Package modular-mod: modular-mod

Information

name	modular-mod
version	1.0
description	modular-mod
author	Joe Hurd <joe@gilith.com>
license	MIT
provenance	HOL Light theory extracted on 2011-02-19
show	Data.Bool

Files

Package tarball modular-mod-1.0.tgz
Theory file modular-mod.thy (included in the package tarball)

Theorems

⊦ ∀n.
Number.Natural.< (Number.Natural.mod n Number.Modular.modulus)
Number.Modular.modulus

⊦ ∀n.
Number.Natural.< n Number.Modular.modulus ⇒
Number.Natural.mod n Number.Modular.modulus = n

⊦ ∀n.
Number.Natural.mod (Number.Natural.mod n Number.Modular.modulus)
Number.Modular.modulus = Number.Natural.mod n Number.Modular.modulus

⊦ ∀m n.
    Number.Natural.mod
      (Number.Natural.* (Number.Natural.mod m Number.Modular.modulus)
         (Number.Natural.mod n Number.Modular.modulus))
      Number.Modular.modulus =
    Number.Natural.mod (Number.Natural.* m n) Number.Modular.modulus

⊦ ∀m n.
    Number.Natural.mod
      (Number.Natural.+ (Number.Natural.mod m Number.Modular.modulus)
         (Number.Natural.mod n Number.Modular.modulus))
      Number.Modular.modulus =
    Number.Natural.mod (Number.Natural.+ m n) Number.Modular.modulus

Input Type Operators

→
bool
Number
- Natural
  - Number.Natural.natural

Input Constants

=
Data
- Bool
  - ∀
  - ∧
  - ⇒
  - ∃
  - ∨
  - ¬
  - F
  - T
Number
- Modular
  - Number.Modular.modulus
- Natural
  - Number.Natural.*
  - Number.Natural.+
  - Number.Natural.<
  - Number.Natural.div
  - Number.Natural.mod
- Numeral
  - Number.Numeral.zero

Assumptions

⊦ T

⊦ ¬(Number.Modular.modulus = Number.Numeral.zero)

⊦ F ⇔ ∀p. p

⊦ ∀t. t ∨ ¬t

⊦ (¬) = λp. p ⇒ F

⊦ ∀t. (λx. t x) = t

⊦ (∀) = λP. P = λx. T

⊦ ∀x. x = x ⇔ T

⊦ (⇒) = λp q. p ∧ q ⇔ p

⊦ ∀t. (t ⇔ T) ∨ (t ⇔ F)

⊦ (¬T ⇔ F) ∧ (¬F ⇔ T)

⊦ (∧) = λp q. (λf. f p q) = λf. f T T

⊦ ∀P. ¬(∀x. P x) ⇔ ∃x. ¬P x

⊦ (∃) = λP. ∀q. (∀x. P x ⇒ q) ⇒ q

⊦ ∀m n. Number.Natural.< m n ⇒ Number.Natural.mod m n = m

⊦ ∀m n.
¬(n = Number.Numeral.zero) ⇒
Number.Natural.< (Number.Natural.mod m n) n

⊦ (∨) = λp q. ∀r. (p ⇒ r) ⇒ (q ⇒ r) ⇒ r

⊦ (∀t. ¬¬t ⇔ t) ∧ (¬T ⇔ F) ∧ (¬F ⇔ T)

⊦ ∀m n.
¬(n = Number.Numeral.zero) ⇒
Number.Natural.mod (Number.Natural.mod m n) n = Number.Natural.mod m n

⊦ ∀m n.
    ¬(n = Number.Numeral.zero) ⇒
    Number.Natural.+ (Number.Natural.* (Number.Natural.div m n) n)
      (Number.Natural.mod m n) = m

⊦ ∀m n p.
    ¬(n = Number.Numeral.zero) ⇒
    Number.Natural.mod
      (Number.Natural.* (Number.Natural.mod m n) (Number.Natural.mod p n))
      n = Number.Natural.mod (Number.Natural.* m p) n

⊦ ∀a b n.
    ¬(n = Number.Numeral.zero) ⇒
    Number.Natural.mod
      (Number.Natural.+ (Number.Natural.mod a n) (Number.Natural.mod b n))
      n = Number.Natural.mod (Number.Natural.+ a b) n

⊦ ∀t. ((T ⇔ t) ⇔ t) ∧ ((t ⇔ T) ⇔ t) ∧ ((F ⇔ t) ⇔ ¬t) ∧ ((t ⇔ F) ⇔ ¬t)

⊦ ∀t. (T ∧ t ⇔ t) ∧ (t ∧ T ⇔ t) ∧ (F ∧ t ⇔ F) ∧ (t ∧ F ⇔ F) ∧ (t ∧ t ⇔ t)

⊦ ∀t. (T ∨ t ⇔ T) ∧ (t ∨ T ⇔ T) ∧ (F ∨ t ⇔ t) ∧ (t ∨ F ⇔ t) ∧ (t ∨ t ⇔ t)

⊦ ∀t. (T ⇒ t ⇔ t) ∧ (t ⇒ T ⇔ T) ∧ (F ⇒ t ⇔ T) ∧ (t ⇒ t ⇔ T) ∧ (t ⇒ F ⇔ ¬t)

⊦ ∀p q r.
(p ∨ q ⇔ q ∨ p) ∧ ((p ∨ q) ∨ r ⇔ p ∨ q ∨ r) ∧ (p ∨ q ∨ r ⇔ q ∨ p ∨ r) ∧
(p ∨ p ⇔ p) ∧ (p ∨ p ∨ q ⇔ p ∨ q)