| name | natural |
| version | 1.14 |
| description | The natural numbers |
| author | Joe Hurd <joe@gilith.com> |
| license | MIT |
| show | Data.Bool Function Number.Natural |
⊦ ∀n. 0 ≤ n
⊦ ∀n. n ≤ n
⊦ 1 = suc 0
⊦ ∀n. ¬(n < n)
⊦ ∀n. 0 < factorial n
⊦ ∀n. 0 < suc n
⊦ ∀n. n < suc n
⊦ ∀n. n ≤ suc n
⊦ ∀n. ¬(factorial n = 0)
⊦ ∀n. ¬(suc n = 0)
⊦ ∀n. n ≤ n * n
⊦ ∀n. even n ∨ odd n
⊦ ∀n. 1 ≤ factorial n
⊦ ∀n. pre (suc n) = n
⊦ ∀m. m * 0 = 0
⊦ ∀m. m + 0 = m
⊦ ∀m. m - 0 = m
⊦ ∀n. n - n = 0
⊦ ∀n. distance 0 n = n
⊦ ∀n. distance n 0 = n
⊦ ∀n. distance n n = 0
⊦ ∀n. max 0 n = n
⊦ ∀n. max n 0 = n
⊦ ∀n. max n n = n
⊦ ∀n. min 0 n = 0
⊦ ∀n. min n 0 = 0
⊦ ∀n. min n n = n
⊦ 2 = suc 1
⊦ ∀n. ¬(even n ∧ odd n)
⊦ ∀n. even (2 * n)
⊦ ∀n. bit0 n = n + n
⊦ ∀n. bit1 n = suc (bit0 n)
⊦ ∀n. ¬even n ⇔ odd n
⊦ ∀n. ¬odd n ⇔ even n
⊦ ∀n. n div 1 = n
⊦ ∀n. exp n 1 = n
⊦ ∀n. n mod 1 = 0
⊦ ∃f. injective f ∧ ¬surjective f
⊦ ∀m n. m ≤ m + n
⊦ ∀m n. m ≤ max m n
⊦ ∀m n. n ≤ m + n
⊦ ∀m n. n ≤ max m n
⊦ ∀m n. min m n ≤ m
⊦ ∀m n. min m n ≤ n
⊦ ∀n. odd (suc (2 * n))
⊦ ∀n. bit1 n = suc (n + n)
⊦ ∀m. suc m = m + 1
⊦ ∀n. exp 1 n = 1
⊦ ∀n. suc n - 1 = n
⊦ ∀n. 0 < n ⇔ ¬(n = 0)
⊦ ∀n m. m > n ⇔ n < m
⊦ ∀n m. m ≥ n ⇔ n ≤ m
⊦ ∀m n. m * n = n * m
⊦ ∀m n. m + n = n + m
⊦ ∀m n. distance m n = distance n m
⊦ ∀m n. max m n = max n m
⊦ ∀m n. min m n = min n m
⊦ ∀m n. m = n ⇒ m ≤ n
⊦ ∀m n. m < n ⇒ m ≤ n
⊦ ∀m n. m < n ∨ n ≤ m
⊦ ∀m n. m ≤ n ∨ n < m
⊦ ∀m n. m ≤ n ∨ n ≤ m
⊦ ∀m n. distance m n ≤ m + n
⊦ ∀m n. distance m (m + n) = n
⊦ ∀m n. m + n - m = n
⊦ ∀m n. m + n - n = m
⊦ ∀m n. distance (m + n) m = n
⊦ ∀m n. n * (m div n) ≤ m
⊦ ∀n. exp n 2 = n * n
⊦ ∀n. 2 * n = n + n
⊦ ∀m n. ¬(m < n ∧ n < m)
⊦ ∀m n. ¬(m < n ∧ n ≤ m)
⊦ ∀m n. ¬(m ≤ n ∧ n < m)
⊦ ∀m n. ¬(m < n) ⇔ n ≤ m
