Package natural: The natural numbers
Information
| name | natural |
| version | 1.85 |
| description | The natural numbers |
| author | Joe Leslie-Hurd <joe@gilith.com> |
| license | MIT |
| requires | bool function |
| show | Data.Bool Function Number.Natural |
Files
- Package tarball natural-1.85.tgz
- Theory source file natural.thy (included in the package tarball)
Defined Type Operator
- Number
- Natural
- natural
- Natural
Defined Constants
- Function
- ↑
- Number
- Natural
- *
- +
- -
- <
- ≤
- >
- ≥
- ↑
- bit0
- bit1
- distance
- div
- even
- factorial
- log
- max
- min
- minimal
- mod
- odd
- pre
- suc
- zero
- Natural
Theorems
⊦ even 0
⊦ ¬odd 0
⊦ bit0 0 = 0
⊦ ∀n. 0 ≤ n
⊦ ∀n. n ≤ n
⊦ (minimal n. ⊤) = 0
⊦ factorial 0 = 1
⊦ ∀m. ¬(m < 0)
⊦ ∀n. ¬(n < n)
⊦ ∀n. 0 < suc n
⊦ ∀n. n < suc n
⊦ ∀n. n ≤ suc n
⊦ ∀n. ¬(factorial n = 0)
⊦ ∀n. ¬(suc n = 0)
⊦ ∀n. n ≤ n * n
⊦ ∀n. even n ∨ odd n
⊦ ∀n. pre (suc n) = n
⊦ ∀n. 0 * n = 0
⊦ ∀m. m * 0 = 0
⊦ ∀n. 0 + n = n
⊦ ∀m. m + 0 = m
⊦ ∀m. m - 0 = m
⊦ ∀n. n - n = 0
⊦ ∀n. distance 0 n = n
⊦ ∀n. distance n 0 = n
⊦ ∀n. distance n n = 0
⊦ ∀n. max 0 n = n
⊦ ∀n. max n 0 = n
⊦ ∀n. max n n = n
⊦ ∀n. min 0 n = 0
⊦ ∀n. min n 0 = 0
⊦ ∀n. min n n = n
⊦ ∀n. id ↑ n = id
⊦ ∀f. f ↑ 0 = id
⊦ ∀n. ¬(even n ∧ odd n)
⊦ ∀n. even (2 * n)
⊦ ∀n. bit1 n = suc (bit0 n)
⊦ ∀n. ¬even n ⇔ odd n
⊦ ∀n. ¬odd n ⇔ even n
⊦ ∀m. m ↑ 0 = 1
⊦ ∀m. m * 1 = m
⊦ ∀n. n ↑ 1 = n
⊦ ∀n. n div 1 = n
⊦ ∀n. n mod 1 = 0
⊦ ∀m. 1 * m = m
⊦ ∀f. f ↑ 1 = f
⊦ ∃f. injective f ∧ ¬surjective f
⊦ ∀m n. m ≤ m + n
⊦ ∀m n. m ≤ max m n
⊦ ∀m n. n ≤ m + n
⊦ ∀m n. n ≤ max m n
⊦ ∀m n. min m n ≤ m
⊦ ∀m n. min m n ≤ n
⊦ ∀n. odd (suc (2 * n))
⊦ ∀m. suc m = m + 1
⊦ ∀n. even (suc n) ⇔ ¬even n
⊦ ∀n. odd (suc n) ⇔ ¬odd n
⊦ ∀m. m ≤ 0 ⇔ m = 0
⊦ ∀n. 1 ↑ n = 1
⊦ ∀n. suc n - 1 = n
⊦ ∀m n. ¬(m + n < m)
⊦ ∀m n. ¬(n + m < m)
⊦ ∀n. 0 < n ⇔ ¬(n = 0)
