Package natural: Basic theory of natural numbers

Information

Files

• Package tarball natural-1.0.tgz
• Theory file natural.thy (included in the package tarball)

Defined Type Operator

• Number
  • Natural
    • natural

Defined Constants

• Number
  • Natural
    • *
    • +
    • -
    • <
    • ≤
    • >
    • ≥
    • div
    • even
    • exp
    • factorial
    • max
    • min
    • minimal
    • mod
    • odd
    • pre
    • suc
  • Numeral
    • bit0
    • bit1
    • zero

Theorems

⊦ pre 0 = 0

⊦ ∀n. 0 ≤ n

⊦ ∀n. n ≤ n

⊦ 1 = suc 0

⊦ ∀n. ¬(n < n)

⊦ ∀n. 0 < factorial n

⊦ ∀n. 0 < suc n

⊦ ∀n. ¬(factorial n = 0)

⊦ ∀n. ¬(suc n = 0)

⊦ ∀n. n ≤ n * n

⊦ ∀n. even n ∨ odd n

⊦ ∀n. 1 ≤ factorial n

⊦ ∀n. pre (suc n) = n

⊦ ∀m. m * 0 = 0

⊦ ∀m. m + 0 = m

⊦ ∀n. n - n = 0

⊦ 2 = suc 1

⊦ ∀n. ¬(even n ∧ odd n)

⊦ ∀n. even (2 * n)

⊦ ∀n. bit0 n = n + n

⊦ ∀n. bit1 n = suc (bit0 n)

⊦ ∀n. ¬even n ⇔ odd n

⊦ ∀n. ¬odd n ⇔ even n

⊦ ∀n. n div 1 = n

⊦ ∀n. exp n 1 = n

⊦ ∀n. n mod 1 = 0

⊦ ∀m n. m ≤ m + n

⊦ ∀m n. n ≤ m + n

⊦ ∀n. odd (suc (2 * n))

⊦ ∀m. suc m = m + 1

⊦ ∀n. bit1 n = suc (n + n)

⊦ ∀n. exp 1 n = 1

⊦ ∀n. suc n - 1 = n

⊦ ∀n. 0 < n ⇔ ¬(n = 0)

⊦ ∀n m. m > n ⇔ n < m

⊦ ∀n m. m ≥ n ⇔ n ≤ m

⊦ ∀m n. m * n = n * m

⊦ ∀m n. m + n = n + m

⊦ ∀m n. m = n ⇒ m ≤ n

⊦ ∀m n. m < n ⇒ m ≤ n

⊦ ∀m n. m < n ∨ n ≤ m

⊦ ∀m n. m ≤ n ∨ n < m

⊦ ∀m n. m ≤ n ∨ n ≤ m

⊦ ∀m n. m - (m + n) = 0

⊦ ∀m n. n - (m + n) = 0

⊦ ∀m n. m + n - m = n

⊦ ∀m n. m + n - n = m

⊦ ∀m n. n * (m div n) ≤ m

⊦ ∀n. exp n 2 = n * n

⊦ ∀n. 2 * n = n + n

⊦ ∀m n. ¬(m < n ∧ n < m)

⊦ ∀m n. ¬(m < n ∧ n ≤ m)

⊦ ∀m n. ¬(m ≤ n ∧ n < m)

⊦ ∀m n. ¬(m < n) ⇔ n ≤ m

⊦ ∀m n. ¬(m ≤ n) ⇔ n < m

⊦ ∀m n. m < suc n ⇔ m ≤ n

⊦ ∀m n. suc m ≤ n ⇔ m < n

⊦ ∀m. m = 0 ∨ ∃n. m = suc n

⊦ ∀n. even n ⇔ n mod 2 = 0

⊦ ∀n. ¬(n = 0) ⇒ 0 div n = 0

⊦ ∀n. ¬(n = 0) ⇒ 0 mod n = 0

⊦ ∀m n. m < n ⇒ m div n = 0

⊦ ∀m n. m < n ⇒ m mod n = m

⊦ ∀m n. m ≤ n ⇒ factorial m ≤ factorial n

⊦ ∀m n. m + suc n = suc (m + n)