⊦ ∀m n. ¬(m ≤ n) ⇔ n < m
⊦ ∀m n. m < suc n ⇔ m ≤ n
⊦ ∀m n. suc m ≤ n ⇔ m < n
⊦ ∀m. m = 0 ∨ ∃n. m = suc n
⊦ ∀n. even n ⇔ n mod 2 = 0
⊦ ∀n. ¬(n = 0) ⇒ 0 div n = 0
⊦ ∀n. ¬(n = 0) ⇒ 0 mod n = 0
⊦ ∀m n. m < n ⇒ m div n = 0
⊦ ∀m n. m < n ⇒ m mod n = m
⊦ ∀m n. m ≤ n ⇒ factorial m ≤ factorial n
⊦ ∀m n. m + suc n = suc (m + n)
⊦ ∀m n. m < m + n ⇔ 0 < n
⊦ ∀m n. n < m + n ⇔ 0 < m
⊦ ∀m n. suc m = suc n ⇔ m = n
⊦ ∀m n. suc m < suc n ⇔ m < n
⊦ ∀m n. suc m ≤ suc n ⇔ m ≤ n
⊦ ∀m n. m + n = m ⇔ n = 0
⊦ ∀m n. m + n = n ⇔ m = 0
⊦ ∀m n. distance m n = 0 ⇔ m = n
⊦ ∀n. odd n ⇔ n mod 2 = 1
⊦ ∀n. exp 0 n = if n = 0 then 1 else 0
⊦ ∀n. ¬(n = 0) ⇒ n div n = 1
⊦ ∀m n. max m n = if m ≤ n then n else m
⊦ ∀m n. min m n = if m ≤ n then m else n
⊦ ∀m n. even (m * n) ⇔ even m ∨ even n
⊦ ∀m n. even (m + n) ⇔ even m ⇔ even n
⊦ ∀m n. odd (m * n) ⇔ odd m ∧ odd n
⊦ ∀m n. m * suc n = m + m * n
⊦ ∀m n. ¬(n = 0) ⇒ m mod n < n
⊦ ∀m n. ¬(n = 0) ⇒ m div n ≤ m
⊦ ∀m n. ¬(n = 0) ⇒ m mod n ≤ m
⊦ ∀n. even n ⇔ ∃m. n = 2 * m
⊦ ∀m n. m ≤ n ⇔ ∃d. n = m + d
⊦ ∀A B. (∀n. A * n ≤ B) ⇔ A = 0
⊦ ∀n. ¬(n = 0) ⇒ pre n = n - 1
⊦ (even 0 ⇔ T) ∧ ∀n. even (suc n) ⇔ ¬even n
⊦ (odd 0 ⇔ F) ∧ ∀n. odd (suc n) ⇔ ¬odd n
⊦ ∀m n. m ≤ n ⇔ m < n ∨ m = n
⊦ ∀m n. n ≤ m ⇒ n + (m - n) = m
⊦ ∀m n. n ≤ m ⇒ m - n + n = m
⊦ ∀m n. m < n ∨ n < m ∨ m = n
⊦ ∀m n. odd (m + n) ⇔ ¬(odd m ⇔ odd n)
⊦ ∀m n. odd (exp m n) ⇔ odd m ∨ n = 0
⊦ ∀m n. m ≤ n ∧ n ≤ m ⇔ m = n
⊦ ∀n. odd n ⇔ ∃m. n = suc (2 * m)
⊦ ∀m n. m < n ⇔ ∃d. n = m + suc d
⊦ bit0 0 = 0 ∧ ∀n. bit0 (suc n) = suc (suc (bit0 n))
⊦ ∀m n. m < n ⇔ m ≤ n ∧ ¬(m = n)
⊦ ∀m n. even (exp m n) ⇔ even m ∧ ¬(n = 0)
⊦ ∀m n. ¬(m = 0) ⇒ m * n div m = n
⊦ ∀m n. ¬(m = 0) ⇒ m * n mod m = 0
⊦ ∀x y n. x ≤ y ⇒ exp x n ≤ exp y n
⊦ ∀m n p. distance m p ≤ distance m n + distance n p