⊦ ∀n. bit0 (suc n) = suc (suc (bit0 n))
⊦ ∀m n. m > n ⇔ n < m
⊦ ∀m n. m ≥ n ⇔ n ≤ m
⊦ ∀m n. m * n = n * m
⊦ ∀m n. m + n = n + m
⊦ ∀m n. distance m n = distance n m
⊦ ∀m n. max m n = max n m
⊦ ∀m n. min m n = min n m
⊦ ∀m n. m = n ⇒ m ≤ n
⊦ ∀m n. m < n ⇒ m ≤ n
⊦ ∀m n. m < n ∨ n ≤ m
⊦ ∀m n. m ≤ n ∨ n < m
⊦ ∀m n. m ≤ n ∨ n ≤ m
⊦ ∀m n. distance m n ≤ m + n
⊦ ∀m n. distance m (m + n) = n
⊦ ∀m n. m + n - m = n
⊦ ∀m n. m + n - n = m
⊦ ∀m n. distance (m + n) m = n
⊦ ∀m n. n * (m div n) ≤ m
⊦ ∀n. factorial (suc n) = suc n * factorial n
⊦ ∀n. n ↑ 2 = n * n
⊦ ∀n. 2 * n = n + n
⊦ ∀m n. ¬(m < n ∧ n < m)
⊦ ∀m n. ¬(m < n ∧ n ≤ m)
⊦ ∀m n. ¬(m ≤ n ∧ n < m)
⊦ ∀m n. m < n ⇒ ¬(m = n)
⊦ ∀m n. ¬(m < n) ⇔ n ≤ m
⊦ ∀m n. ¬(m ≤ n) ⇔ n < m
⊦ ∀m n. m < suc n ⇔ m ≤ n
⊦ ∀m n. suc m ≤ n ⇔ m < n
⊦ ∀m. m = 0 ∨ ∃n. m = suc n
⊦ ∀n. even n ⇔ n mod 2 = 0
⊦ ∀n. ¬(n = 0) ⇒ 0 div n = 0
⊦ ∀n. ¬(n = 0) ⇒ 0 mod n = 0
⊦ ∀n. ¬(n = 0) ⇒ n mod n = 0
⊦ ∀m n. m < n ⇒ m div n = 0
⊦ ∀m n. m < n ⇒ m mod n = m
⊦ ∀m n. m ≤ n ⇒ factorial m ≤ factorial n
⊦ ∀m n. m + suc n = suc (m + n)
⊦ ∀m n. suc m + n = suc (m + n)
⊦ ∀m n. m < m + n ⇔ 0 < n
⊦ ∀m n. n < m + n ⇔ 0 < m
⊦ ∀m n. suc m = suc n ⇔ m = n
⊦ ∀m n. suc m < suc n ⇔ m < n
⊦ ∀m n. suc m ≤ suc n ⇔ m ≤ n
⊦ ∀m n. m + n = m ⇔ n = 0
⊦ ∀m n. m + n = n ⇔ m = 0
⊦ ∀m n. distance m n = 0 ⇔ m = n
⊦ ∀m n. m + n ≤ m ⇔ n = 0
⊦ ∀m n. n + m ≤ m ⇔ n = 0
⊦ ∀m n. distance (suc m) (suc n) = distance m n
⊦ ∀n. odd n ⇔ n mod 2 = 1
⊦ ∀n. 0 ↑ n = if n = 0 then 1 else 0
⊦ ∀n. ¬(n = 0) ⇒ n div n = 1
⊦ ∀k. 1 < k ⇒ log k 1 = 0
⊦ ∀m n. max m n = if m ≤ n then n else m
⊦ ∀m n. min m n = if m ≤ n then m else n
⊦ ∀m n. even (m * n) ⇔ even m ∨ even n
⊦ ∀m n. even (m + n) ⇔ even m ⇔ even n
⊦ ∀m n. odd (m * n) ⇔ odd m ∧ odd n
⊦ ∀m n. m * suc n = m + m * n
⊦ ∀m n. m ↑ suc n = m * m ↑ n
⊦ ∀m n. suc m * n = m * n + n
