦ ∀l m.
    Data.List.length (Data.List.@ l m) =
    Number.Natural.+ (Data.List.length l) (Data.List.length m)

⊦ ∀m n. Number.Natural.≤ m n ⇔ ∃d. n = Number.Natural.+ m d

⊦ ∀m n p.
    Number.Natural.< (Number.Natural.+ m n) (Number.Natural.+ m p) ⇔
    Number.Natural.< n p

⊦ ∀m n p.
    Number.Natural.< m n ∧ Number.Natural.≤ n p ⇒ Number.Natural.< m p

⊦ ∀m n.
    Number.Natural.≤ n m ⇒
    Number.Natural.- (Number.Natural.suc m) (Number.Natural.suc n) =
    Number.Natural.- m n

⊦ Data.List.length Data.List.[] = 0 ∧
  ∀h t.
    Data.List.length (Data.List.:: h t) =
    Number.Natural.suc (Data.List.length t)

⊦ ∀P. P 0 ∧ (∀n. P n ⇒ P (Number.Natural.suc n)) ⇒ ∀n. P n

⊦ ∀P. P Data.List.[] ∧ (∀a0 a1. P a1 ⇒ P (Data.List.:: a0 a1)) ⇒ ∀x. P x

⊦ ∀h t n.
    Number.Natural.< n (Data.List.length t) ⇒
    Data.List.nth (Number.Natural.suc n) (Data.List.:: h t) =
    Data.List.nth n t

⊦ (∀n. Number.Natural.+ 0 n = n) ∧
  ∀m n.
    Number.Natural.+ (Number.Natural.suc m) n =
    Number.Natural.suc (Number.Natural.+ m n)

⊦ ∀h1 h2 t1 t2. Data.List.:: h1 t1 = Data.List.:: h2 t2 ⇔ h1 = h2 ∧ t1 = t2

⊦ (∀m. Number.Natural.< m 0 ⇔ F) ∧
  ∀m n.
    Number.Natural.< m (Number.Natural.suc n) ⇔
    m = n ∨ Number.Natural.< m n

⊦ (∀l. Data.List.@ Data.List.[] l = l) ∧
  ∀l h t.
    Data.List.@ (Data.List.:: h t) l = Data.List.:: h (Data.List.@ t l)

⊦ (∀m. Number.Natural.≤ m 0 ⇔ m = 0) ∧
  ∀m n.
    Number.Natural.≤ m (Number.Natural.suc n) ⇔
    m = Number.Natural.suc n ∨ Number.Natural.≤ m n

⊦ (∀l. Data.List.drop 0 l = l) ∧
  ∀n h t.
    Number.Natural.≤ n (Data.List.length t) ⇒
    Data.List.drop (Number.Natural.suc n) (Data.List.:: h t) =
    Data.List.drop n t

⊦ (∀l. Data.List.take 0 l = Data.List.[]) ∧
  ∀n h t.
    Number.Natural.≤ n (Data.List.length t) ⇒
    Data.List.take (Number.Natural.suc n) (Data.List.:: h t) =
    Data.List.:: h (Data.List.take n t)

⊦ ∀t. (T ∧ t ⇔ t) ∧ (t ∧ T ⇔ t) ∧ (F ∧ t ⇔ F) ∧ (t ∧ F ⇔ F) ∧ (t ∧ t ⇔ t)

⊦ ∀t. (T ⇒ t ⇔ t) ∧ (t ⇒ T ⇔ T) ∧ (F ⇒ t ⇔ T) ∧ (t ⇒ t ⇔ T) ∧ (t ⇒ F ⇔ ¬t)