⊦ ∀m n p. m * (n * p) = m * n * p
⊦ ∀m n p. m + (n + p) = m + n + p
⊦ ∀m n p. exp m (n * p) = exp (exp m n) p
⊦ ∀m n p. m + n = m + p ⇔ n = p
⊦ ∀m n p. m + p = n + p ⇔ m = n
⊦ ∀m n p. m + n < m + p ⇔ n < p
⊦ ∀m n p. n + m < p + m ⇔ n < p
⊦ ∀m n p. m + n ≤ m + p ⇔ n ≤ p
⊦ ∀m n p. m + p ≤ n + p ⇔ m ≤ n
⊦ ∀m n p. distance (m + n) (m + p) = distance n p
⊦ ∀p m n. distance (m + p) (n + p) = distance m n
⊦ ∀m n p. (m * n + p) mod n = p mod n
⊦ ∀m n p. m < n ∧ n < p ⇒ m < p
⊦ ∀m n p. m < n ∧ n ≤ p ⇒ m < p
⊦ ∀m n p. m ≤ n ∧ n < p ⇒ m < p
⊦ ∀m n p. m ≤ n ∧ n ≤ p ⇒ m ≤ p
⊦ ∀m n. n < m ⇒ m - suc n = pre (m - n)
⊦ ∀m n. n < m ⇒ suc (m - suc n) = m - n
⊦ ∀m n. n ≤ m ⇒ suc (m - n) = suc m - n
⊦ ∀m n. n ≤ m ⇒ (m - n = 0 ⇔ m = n)
⊦ ∀m n. n ≤ m ⇒ pre (suc m - n) = m - n
⊦ ∀m n. n ≤ m ⇒ suc m - suc n = m - n
⊦ ∀m n. 0 < m * n ⇔ 0 < m ∧ 0 < n
⊦ ∀m n. m * n = 0 ⇔ m = 0 ∨ n = 0
⊦ ∀m n. m + n = 0 ⇔ m = 0 ∧ n = 0
⊦ ∀P. P 0 ∧ (∀n. P n ⇒ P (suc n)) ⇒ ∀n. P n
⊦ factorial 0 = 1 ∧ ∀n. factorial (suc n) = suc n * factorial n
⊦ ∀m n. distance m n = if m ≤ n then n - m else m - n
⊦ ∀m n. n ≤ m ⇒ (even (m - n) ⇔ even m ⇔ even n)
⊦ ∀m n. ¬(n = 0) ⇒ (m div n = 0 ⇔ m < n)
⊦ ∀m n. ¬(n = 0) ⇒ m mod n mod n = m mod n
⊦ ∀n x. 0 < exp x n ⇔ ¬(x = 0) ∨ n = 0
⊦ ∀m n. exp m n = 0 ⇔ m = 0 ∧ ¬(n = 0)
⊦ ∀m n p. m * (n + p) = m * n + m * p
⊦ ∀m n p. m * distance n p = distance (m * n) (m * p)
⊦ ∀m n p. exp m (n + p) = exp m n * exp m p
⊦ ∀m n p. (m + n) * p = m * p + n * p
⊦ ∀p m n. distance m n * p = distance (m * p) (n * p)
⊦ ∀p m n. exp (m * n) p = exp m p * exp n p
⊦ ∀m n. n ≤ m ⇒ (odd (m - n) ⇔ ¬(odd m ⇔ odd n))
⊦ ∀x n. exp x n = 1 ⇔ x = 1 ∨ n = 0
⊦ ∀P. (∀n. (∀m. m < n ⇒ P m) ⇒ P n) ⇒ ∀n. P n
⊦ ∀e f. ∃fn. fn 0 = e ∧ ∀n. fn (suc n) = f (fn n) n