⊦ ∀m n. ¬(n = 0) ⇒ m mod n < n
⊦ ∀m n. ¬(n = 0) ⇒ m div n ≤ m
⊦ ∀m n. ¬(n = 0) ⇒ m mod n ≤ m
⊦ ∀n. even n ⇔ ∃m. n = 2 * m
⊦ ∀f n. f ↑ suc n = f ∘ f ↑ n
⊦ ∀f n. f ↑ suc n = f ↑ n ∘ f
⊦ ∀m n. m ≤ n ⇔ ∃d. n = m + d
⊦ ∀a b. (∀n. a * n ≤ b) ⇔ a = 0
⊦ ∀n. ¬(n = 0) ⇒ pre n = n - 1
⊦ ∀m n. m ≤ n ⇔ m < n ∨ m = n
⊦ ∀m n. n ≤ m ⇒ n + (m - n) = m
⊦ ∀m n. n ≤ m ⇒ m - n + n = m
⊦ ∀m n. m < n ∨ n < m ∨ m = n
⊦ ∀m n. odd (m + n) ⇔ ¬(odd m ⇔ odd n)
⊦ ∀m n. odd (m ↑ n) ⇔ odd m ∨ n = 0
⊦ ∀m n. m ≤ n ∧ n ≤ m ⇔ m = n
⊦ ∀n. odd n ⇔ ∃m. n = suc (2 * m)
⊦ ∀m n. m < n ⇔ ∃d. n = m + suc d
⊦ ∀k n. 1 < k ⇒ ∃m. n ≤ k ↑ m
⊦ ∀m n. m < n ⇔ m ≤ n ∧ ¬(m = n)
⊦ ∀m n. even (m ↑ n) ⇔ even m ∧ ¬(n = 0)
⊦ ∀m n. m < suc n ⇔ m = n ∨ m < n
⊦ ∀m n. ¬(m = 0) ⇒ m * n div m = n
⊦ ∀m n. ¬(m = 0) ⇒ m * n mod m = 0
⊦ ∀k m. 1 < k ⇒ log k (k ↑ m) = m
⊦ ∀x y n. x ≤ y ⇒ x ↑ n ≤ y ↑ n
⊦ ∀m n p. distance m p ≤ distance m n + distance n p
⊦ ∀m n p. m * (n * p) = n * (m * p)
⊦ ∀m n p. m * (n * p) = m * n * p
⊦ ∀m n p. m + (n + p) = m + n + p
⊦ ∀m n p. m ↑ (n * p) = (m ↑ n) ↑ p
⊦ ∀a b n. b < a * n ⇒ b div a < n
⊦ ∀m n p. m + n = m + p ⇔ n = p
⊦ ∀m n p. m + p = n + p ⇔ m = n
⊦ ∀m n p. m + n < m + p ⇔ n < p
⊦ ∀m n p. n + m < p + m ⇔ n < p
⊦ ∀m n p. m + n ≤ m + p ⇔ n ≤ p
⊦ ∀m n p. n + m ≤ p + m ⇔ n ≤ p
⊦ ∀m n p. distance (m + n) (m + p) = distance n p
⊦ ∀p m n. distance (m + p) (n + p) = distance m n
⊦ ∀m n p. (m * n + p) mod n = p mod n
⊦ ∀m n p. m < n ∧ n < p ⇒ m < p
⊦ ∀m n p. m < n ∧ n ≤ p ⇒ m < p
⊦ ∀m n p. m ≤ n ∧ n < p ⇒ m < p
⊦ ∀m n p. m ≤ n ∧ n ≤ p ⇒ m ≤ p
⊦ ∀f n x. (f ↑ suc n) x = f ((f ↑ n) x)
⊦ ∀f n x. (f ↑ suc n) x = (f ↑ n) (f x)
⊦ ∀f m n. f ↑ (m * n) = (f ↑ m) ↑ n
⊦ ∀m n. n < m ⇒ m - suc n = pre (m - n)
⊦ ∀m n. n < m ⇒ suc (m - suc n) = m - n
⊦ ∀m n. n ≤ m ⇒ suc (m - n) = suc m - n
⊦ ∀m n. n ≤ m ⇒ (m - n = 0 ⇔ m = n)