⊦ ∀m n. m < m + n ⇔ 0 < n

⊦ ∀m n. n < m + n ⇔ 0 < m

⊦ ∀m n. suc m = suc n ⇔ m = n

⊦ ∀m n. suc m < suc n ⇔ m < n

⊦ ∀m n. suc m ≤ suc n ⇔ m ≤ n

⊦ ∀m n. m + n = m ⇔ n = 0

⊦ ∀m n. m + n = n ⇔ m = 0

⊦ ∀m n. m - n = 0 ⇔ m ≤ n

⊦ ∀m n. pre (suc m - n) = m - n

⊦ ∀m n. suc m - suc n = m - n

⊦ ∀n. odd n ⇔ n mod 2 = 1

⊦ ∀n. exp 0 n = (if n = 0 then 1 else 0)

⊦ ∀n. ¬(n = 0) ⇒ n div n = 1

⊦ ∀m. 0 - m = 0 ∧ m - 0 = m

⊦ ∀m n. max m n = (if m ≤ n then n else m)

⊦ ∀m n. min m n = (if m ≤ n then m else n)

⊦ ∀m n. even (m * n) ⇔ even m ∨ even n

⊦ ∀m n. even (m + n) ⇔ even m ⇔ even n

⊦ ∀m n. odd (m * n) ⇔ odd m ∧ odd n

⊦ ∀m n. m * suc n = m + m * n

⊦ ∀m n. ¬(n = 0) ⇒ m mod n < n

⊦ ∀m n. ¬(n = 0) ⇒ m div n ≤ m

⊦ ∀m n. ¬(n = 0) ⇒ m mod n ≤ m

⊦ ∀n. even n ⇔ ∃m. n = 2 * m

⊦ ∀m n. m ≤ n ⇔ ∃d. n = m + d

⊦ (even 0 ⇔ T) ∧ ∀n. even (suc n) ⇔ ¬even n

⊦ (odd 0 ⇔ F) ∧ ∀n. odd (suc n) ⇔ ¬odd n

⊦ ∀m n. m ≤ n ⇔ m < n ∨ m = n

⊦ ∀m n. n ≤ m ⇒ m - n + n = m

⊦ ∀m n. m < n ∨ n < m ∨ m = n

⊦ ∀m n. odd (m + n) ⇔ ¬(odd m ⇔ odd n)

⊦ ∀m n. odd (exp m n) ⇔ odd m ∨ n = 0

⊦ ∀m n. m ≤ n ∧ n ≤ m ⇔ m = n

⊦ ∀n. odd n ⇔ ∃m. n = suc (2 * m)

⊦ ∀m n. m < n ⇔ ∃d. n = m + suc d

⊦ bit0 0 = 0 ∧ ∀n. bit0 (suc n) = suc (suc (bit0 n))

⊦ ∀m n. m < n ⇔ m ≤ n ∧ ¬(m = n)

⊦ ∀m n. even (exp m n) ⇔ even m ∧ ¬(n = 0)

⊦ ∀m n. ¬(m = 0) ⇒ m * n div m = n

⊦ ∀m n. ¬(m = 0) ⇒ m * n mod m = 0

⊦ ∀x y n. x ≤ y ⇒ exp x n ≤ exp y n

⊦ ∀m n p. m * (n * p) = m * n * p

⊦ ∀m n p. m + (n + p) = m + n + p

⊦ ∀m n p. exp m (n * p) = exp (exp m n) p

⊦ ∀m n p. m + n = m + p ⇔ n = p

⊦ ∀m n p. m + p = n + p ⇔ m = n

⊦ ∀m n p. m + n < m + p ⇔ n < p

⊦ ∀m n p. m + p < n + p ⇔ m < n

⊦ ∀m n p. m + n ≤ m + p ⇔ n ≤ p

⊦ ∀m n p. m + p ≤ n + p ⇔ m ≤ n

⊦ ∀m n p. m + n - (m + p) = n - p

⊦ ∀m n p. m + p - (n + p) = m - n

⊦ ∀m n p. (m * n + p) mod n = p mod n

⊦ ∀m n p. m < n ∧ n < p ⇒ m < p

⊦ ∀m n p. m < n ∧ n ≤ p ⇒ m < p

⊦ ∀m n p. m ≤ n ∧ n < p ⇒ m < p

⊦ ∀m n p. m ≤ n ∧ n ≤ p ⇒ m ≤ p

⊦ ∀m n. 0 < m * n ⇔ 0 < m ∧ 0 < n

⊦ ∀m n. m * n = 0 ⇔ m = 0 ∨ n = 0

⊦ ∀m n. m + n = 0 ⇔ m = 0 ∧ n = 0

⊦ ∀P. P 0 ∧ (∀n. P n ⇒ P (suc n)) ⇒ ∀n. P n

⊦ factorial 0 = 1 ∧ ∀n. factorial (suc n) = suc n * factorial n

⊦ ∀m n. even (m - n) ⇔ m ≤ n ∨ (even m ⇔ even n)