⊦ ∀e f. ∃!fn. fn 0 = e ∧ ∀n. fn (suc n) = f (fn n) n
⊦ ∀e f. ∃fn. fn 0 = e ∧ ∀n. fn (suc n) = f n (fn n)
⊦ ∀A B C. (∀n. A * n ≤ B * n + C) ⇔ A ≤ B
⊦ ∀m n. ¬(n = 0) ⇒ m div n * n + m mod n = m
⊦ ∀m n. m * n = 1 ⇔ m = 1 ∧ n = 1
⊦ ∀P. (∃n. P n) ⇔ ∃n. P n ∧ ∀m. m < n ⇒ ¬P m
⊦ ∀m n p. n ≤ m ⇒ m + p - (n + p) = m - n
⊦ ∀m n p. p ≤ n ⇒ m + n - (m + p) = n - p
⊦ ∀m n p. m * n = m * p ⇔ m = 0 ∨ n = p
⊦ ∀m n p. m * p = n * p ⇔ m = n ∨ p = 0
⊦ ∀x y n. exp x n = exp y n ⇔ x = y ∨ n = 0
⊦ ∀m n p. m * n ≤ m * p ⇔ m = 0 ∨ n ≤ p
⊦ ∀m n p. m * p ≤ n * p ⇔ m ≤ n ∨ p = 0
⊦ ∀x y n. exp x n ≤ exp y n ⇔ x ≤ y ∨ n = 0
⊦ ∀P. (∃n. P n) ⇔ P ((minimal) P) ∧ ∀m. m < (minimal) P ⇒ ¬P m
⊦ (∀n. 0 + n = n) ∧ ∀m n. suc m + n = suc (m + n)
⊦ ∀a b n. ¬(a = 0) ⇒ (n ≤ b div a ⇔ a * n ≤ b)
⊦ ∀m n p. ¬(p = 0) ⇒ m * (n div p) ≤ m * n div p
⊦ ∀m n p. m * n < m * p ⇔ ¬(m = 0) ∧ n < p
⊦ ∀m n p. m * p < n * p ⇔ m < n ∧ ¬(p = 0)
⊦ ∀x y n. exp x n < exp y n ⇔ x < y ∧ ¬(n = 0)
⊦ ∀x y n. x < y ∧ ¬(n = 0) ⇒ exp x n < exp y n
⊦ ∀m n p. ¬(m = 0) ∧ n < p ⇒ m * n < m * p
⊦ ∀m n p. ¬(p = 0) ∧ m ≤ n ⇒ m div p ≤ n div p
⊦ ∀m n p. ¬(p = 0) ∧ p ≤ m ⇒ n div m ≤ n div p
⊦ ∀a b n. ¬(a = 0) ∧ b ≤ a * n ⇒ b div a ≤ n
⊦ ∀m n. ¬(n = 0) ⇒ (m mod n = 0 ⇔ ∃q. m = q * n)
⊦ (∀n. 0 * n = 0) ∧ ∀m n. suc m * n = m * n + n
⊦ ∀m n p q. distance m p ≤ distance (m + n) (p + q) + distance n q
⊦ ∀m n p q. m = n + q * p ⇒ m mod p = n mod p
⊦ ∀m n p q. m < n ∧ p < q ⇒ m * p < n * q
⊦ ∀m n p q. m < p ∧ n < q ⇒ m + n < p + q
⊦ ∀m n p q. m < p ∧ n ≤ q ⇒ m + n < p + q
⊦ ∀m n p q. m ≤ n ∧ p ≤ q ⇒ m * p ≤ n * q
⊦ ∀m n p q. m ≤ p ∧ n < q ⇒ m + n < p + q
⊦ ∀m n p q. m ≤ p ∧ n ≤ q ⇒ m + n ≤ p + q
⊦ ∀m n p q. distance (m + n) (p + q) ≤ distance m p + distance n q
⊦ ∀m n p q. distance m n + distance n p ≤ q ⇒ distance m p ≤ q