⊦ ∀m n. n ≤ m ⇒ pre (suc m - n) = m - n
⊦ ∀m n. n ≤ m ⇒ suc m - suc n = m - n
⊦ ∀m n. m ≤ suc n ⇔ m = suc n ∨ m ≤ n
⊦ ∀m n. 0 < m * n ⇔ 0 < m ∧ 0 < n
⊦ ∀m n. m * n = 0 ⇔ m = 0 ∨ n = 0
⊦ ∀m n. m + n = 0 ⇔ m = 0 ∧ n = 0
⊦ ∀m n. distance (distance m n) (distance m (n + 1)) = 1
⊦ ∀p. p 0 ∧ (∀n. p n ⇒ p (suc n)) ⇒ ∀n. p n
⊦ ∀m n. distance m n = if m ≤ n then n - m else m - n
⊦ ∀m n. n ≤ m ⇒ (even (m - n) ⇔ even m ⇔ even n)
⊦ ∀n m. ¬(n = 0) ⇒ m mod n mod n = m mod n
⊦ ∀m n. ¬(n = 0) ⇒ (m div n = 0 ⇔ m < n)
⊦ ∀m n. m = m * n ⇔ m = 0 ∨ n = 1
⊦ ∀m n. m = n * m ⇔ m = 0 ∨ n = 1
⊦ ∀n x. 0 < x ↑ n ⇔ ¬(x = 0) ∨ n = 0
⊦ ∀m n. m * n = m ⇔ m = 0 ∨ n = 1
⊦ ∀m n. n * m = m ⇔ m = 0 ∨ n = 1
⊦ ∀m n. m ↑ n = 0 ⇔ m = 0 ∧ ¬(n = 0)
⊦ ∀m n p. m * (n + p) = m * n + m * p
⊦ ∀m n p. m * distance n p = distance (m * n) (m * p)
⊦ ∀m n p. m ↑ (n + p) = m ↑ n * m ↑ p
⊦ ∀m n p. (m + n) * p = m * p + n * p
⊦ ∀p m n. distance m n * p = distance (m * p) (n * p)
⊦ ∀p m n. (m * n) ↑ p = m ↑ p * n ↑ p
⊦ ∀f m n. f ↑ (m + n) = f ↑ m ∘ f ↑ n
⊦ ∀m n. n ≤ m ⇒ (odd (m - n) ⇔ ¬(odd m ⇔ odd n))
⊦ ∀x n. x ↑ n = 1 ⇔ x = 1 ∨ n = 0
⊦ ∀p. (∀n. (∀m. m < n ⇒ p m) ⇒ p n) ⇒ ∀n. p n
⊦ ∀e f. ∃!fn. fn 0 = e ∧ ∀n. fn (suc n) = f (fn n) n
⊦ ∀a b c. (∀n. a * n ≤ b * n + c) ⇔ a ≤ b
⊦ ∀m n. ¬(n = 0) ⇒ (m div n) * n + m mod n = m
⊦ ∀m n. m * n = 1 ⇔ m = 1 ∧ n = 1
⊦ ∀p. (∃n. p n) ⇔ ∃n. p n ∧ ∀m. m < n ⇒ ¬p m
⊦ ∀m n p. n ≤ m ⇒ m + p - (n + p) = m - n
⊦ ∀m n p. p ≤ n ⇒ m + n - (m + p) = n - p
⊦ ∀m n p. m * n = m * p ⇔ m = 0 ∨ n = p
⊦ ∀m n p. m * p = n * p ⇔ m = n ∨ p = 0
⊦ ∀x y n. x ↑ n = y ↑ n ⇔ x = y ∨ n = 0
⊦ ∀m n p. m * n ≤ m * p ⇔ m = 0 ∨ n ≤ p
⊦ ∀m n p. m * p ≤ n * p ⇔ m ≤ n ∨ p = 0
⊦ ∀x y n. x ↑ n ≤ y ↑ n ⇔ x ≤ y ∨ n = 0
⊦ ∀p n. p n ∧ (∀m. m < n ⇒ ¬p m) ⇒ (minimal) p = n
⊦ ∀p. (∃n. p n) ⇔ p ((minimal) p) ∧ ∀m. m < (minimal) p ⇒ ¬p m
⊦ ∀k n. 1 < k ∧ ¬(n = 0) ⇒ k ↑ log k n ≤ n