⊦ ∀m n. ¬(n = 0) ⇒ (m div n = 0 ⇔ m < n)

⊦ ∀m n. ¬(n = 0) ⇒ m mod n mod n = m mod n

⊦ ∀n x. 0 < exp x n ⇔ ¬(x = 0) ∨ n = 0

⊦ ∀m n. exp m n = 0 ⇔ m = 0 ∧ ¬(n = 0)

⊦ ∀m n p. m * (n + p) = m * n + m * p

⊦ ∀m n p. m * (n - p) = m * n - m * p

⊦ ∀m n p. exp m (n + p) = exp m n * exp m p

⊦ ∀m n p. (m + n) * p = m * p + n * p

⊦ ∀m n p. (m - n) * p = m * p - n * p

⊦ ∀p m n. exp (m * n) p = exp m p * exp n p

⊦ ∀m n. odd (m - n) ⇔ n < m ∧ ¬(odd m ⇔ odd n)

⊦ ∀x n. exp x n = 1 ⇔ x = 1 ∨ n = 0

⊦ ∀P. (∀n. (∀m. m < n ⇒ P m) ⇒ P n) ⇒ ∀n. P n

⊦ ∀e f. ∃fn. fn 0 = e ∧ ∀n. fn (suc n) = f (fn n) n

⊦ ∀e f. ∃!fn. fn 0 = e ∧ ∀n. fn (suc n) = f (fn n) n

⊦ ∀e f. ∃fn. fn 0 = e ∧ ∀n. fn (suc n) = f n (fn n)

⊦ ∀m n. ¬(n = 0) ⇒ m div n * n + m mod n = m

⊦ ∀m n. m * n = 1 ⇔ m = 1 ∧ n = 1

⊦ ∀P. (∃n. P n) ⇔ ∃n. P n ∧ ∀m. m < n ⇒ ¬P m

⊦ ∀m n p. m * n = m * p ⇔ m = 0 ∨ n = p

⊦ ∀m n p. m * p = n * p ⇔ m = n ∨ p = 0

⊦ ∀x y n. exp x n = exp y n ⇔ x = y ∨ n = 0

⊦ ∀m n p. m * n ≤ m * p ⇔ m = 0 ∨ n ≤ p

⊦ ∀m n p. m * p ≤ n * p ⇔ m ≤ n ∨ p = 0

⊦ ∀x y n. exp x n ≤ exp y n ⇔ x ≤ y ∨ n = 0

⊦ ∀P. (∃n. P n) ⇔ P ((minimal) P) ∧ ∀m. m < (minimal) P ⇒ ¬P m

⊦ (∀n. 0 + n = n) ∧ ∀m n. suc m + n = suc (m + n)

⊦ (∀m. m - 0 = m) ∧ ∀m n. m - suc n = pre (m - n)

⊦ ∀a b n. ¬(a = 0) ⇒ (n ≤ b div a ⇔ a * n ≤ b)

⊦ ∀m n p. ¬(p = 0) ⇒ m * (n div p) ≤ m * n div p

⊦ ∀m n p. m * n < m * p ⇔ ¬(m = 0) ∧ n < p

⊦ ∀m n p. m * p < n * p ⇔ m < n ∧ ¬(p = 0)

⊦ ∀x y n. exp x n < exp y n ⇔ x < y ∧ ¬(n = 0)

⊦ ∀x y n. x < y ∧ ¬(n = 0) ⇒ exp x n < exp y n

⊦ ∀m n p. ¬(m = 0) ∧ n < p ⇒ m * n < m * p

⊦ ∀m n p. ¬(p = 0) ∧ m ≤ n ⇒ m div p ≤ n div p

⊦ ∀m n p. ¬(p = 0) ∧ p ≤ m ⇒ n div m ≤ n div p

⊦ ∀a b n. ¬(a = 0) ∧ b ≤ a * n ⇒ b div a ≤ n

⊦ ∀m n. ¬(n = 0) ⇒ (m mod n = 0 ⇔ ∃q. m = q * n)