⊦ ∀m n p. n ≤ m ⇒ (m - n) * p = m * p - n * p
⊦ ∀m n p. p ≤ n ⇒ m * (n - p) = m * n - m * p
⊦ ∀m n p. distance m n ≤ p ⇔ m ≤ n + p ∧ n ≤ m + p
⊦ ∀n. (∃k m. odd m ∧ n = exp 2 k * m) ⇔ ¬(n = 0)
⊦ (∀m. exp m 0 = 1) ∧ ∀m n. exp m (suc n) = m * exp m n
⊦ ∀m n p. ¬(n = 0) ⇒ m * (p mod n) mod n = m * p mod n
⊦ ∀m n p. ¬(n = 0) ⇒ m mod n * p mod n = m * p mod n
⊦ ∀m n p. ¬(n = 0) ⇒ exp (m mod n) p mod n = exp m p mod n
⊦ ∀m n p. ¬(m * p = 0) ⇒ m * n div (m * p) = n div p
⊦ ∀m n p. ¬(n * p = 0) ⇒ m div n div p = m div (n * p)
⊦ ∀m n p. ¬(n * p = 0) ⇒ m mod (n * p) mod n = m mod n
⊦ ∀m n p. ¬(p = 0) ∧ m + p ≤ n ⇒ m div p < n div p
⊦ ∀m n. (∃q. m = n * q) ⇔ if n = 0 then m = 0 else m mod n = 0
⊦ (∀m. m < 0 ⇔ F) ∧ ∀m n. m < suc n ⇔ m = n ∨ m < n
⊦ ∀m n q r. m = q * n + r ∧ r < n ⇒ m div n = q
⊦ ∀m n q r. m = q * n + r ∧ r < n ⇒ m mod n = r
⊦ ∀a b n. ¬(a = 0) ⇒ (b div a ≤ n ⇔ b < a * (n + 1))
⊦ ∀P. (∃B. ∀n. P n ≤ B) ⇔ ∃A B. ∀n. n * P n ≤ A * n + B
⊦ ∀m n p. ¬(n = 0) ⇒ m mod n * (p mod n) mod n = m * p mod n
⊦ ∀a b n. ¬(n = 0) ⇒ (a mod n + b mod n) mod n = (a + b) mod n
⊦ ∀m n p. ¬(m * p = 0) ⇒ m * n mod (m * p) = m * (n mod p)
⊦ ∀m n p. ¬(n * p = 0) ⇒ m div n mod p = m mod (n * p) div n
⊦ (∀m. m ≤ 0 ⇔ m = 0) ∧ ∀m n. m ≤ suc n ⇔ m = suc n ∨ m ≤ n
⊦ ∀n. (even n ⇒ ∃m. n = 2 * m) ∧ (¬even n ⇒ ∃m. n = suc (2 * m))
⊦ ∀P x y. P (distance x y) ⇔ ∀d. (x = y + d ⇒ P d) ∧ (y = x + d ⇒ P d)
⊦ ∀P. (∃x. P x) ∧ (∃M. ∀x. P x ⇒ x ≤ M) ⇔ ∃m. P m ∧ ∀x. P x ⇒ x ≤ m
⊦ ∀m n q r. m = q * n + r ∧ r < n ⇒ m div n = q ∧ m mod n = r
⊦ ∀a b c d. ¬(b = 0) ∧ b * c < (a + 1) * d ⇒ c div d ≤ a div b
⊦ ∀P Q. (∃B. ∀i. P i ≤ Q i + B) ⇔ ∃B N. ∀i. N ≤ i ⇒ P i ≤ Q i + B
⊦ ∀P. (∀m n. P m n ⇔ P n m) ∧ (∀m n. m ≤ n ⇒ P m n) ⇒ ∀m n. P m n
⊦ ∀x m n.