⊦ ∀a b n. ¬(a = 0) ⇒ (n ≤ b div a ⇔ a * n ≤ b)
⊦ ∀a b n. ¬(a = 0) ⇒ (b div a < n ⇔ b < a * n)
⊦ ∀m n p. ¬(p = 0) ⇒ m * (n div p) ≤ m * n div p
⊦ ∀m n p. m * n < m * p ⇔ ¬(m = 0) ∧ n < p
⊦ ∀m n p. m * p < n * p ⇔ m < n ∧ ¬(p = 0)
⊦ ∀x y n. x ↑ n < y ↑ n ⇔ x < y ∧ ¬(n = 0)
⊦ ∀x y n. x < y ∧ ¬(n = 0) ⇒ x ↑ n < y ↑ n
⊦ ∀m n p. ¬(m = 0) ∧ n < p ⇒ m * n < m * p
⊦ ∀m n p. ¬(p = 0) ∧ m ≤ n ⇒ m div p ≤ n div p
⊦ ∀m n p. ¬(p = 0) ∧ p ≤ m ⇒ n div m ≤ n div p
⊦ ∀a b n. ¬(a = 0) ∧ b ≤ a * n ⇒ b div a ≤ n
⊦ ∀k m n. 1 < k ∧ k ↑ m ≤ n ⇒ m ≤ log k n
⊦ ∀m n. ¬(n = 0) ⇒ (m mod n = 0 ⇔ ∃q. m = q * n)
⊦ ∀m n p q. distance m p ≤ distance (m + n) (p + q) + distance n q
⊦ ∀m n p q. m = n + q * p ⇒ m mod p = n mod p
⊦ ∀m n p q. m < n ∧ p < q ⇒ m * p < n * q
⊦ ∀m n p q. m < p ∧ n < q ⇒ m + n < p + q
⊦ ∀m n p q. m < p ∧ n ≤ q ⇒ m + n < p + q
⊦ ∀m n p q. m ≤ n ∧ p ≤ q ⇒ m * p ≤ n * q
⊦ ∀m n p q. m ≤ p ∧ n < q ⇒ m + n < p + q
⊦ ∀m n p q. m ≤ p ∧ n ≤ q ⇒ m + n ≤ p + q
⊦ ∀m n p q. distance (m + n) (p + q) ≤ distance m p + distance n q
⊦ ∀m n p q. distance m n + distance n p ≤ q ⇒ distance m p ≤ q
⊦ ∀k m. 1 < k ⇒ log k (k ↑ (m + 1) - 1) = m
⊦ ∀m n p. n ≤ m ⇒ (m - n) * p = m * p - n * p
⊦ ∀m n p. p ≤ n ⇒ m * (n - p) = m * n - m * p
⊦ ∀m n p. distance m n = p ⇔ m + p = n ∨ n + p = m
⊦ ∀m n p. distance m n ≤ p ⇔ m ≤ n + p ∧ n ≤ m + p
⊦ ∀n. (∃k m. odd m ∧ n = 2 ↑ k * m) ⇔ ¬(n = 0)
⊦ ∀k n. 1 < k ∧ ¬(n = 0) ⇒ (log k n = 0 ⇔ n < k)
⊦ ∀k n. 1 < k ∧ ¬(n = 0) ∧ n < k ⇒ log k n = 0
⊦ ∀n m p. ¬(n = 0) ⇒ m * (p mod n) mod n = m * p mod n
⊦ ∀n m p. ¬(n = 0) ⇒ (m mod n) * p mod n = m * p mod n
⊦ ∀n m p. ¬(n = 0) ⇒ (m mod n) ↑ p mod n = m ↑ p mod n
⊦ ∀a b n. ¬(n = 0) ⇒ (a * n + b) div n = a + b div n
⊦ ∀m n p. ¬(m * p = 0) ⇒ m * n div m * p = n div p
⊦ ∀m n p. ¬(n * p = 0) ⇒ m div n div p = m div n * p