⊦ (∀n. 0 * n = 0) ∧ ∀m n. suc m * n = m * n + n

⊦ ∀m n p q. m = n + q * p ⇒ m mod p = n mod p

⊦ ∀m n p q. m < n ∧ p < q ⇒ m * p < n * q

⊦ ∀m n p q. m < p ∧ n < q ⇒ m + n < p + q

⊦ ∀m n p q. m < p ∧ n ≤ q ⇒ m + n < p + q

⊦ ∀m n p q. m ≤ n ∧ p ≤ q ⇒ m * p ≤ n * q

⊦ ∀m n p q. m ≤ p ∧ n < q ⇒ m + n < p + q

⊦ ∀m n p q. m ≤ p ∧ n ≤ q ⇒ m + n ≤ p + q

⊦ ∀n. (∃k m. odd m ∧ n = exp 2 k * m) ⇔ ¬(n = 0)

⊦ (∀m. exp m 0 = 1) ∧ ∀m n. exp m (suc n) = m * exp m n

⊦ ∀m n p. ¬(n = 0) ⇒ m * (p mod n) mod n = m * p mod n

⊦ ∀m n p. ¬(n = 0) ⇒ m mod n * p mod n = m * p mod n

⊦ ∀m n p. ¬(n = 0) ⇒ exp (m mod n) p mod n = exp m p mod n

⊦ ∀m n p. ¬(m * p = 0) ⇒ m * n div (m * p) = n div p

⊦ ∀m n p. ¬(n * p = 0) ⇒ m div n div p = m div (n * p)

⊦ ∀m n p. ¬(n * p = 0) ⇒ m mod (n * p) mod n = m mod n

⊦ ∀m n p. ¬(p = 0) ∧ m + p ≤ n ⇒ m div p < n div p

⊦ ∀m n. (∃q. m = n * q) ⇔ (if n = 0 then m = 0 else m mod n = 0)

⊦ (∀m. m < 0 ⇔ F) ∧ ∀m n. m < suc n ⇔ m = n ∨ m < n

⊦ ∀m n q r. m = q * n + r ∧ r < n ⇒ m div n = q

⊦ ∀m n q r. m = q * n + r ∧ r < n ⇒ m mod n = r

⊦ ∀a b n. ¬(a = 0) ⇒ (b div a ≤ n ⇔ b < a * (n + 1))

⊦ ∀m n p. ¬(n = 0) ⇒ m mod n * (p mod n) mod n = m * p mod n

⊦ ∀a b n. ¬(n = 0) ⇒ (a mod n + b mod n) mod n = (a + b) mod n

⊦ ∀m n p. ¬(m * p = 0) ⇒ m * n mod (m * p) = m * (n mod p)

⊦ ∀m n p. ¬(n * p = 0) ⇒ m div n mod p = m mod (n * p) div n

⊦ (∀m. m ≤ 0 ⇔ m = 0) ∧ ∀m n. m ≤ suc n ⇔ m = suc n ∨ m ≤ n

⊦ ∀n. (even n ⇒ ∃m. n = 2 * m) ∧ (¬even n ⇒ ∃m. n = suc (2 * m))

⊦ ∀P. (∃x. P x) ∧ (∃M. ∀x. P x ⇒ x ≤ M) ⇔ ∃m. P m ∧ ∀x. P x ⇒ x ≤ m

⊦ ∀m n q r. m = q * n + r ∧ r < n ⇒ m div n = q ∧ m mod n = r

⊦ ∀a b c d. ¬(b = 0) ∧ b * c < (a + 1) * d ⇒ c div d ≤ a div b

⊦ ∀P. (∀m n. P m n ⇔ P n m) ∧ (∀m n. m ≤ n ⇒ P m n) ⇒ ∀m n. P m n

⊦ ∀x m n.
    exp x m = exp x n ⇔ (if x = 0 then m = 0 ⇔ n = 0 else x = 1 ∨ m = n)

⊦ ∀x m n.
    exp x m ≤ exp x n ⇔ (if x = 0 then m = 0 ⇒ n = 0 else x = 1 ∨ m ≤ n)

⊦ ∀x m n. exp x m < exp x n ⇔ 2 ≤ x ∧ m < n ∨ x = 0 ∧ ¬(m = 0) ∧ n = 0

⊦ ∀a b c d. b * c < (a + 1) * d ∧ a * d < (c + 1) * b ⇒ a div b = c div d

⊦ ∀P.
    (∀m. P m m) ∧ (∀m n. P m n ⇔ P n m) ∧ (∀m n. m < n ⇒ P m n) ⇒
    ∀m y. P m y