exp x m = exp x n ⇔ if x = 0 then m = 0 ⇔ n = 0 else x = 1 ∨ m = n
⊦ ∀x m n.
exp x m ≤ exp x n ⇔ if x = 0 then m = 0 ⇒ n = 0 else x = 1 ∨ m ≤ n
⊦ ∀m n p q r s.
distance m n ≤ r ∧ distance p q ≤ s ⇒
distance m p ≤ distance n q + (r + s)
⊦ ∀x m n. exp x m < exp x n ⇔ 2 ≤ x ∧ m < n ∨ x = 0 ∧ ¬(m = 0) ∧ n = 0
⊦ ∀a b c d. b * c < (a + 1) * d ∧ a * d < (c + 1) * b ⇒ a div b = c div d
⊦ ∀P.
(∀m. P m m) ∧ (∀m n. P m n ⇔ P n m) ∧ (∀m n. m < n ⇒ P m n) ⇒
∀m y. P m y
⊦ ∀m n p.
m * n = n * m ∧ m * n * p = m * (n * p) ∧ m * (n * p) = n * (m * p)
⊦ ∀m n p.
m + n = n + m ∧ m + n + p = m + (n + p) ∧ m + (n + p) = n + (m + p)
⊦ ∀a b n.
¬(n = 0) ⇒
((a + b) mod n = a mod n + b mod n ⇔ (a + b) div n = a div n + b div n)
⊦ ∀P A B.
P 0 0 = 0 ∧ (∀m n. P m n ≤ A * (m + n) + B) ⇒
∃B. ∀m n. P m n ≤ B * (m + n)
⊦ (∀n. 0 + n = n) ∧ (∀m. m + 0 = m) ∧ (∀m n. suc m + n = suc (m + n)) ∧
∀m n. m + suc n = suc (m + n)
⊦ (∀n. 0 * n = 0) ∧ (∀m. m * 0 = 0) ∧ (∀n. 1 * n = n) ∧ (∀m. m * 1 = m) ∧
(∀m n. suc m * n = m * n + n) ∧ ∀m n. m * suc n = m + m * n
⊦ (∀n. ¬(n = 0) ⇒ 0 < n) ∧ (∀n. ¬(n = 0) ⇒ 1 ≤ n) ∧
(∀n. 0 < n ⇒ ¬(n = 0)) ∧ (∀n. 0 < n ⇒ 1 ≤ n) ∧ (∀n. 1 ≤ n ⇒ 0 < n) ∧
∀n. 1 ≤ n ⇒ ¬(n = 0)
⊦ T
⊦ F ⇔ ∀p. p
⊦ ∀t. t ∨ ¬t
⊦ (~) = λp. p ⇒ F
⊦ (∃) = λP. P ((select) P)
⊦ ∀a. ∃x. x = a
⊦ ∀a. ∃!x. x = a
⊦ ∀t. (∀x. t) ⇔ t
⊦ ∀t. (∃x. t) ⇔ t
⊦ ∀t. (λx. t x) = t
⊦ T ⇔ (λp. p) = λp. p
⊦ (∀) = λp. p = λx. T
⊦ ∀x. x = x ⇔ T
⊦ (⇒) = λp q. p ∧ q ⇔ p
⊦ ∀t. (t ⇔ T) ∨ (t ⇔ F)
⊦ (¬T ⇔ F) ∧ (¬F ⇔ T)
⊦ ∀x y. x = y ⇔ y = x
⊦ ∀x y. x = y ⇒ y = x
⊦ ∀t1 t2. t1 ∧ t2 ⇔ t2 ∧ t1