⊦ ∀m n p. ¬(n * p = 0) ⇒ m mod n * p mod n = m mod n
⊦ ∀m n p. ¬(p = 0) ∧ m + p ≤ n ⇒ m div p < n div p
⊦ ∀m n. (∃q. m = n * q) ⇔ if n = 0 then m = 0 else m mod n = 0
⊦ ∀m n q r. m = q * n + r ∧ r < n ⇒ m div n = q
⊦ ∀m n q r. m = q * n + r ∧ r < n ⇒ m mod n = r
⊦ ∀k n. 1 < k ∧ ¬(n = 0) ⇒ n < k ↑ (log k n + 1)
⊦ ∀a b n. ¬(a = 0) ⇒ (b div a ≤ n ⇔ b < a * (n + 1))
⊦ ∀p. (∃b. ∀n. p n ≤ b) ⇔ ∃a b. ∀n. n * p n ≤ a * n + b
⊦ ∀n m p. ¬(n = 0) ⇒ (m mod n) * (p mod n) mod n = m * p mod n
⊦ ∀n a b. ¬(n = 0) ⇒ (a mod n + b mod n) mod n = (a + b) mod n
⊦ ∀m n p. ¬(m * p = 0) ⇒ m * n mod m * p = m * (n mod p)
⊦ ∀m n p. ¬(n * p = 0) ⇒ m div n mod p = m mod n * p div n
⊦ ∀k n m. k ↑ m ≤ n ∧ n < k ↑ (m + 1) ⇒ log k n = m
⊦ ∀k n1 n2. 1 < k ∧ ¬(n1 = 0) ∧ n1 ≤ n2 ⇒ log k n1 ≤ log k n2
⊦ ∀k m n. 1 < k ∧ ¬(n = 0) ∧ n < k ↑ m ⇒ log k n < m
⊦ ∀n a b. ¬(n = 0) ⇒ (suc a mod n = suc b mod n ⇔ a mod n = b mod n)
⊦ ∀x p m n. ¬(p = 0) ⇒ x mod p ↑ m mod p ↑ n = x mod p ↑ min m n
⊦ ∀p x y. p (distance x y) ⇔ ∀d. (x = y + d ⇒ p d) ∧ (y = x + d ⇒ p d)
⊦ ∀p. (∃n. p n) ∧ (∃m. ∀n. p n ⇒ n ≤ m) ⇔ ∃m. p m ∧ ∀n. p n ⇒ n ≤ m
⊦ ∀a b c d. ¬(b = 0) ∧ b * c < (a + 1) * d ⇒ c div d ≤ a div b
⊦ ∀k p. 1 < k ∧ p 0 ∧ (∀n. ¬(n = 0) ∧ p (n div k) ⇒ p n) ⇒ ∀n. p n
⊦ ∀p q. (∃b. ∀i. p i ≤ q i + b) ⇔ ∃b n. ∀i. n ≤ i ⇒ p i ≤ q i + b
⊦ ∀k n.
1 < k ∧ ¬(n = 0) ⇒ log k n = if n < k then 0 else log k (n div k) + 1
⊦ ∀x m n. x ↑ m = x ↑ n ⇔ if x = 0 then m = 0 ⇔ n = 0 else x = 1 ∨ m = n
⊦ ∀x m n. x ↑ m ≤ x ↑ n ⇔ if x = 0 then m = 0 ⇒ n = 0 else x = 1 ∨ m ≤ n
⊦ ∀m n p q r s.
distance m n ≤ r ∧ distance p q ≤ s ⇒
distance m p ≤ distance n q + (r + s)
⊦ ∀x m n. x ↑ m < x ↑ n ⇔ 2 ≤ x ∧ m < n ∨ x = 0 ∧ ¬(m = 0) ∧ n = 0
⊦ ∀k n m. 1 < k ∧ ¬(n = 0) ⇒ (log k n = m ⇔ k ↑ m ≤ n ∧ n < k ↑ (m + 1))
⊦ ∀a b c d. b * c < (a + 1) * d ∧ a * d < (c + 1) * b ⇒ a div b = c div d
⊦ ∀a b n.