⊦ ∀m n p.
    m * n = n * m ∧ m * n * p = m * (n * p) ∧ m * (n * p) = n * (m * p)

⊦ ∀m n p.
    m + n = n + m ∧ m + n + p = m + (n + p) ∧ m + (n + p) = n + (m + p)

⊦ ∀a b n.
    ¬(n = 0) ⇒
    ((a + b) mod n = a mod n + b mod n ⇔ (a + b) div n = a div n + b div n)

⊦ (∀n. 0 + n = n) ∧ (∀m. m + 0 = m) ∧ (∀m n. suc m + n = suc (m + n)) ∧
  ∀m n. m + suc n = suc (m + n)

⊦ (∀n. 0 * n = 0) ∧ (∀m. m * 0 = 0) ∧ (∀n. 1 * n = n) ∧ (∀m. m * 1 = m) ∧
  (∀m n. suc m * n = m * n + n) ∧ ∀m n. m * suc n = m + m * n

⊦ (∀n. ¬(n = 0) ⇒ 0 < n) ∧ (∀n. ¬(n = 0) ⇒ 1 ≤ n) ∧
  (∀n. 0 < n ⇒ ¬(n = 0)) ∧ (∀n. 0 < n ⇒ 1 ≤ n) ∧ (∀n. 1 ≤ n ⇒ 0 < n) ∧
  ∀n. 1 ≤ n ⇒ ¬(n = 0)

Input Type Operators

• →
• bool
• ind

Input Constants

• =
• Data
  • Bool
    • ∀
    • ∧
    • ⇒
    • ∃
    • ∃!
    • ∨
    • ¬
    • cond
    • select
    • F
    • T
• Function
  • injective
  • surjective

Assumptions

⊦ T

⊦ F ⇔ ∀p. p

⊦ ∀t. t ∨ ¬t

⊦ (¬) = λp. p ⇒ F

⊦ (∃) = λP. P ((select) P)

⊦ ∀a. ∃x. x = a

⊦ ∀a. ∃!x. x = a

⊦ ∀t. (∀x. t) ⇔ t

⊦ ∀t. (∃x. t) ⇔ t

⊦ ∀t. (λx. t x) = t

⊦ (∀) = λP. P = λx. T

⊦ ∀x. x = x ⇔ T

⊦ ∃f. injective f ∧ ¬surjective f

⊦ (⇒) = λp q. p ∧ q ⇔ p

⊦ ∀t. (t ⇔ T) ∨ (t ⇔ F)

⊦ (¬T ⇔ F) ∧ (¬F ⇔ T)