⊦ ∀t1 t2. t1 ∨ t2 ⇔ t2 ∨ t1
⊦ (∧) = λp q. (λf. f p q) = λf. f T T
⊦ ∀f. surjective f ⇔ ∀y. ∃x. y = f x
⊦ ∀P. ¬(∀x. P x) ⇔ ∃x. ¬P x
⊦ ∀P. ¬(∃x. P x) ⇔ ∀x. ¬P x
⊦ (∃) = λP. ∀q. (∀x. P x ⇒ q) ⇒ q
⊦ ∀t1 t2. ¬(t1 ⇒ t2) ⇔ t1 ∧ ¬t2
⊦ ∀f g. f = g ⇔ ∀x. f x = g x
⊦ ∀P a. (∀x. x = a ⇒ P x) ⇔ P a
⊦ ∀P a. (∃x. a = x ∧ P x) ⇔ P a
⊦ (∨) = λp q. ∀r. (p ⇒ r) ⇒ (q ⇒ r) ⇒ r
⊦ ∀P. (∃x y. P x y) ⇔ ∃y x. P x y
⊦ ∀P Q. (∀x. P ⇒ Q x) ⇔ P ⇒ ∀x. Q x
⊦ ∀P Q. (∃x. P ∧ Q x) ⇔ P ∧ ∃x. Q x
⊦ ∀P Q. P ∧ (∃x. Q x) ⇔ ∃x. P ∧ Q x
⊦ ∀P Q. P ∨ (∃x. Q x) ⇔ ∃x. P ∨ Q x
⊦ ∀P Q. (∀x. P x ∨ Q) ⇔ (∀x. P x) ∨ Q
⊦ ∀P Q. (∃x. P x ∧ Q) ⇔ (∃x. P x) ∧ Q
⊦ ∀P Q. (∃x. P x) ∧ Q ⇔ ∃x. P x ∧ Q
⊦ ∀P Q. (∃x. P x) ⇒ Q ⇔ ∀x. P x ⇒ Q
⊦ ∀P Q. (∀x. P x) ∨ Q ⇔ ∀x. P x ∨ Q
⊦ ∀P Q. (∃x. P x) ∨ Q ⇔ ∃x. P x ∨ Q
⊦ ∀x y z. x = y ∧ y = z ⇒ x = z
⊦ ∀t1 t2 t3. t1 ∨ t2 ∨ t3 ⇔ (t1 ∨ t2) ∨ t3
⊦ ∀P. (∀x. ∃y. P x y) ⇔ ∃y. ∀x. P x (y x)
⊦ ∀t1 t2. (if T then t1 else t2) = t1 ∧ (if F then t1 else t2) = t2
⊦ ∀f. injective f ⇔ ∀x1 x2. f x1 = f x2 ⇒ x1 = x2
⊦ (∀t. ¬¬t ⇔ t) ∧ (¬T ⇔ F) ∧ (¬F ⇔ T)
⊦ (∃!) = λP. (∃) P ∧ ∀x y. P x ∧ P y ⇒ x = y
⊦ ∀P Q. (∀x. P x ∧ Q x) ⇔ (∀x. P x) ∧ ∀x. Q x
⊦ ∀P Q. (∃x. P x ∨ Q x) ⇔ (∃x. P x) ∨ ∃x. Q x
⊦ ∀P Q. (∀x. P x ⇒ Q x) ⇒ (∃x. P x) ⇒ ∃x. Q x
⊦ ∀P Q. (∀x. P x) ∧ (∀x. Q x) ⇔ ∀x. P x ∧ Q x
⊦ ∀P Q. (∃x. P x) ∨ (∃x. Q x) ⇔ ∃x. P x ∨ Q x
⊦ ∀A B C D. (A ⇒ B) ∧ (C ⇒ D) ⇒ A ∧ C ⇒ B ∧ D
⊦ ∀A B C D. (A ⇒ B) ∧ (C ⇒ D) ⇒ A ∨ C ⇒ B ∨ D
⊦ ∀A B C D. (B ⇒ A) ∧ (C ⇒ D) ⇒ (A ⇒ C) ⇒ B ⇒ D
⊦ ∀P. (∀x. ∃!y. P x y) ⇔ ∃f. ∀x y. P x y ⇔ f x = y
⊦ ∀P c x y. P (if c then x else y) ⇔ (c ⇒ P x) ∧ (¬c ⇒ P y)