¬(n = 0) ⇒
((a + b) mod n = a mod n + b mod n ⇔ (a + b) div n = a div n + b div n)
⊦ ∀p a b.
p 0 0 = 0 ∧ (∀m n. p m n ≤ a * (m + n) + b) ⇒
∃c. ∀m n. p m n ≤ c * (m + n)
External Type Operators
- →
- bool
- ind
External Constants
- =
- select
- Data
- Bool
- ∀
- ∧
- ⇒
- ∃
- ∃!
- ∨
- ¬
- cond
- ⊥
- ⊤
- Bool
- Function
- id
- injective
- ∘
- surjective
Assumptions
⊦ AXIOM OF INFINITY
⊦ ⊤
⊦ ¬⊥ ⇔ ⊤
⊦ ¬⊤ ⇔ ⊥
⊦ ∀t. t ⇒ t
⊦ ⊥ ⇔ ∀p. p
⊦ ∀t. t ∨ ¬t
⊦ (¬) = λp. p ⇒ ⊥
⊦ (∃) = λp. p ((select) p)
⊦ ∀a. ∃x. x = a
⊦ ∀a. ∃!x. x = a
⊦ ∀t. (∀x. t) ⇔ t
⊦ ∀t. (∃x. t) ⇔ t
⊦ ∀t. (λx. t x) = t
⊦ ⊤ ⇔ (λp. p) = λp. p
⊦ (∀) = λp. p = λx. ⊤
⊦ ∀t. ¬¬t ⇔ t
⊦ ∀t. (⊤ ⇔ t) ⇔ t
⊦ ∀t. (t ⇔ ⊤) ⇔ t
⊦ ∀t. ⊥ ∧ t ⇔ ⊥
⊦ ∀t. ⊤ ∧ t ⇔ t
⊦ ∀t. t ∧ ⊥ ⇔ ⊥
⊦ ∀t. t ∧ ⊤ ⇔ t
⊦ ∀t. t ∧ t ⇔ t
⊦ ∀t. ⊥ ⇒ t ⇔ ⊤
⊦ ∀t. ⊤ ⇒ t ⇔ t
⊦ ∀t. t ⇒ ⊤ ⇔ ⊤
⊦ ∀t. ⊥ ∨ t ⇔ t
⊦ ∀t. ⊤ ∨ t ⇔ ⊤
⊦ ∀t. t ∨ ⊥ ⇔ t
⊦ ∀t. t ∨ ⊤ ⇔ ⊤
⊦ ∀t. t ∨ t ⇔ t
⊦ ∀f. f ∘ id = f
⊦ ∀f. id ∘ f = f
⊦ ∀t. (⊥ ⇔ t) ⇔ ¬t
⊦ ∀t. (t ⇔ ⊥) ⇔ ¬t
⊦ ∀t. t ⇒ ⊥ ⇔ ¬t
⊦ (⇒) = λp q. p ∧ q ⇔ p
⊦ ∀t. (t ⇔ ⊤) ∨ (t ⇔ ⊥)
⊦ ∀t1 t2. (if ⊥ then t1 else t2) = t2
⊦ ∀t1 t2. (if ⊤ then t1 else t2) = t1
⊦ ∀p x. p x ⇒ p ((select) p)
⊦ ∀f y. (let x ← y in f x) = f y
⊦ ∀x y. x = y ⇔ y = x
⊦ ∀x y. x = y ⇒ y = x
⊦ ∀t1 t2. t1 ∧ t2 ⇔ t2 ∧ t1
⊦ ∀t1 t2. t1 ∨ t2 ⇔ t2 ∨ t1
⊦ (∧) = λp q. (λf. f p q) = λf. f ⊤ ⊤
⊦ ∀f. surjective f ⇔ ∀y. ∃x. y = f x
⊦ ∀p. ¬(∀x. p x) ⇔ ∃x. ¬p x
⊦ ∀p. ¬(∃x. p x) ⇔ ∀x. ¬p x
⊦ (∃) = λp. ∀q. (∀x. p x ⇒ q) ⇒ q