⊦ ∀x y. x = y ⇔ y = x

⊦ ∀t1 t2. t1 ∧ t2 ⇔ t2 ∧ t1

⊦ ∀t1 t2. t1 ∨ t2 ⇔ t2 ∨ t1

⊦ (∧) = λp q. (λf. f p q) = λf. f T T

⊦ ∀f. surjective f ⇔ ∀y. ∃x. y = f x

⊦ ∀P. ¬(∀x. P x) ⇔ ∃x. ¬P x

⊦ ∀P. ¬(∃x. P x) ⇔ ∀x. ¬P x

⊦ (∃) = λP. ∀q. (∀x. P x ⇒ q) ⇒ q

⊦ ∀t1 t2. ¬(t1 ⇒ t2) ⇔ t1 ∧ ¬t2

⊦ ∀f g. f = g ⇔ ∀x. f x = g x

⊦ ∀P a. (∃x. a = x ∧ P x) ⇔ P a

⊦ (∨) = λp q. ∀r. (p ⇒ r) ⇒ (q ⇒ r) ⇒ r

⊦ ∀P. (∃x y. P x y) ⇔ ∃y x. P x y

⊦ ∀P Q. (∀x. P ⇒ Q x) ⇔ P ⇒ ∀x. Q x

⊦ ∀P Q. (∃x. P ∧ Q x) ⇔ P ∧ ∃x. Q x

⊦ ∀P Q. P ∧ (∃x. Q x) ⇔ ∃x. P ∧ Q x

⊦ ∀P Q. P ∨ (∃x. Q x) ⇔ ∃x. P ∨ Q x

⊦ ∀P Q. (∀x. P x ∨ Q) ⇔ (∀x. P x) ∨ Q

⊦ ∀P Q. (∃x. P x ∧ Q) ⇔ (∃x. P x) ∧ Q

⊦ ∀P Q. (∃x. P x) ∧ Q ⇔ ∃x. P x ∧ Q

⊦ ∀P Q. (∃x. P x) ⇒ Q ⇔ ∀x. P x ⇒ Q

⊦ ∀P Q. (∀x. P x) ∨ Q ⇔ ∀x. P x ∨ Q

⊦ ∀P Q. (∃x. P x) ∨ Q ⇔ ∃x. P x ∨ Q

⊦ ∀x y z. x = y ∧ y = z ⇒ x = z

⊦ ∀t1 t2 t3. t1 ∨ t2 ∨ t3 ⇔ (t1 ∨ t2) ∨ t3

⊦ ∀P. (∀x. ∃y. P x y) ⇔ ∃y. ∀x. P x (y x)

⊦ ∀t1 t2. (if T then t1 else t2) = t1 ∧ (if F then t1 else t2) = t2

⊦ ∀f. injective f ⇔ ∀x1 x2. f x1 = f x2 ⇒ x1 = x2

⊦ (∀t. ¬¬t ⇔ t) ∧ (¬T ⇔ F) ∧ (¬F ⇔ T)

⊦ (∃!) = λP. (∃) P ∧ ∀x y. P x ∧ P y ⇒ x = y

⊦ ∀P Q. (∀x. P x ∧ Q x) ⇔ (∀x. P x) ∧ ∀x. Q x

⊦ ∀P Q. (∃x. P x ∨ Q x) ⇔ (∃x. P x) ∨ ∃x. Q x

⊦ ∀P Q. (∀x. P x ⇒ Q x) ⇒ (∃x. P x) ⇒ ∃x. Q x

⊦ ∀P Q. (∀x. P x) ∧ (∀x. Q x) ⇔ ∀x. P x ∧ Q x

⊦ ∀P Q. (∃x. P x) ∨ (∃x. Q x) ⇔ ∃x. P x ∨ Q x

⊦ ∀A B C D. (A ⇒ B) ∧ (C ⇒ D) ⇒ A ∧ C ⇒ B ∧ D

⊦ ∀A B C D. (A ⇒ B) ∧ (C ⇒ D) ⇒ A ∨ C ⇒ B ∨ D

⊦ ∀A B C D. (B ⇒ A) ∧ (C ⇒ D) ⇒ (A ⇒ C) ⇒ B ⇒ D

⊦ ∀P. (∀x. ∃!y. P x y) ⇔ ∃f. ∀x y. P x y ⇔ f x = y

⊦ ∀P c x y. P (if c then x else y) ⇔ (c ⇒ P x) ∧ (¬c ⇒ P y)

⊦ ∀P. (∃!x. P x) ⇔ (∃x. P x) ∧ ∀x x'. P x ∧ P x' ⇒ x = x'

⊦ ∀t1 t2. (¬(t1 ∧ t2) ⇔ ¬t1 ∨ ¬t2) ∧ (¬(t1 ∨ t2) ⇔ ¬t1 ∧ ¬t2)

⊦ ∀t. ((T ⇔ t) ⇔ t) ∧ ((t ⇔ T) ⇔ t) ∧ ((F ⇔ t) ⇔ ¬t) ∧ ((t ⇔ F) ⇔ ¬t)

⊦ ∀t. (T ∧ t ⇔ t) ∧ (t ∧ T ⇔ t) ∧ (F ∧ t ⇔ F) ∧ (t ∧ F ⇔ F) ∧ (t ∧ t ⇔ t)

⊦ ∀t. (T ∨ t ⇔ T) ∧ (t ∨ T ⇔ T) ∧ (F ∨ t ⇔ t) ∧ (t ∨ F ⇔ t) ∧ (t ∨ t ⇔ t)

⊦ ∀t. (T ⇒ t ⇔ t) ∧ (t ⇒ T ⇔ T) ∧ (F ⇒ t ⇔ T) ∧ (t ⇒ t ⇔ T) ∧ (t ⇒ F ⇔ ¬t)

⊦ ∀p q r.
    (p ∨ q ⇔ q ∨ p) ∧ ((p ∨ q) ∨ r ⇔ p ∨ q ∨ r) ∧ (p ∨ q ∨ r ⇔ q ∨ p ∨ r) ∧
    (p ∨ p ⇔ p) ∧ (p ∨ p ∨ q ⇔ p ∨ q)