⊦ ∀P. (∃!x. P x) ⇔ (∃x. P x) ∧ ∀x x'. P x ∧ P x' ⇒ x = x'
⊦ ∀t1 t2. (¬(t1 ∧ t2) ⇔ ¬t1 ∨ ¬t2) ∧ (¬(t1 ∨ t2) ⇔ ¬t1 ∧ ¬t2)
⊦ ∀t. ((T ⇔ t) ⇔ t) ∧ ((t ⇔ T) ⇔ t) ∧ ((F ⇔ t) ⇔ ¬t) ∧ ((t ⇔ F) ⇔ ¬t)
⊦ ∀t. (T ∧ t ⇔ t) ∧ (t ∧ T ⇔ t) ∧ (F ∧ t ⇔ F) ∧ (t ∧ F ⇔ F) ∧ (t ∧ t ⇔ t)
⊦ ∀t. (T ∨ t ⇔ T) ∧ (t ∨ T ⇔ T) ∧ (F ∨ t ⇔ t) ∧ (t ∨ F ⇔ t) ∧ (t ∨ t ⇔ t)
⊦ ∀t. (T ⇒ t ⇔ t) ∧ (t ⇒ T ⇔ T) ∧ (F ⇒ t ⇔ T) ∧ (t ⇒ t ⇔ T) ∧ (t ⇒ F ⇔ ¬t)
⊦ ∀p q r.
(p ∨ q ⇔ q ∨ p) ∧ ((p ∨ q) ∨ r ⇔ p ∨ q ∨ r) ∧ (p ∨ q ∨ r ⇔ q ∨ p ∨ r) ∧
(p ∨ p ⇔ p) ∧ (p ∨ p ∨ q ⇔ p ∨ q)
⊦ let a o ←
(let h ←
let p r ←
let p s ←
(let f ← o r = o s ∈
λg.
(let h ← f ∈
λi.
(λj. j h i) =
λk. k ((λd. d) = λd. d) ((λd. d) = λd. d)) g ⇔ f)
(r = s) ∈
p = (λq. (λd. d) = λd. d) ∈
p = (λq. (λd. d) = λd. d) ∈
λi. (λj. j h i) = λk. k ((λd. d) = λd. d) ((λd. d) = λd. d))
(let t ←
let p u ←
let v y ← u = o y ∈
let b w ←
(let f ←
let p x ←
(let f ← v x ∈
λg.
(let h ← f ∈
λi.
(λj. j h i) =
λk.
k ((λd. d) = λd. d)
((λd. d) = λd. d)) g ⇔ f) w ∈
p = (λq. (λd. d) = λd. d) ∈
λg.
(let h ← f ∈
λi.
(λj. j h i) =
λk. k ((λd. d) = λd. d) ((λd. d) = λd. d)) g ⇔
f) w ∈
b = (λc. (λd. d) = λd. d) ∈
p = (λq. (λd. d) = λd. d) ∈
(let f ← t ∈
λg.
(let h ← f ∈
λi. (λj. j h i) = λk. k ((λd. d) = λd. d) ((λd. d) = λd. d))
g ⇔ f) (let b d ← d ∈ b = λc. (λd. d) = λd. d)) ∈
let b e ←
(let f ←
let l n ←
(let f ← a n ∈
λg.
(let h ← f ∈
λi.
(λj. j h i) =
λk. k ((λd. d) = λd. d) ((λd. d) = λd. d)) g ⇔ f) e ∈
l = (λm. (λd. d) = λd. d) ∈
λg.
(let h ← f ∈
λi. (λj. j h i) = λk. k ((λd. d) = λd. d) ((λd. d) = λd. d)) g ⇔
f) e ∈
b = λc. (λd. d) = λd. d