⊦ ∀t1 t2. ¬(t1 ⇒ t2) ⇔ t1 ∧ ¬t2
⊦ ∀t1 t2. ¬t1 ⇒ ¬t2 ⇔ t2 ⇒ t1
⊦ ∀f g x. (f ∘ g) x = f (g x)
⊦ ∀t1 t2. ¬(t1 ∧ t2) ⇔ ¬t1 ∨ ¬t2
⊦ ∀t1 t2. ¬(t1 ∨ t2) ⇔ ¬t1 ∧ ¬t2
⊦ ∀f g. (∀x. f x = g x) ⇔ f = g
⊦ ∀p a. (∀x. x = a ⇒ p x) ⇔ p a
⊦ ∀p a. (∃x. a = x ∧ p x) ⇔ p a
⊦ (∨) = λp q. ∀r. (p ⇒ r) ⇒ (q ⇒ r) ⇒ r
⊦ ∀p. (∃x y. p x y) ⇔ ∃y x. p x y
⊦ ∀p q. (∀x. p ⇒ q x) ⇔ p ⇒ ∀x. q x
⊦ ∀p q. (∃x. p ∧ q x) ⇔ p ∧ ∃x. q x
⊦ ∀p q. p ∧ (∃x. q x) ⇔ ∃x. p ∧ q x
⊦ ∀p q. p ∨ (∃x. q x) ⇔ ∃x. p ∨ q x
⊦ ∀p q. (∃x. p x ∧ q) ⇔ (∃x. p x) ∧ q
⊦ ∀p q. (∃x. p x) ∧ q ⇔ ∃x. p x ∧ q
⊦ ∀p q. (∃x. p x) ⇒ q ⇔ ∀x. p x ⇒ q
⊦ ∀p q. (∃x. p x) ∨ q ⇔ ∃x. p x ∨ q
⊦ ∀x y z. x = y ∧ y = z ⇒ x = z
⊦ ∀t1 t2 t3. (t1 ∨ t2) ∨ t3 ⇔ t1 ∨ t2 ∨ t3
⊦ ∀f g h. f ∘ g ∘ h = f ∘ (g ∘ h)
⊦ ∀p. (∀x. ∃y. p x y) ⇔ ∃y. ∀x. p x (y x)
⊦ ∀f. injective f ⇔ ∀x1 x2. f x1 = f x2 ⇒ x1 = x2
⊦ (∃!) = λp. (∃) p ∧ ∀x y. p x ∧ p y ⇒ x = y
⊦ ∀p q. (∀x. p x ∧ q x) ⇔ (∀x. p x) ∧ ∀x. q x
⊦ ∀p q. (∃x. p x ∨ q x) ⇔ (∃x. p x) ∨ ∃x. q x
⊦ ∀p q. (∀x. p x ⇒ q x) ⇒ (∃x. p x) ⇒ ∃x. q x
⊦ ∀p q. (∀x. p x) ∧ (∀x. q x) ⇔ ∀x. p x ∧ q x
⊦ ∀p q. (∃x. p x) ∨ (∃x. q x) ⇔ ∃x. p x ∨ q x
⊦ ∀p1 p2 q1 q2. (p1 ⇒ p2) ∧ (q1 ⇒ q2) ⇒ p1 ∧ q1 ⇒ p2 ∧ q2
⊦ ∀p1 p2 q1 q2. (p1 ⇒ p2) ∧ (q1 ⇒ q2) ⇒ p1 ∨ q1 ⇒ p2 ∨ q2
⊦ ∀p1 p2 q1 q2. (p2 ⇒ p1) ∧ (q1 ⇒ q2) ⇒ (p1 ⇒ q1) ⇒ p2 ⇒ q2
⊦ ∀p. (∀x. ∃!y. p x y) ⇔ ∃f. ∀x y. p x y ⇔ f x = y
⊦ ∀p c x y. p (if c then x else y) ⇔ (c ⇒ p x) ∧ (¬c ⇒ p y)
⊦ ∀p. (∃!x. p x) ⇔ (∃x. p x) ∧ ∀x x'. p x ∧ p x' ⇒ x = x'