Package natural-add: Natural number addition

Information

name	natural-add
version	1.55
description	Natural number addition
author	Joe Leslie-Hurd <joe@gilith.com>
license	MIT
requires	bool natural-def natural-dest natural-numeral natural-order natural-thm
show	Data.Bool Number.Natural

Files

Package tarball natural-add-1.55.tgz
Theory source file natural-add.thy (included in the package tarball)

Defined Constants

Number
- Natural
  - +
  - -

Theorems

⊦ ∀n. 0 + n = n

⊦ ∀m. m + 0 = m

⊦ ∀m. m - 0 = m

⊦ ∀n. n - n = 0

⊦ ∀m n. m ≤ m + n

⊦ ∀m n. n ≤ m + n

⊦ ∀m. suc m = m + 1

⊦ ∀n. suc n - 1 = n

⊦ ∀m n. ¬(m + n < m)

⊦ ∀m n. ¬(n + m < m)

⊦ ∀m n. m + n = n + m

⊦ ∀m n. m + n - m = n

⊦ ∀m n. m + n - n = m

⊦ ∀m n. m + suc n = suc (m + n)

⊦ ∀m n. suc m + n = suc (m + n)

⊦ ∀m n. m < m + n ⇔ 0 < n

⊦ ∀m n. n < m + n ⇔ 0 < m

⊦ ∀m n. m + n = m ⇔ n = 0

⊦ ∀m n. m + n = n ⇔ m = 0

⊦ ∀m n. m + n ≤ m ⇔ n = 0

⊦ ∀m n. n + m ≤ m ⇔ n = 0

⊦ ∀m n. m ≤ n ⇔ ∃d. n = m + d

⊦ ∀n. ¬(n = 0) ⇒ pre n = n - 1

⊦ ∀m n. n ≤ m ⇒ n + (m - n) = m

⊦ ∀m n. n ≤ m ⇒ m - n + n = m

⊦ ∀m n. m < n ⇔ ∃d. n = m + suc d

⊦ ∀m n p. m + (n + p) = m + n + p

⊦ ∀m n p. m + n = m + p ⇔ n = p

⊦ ∀m n p. m + p = n + p ⇔ m = n

⊦ ∀m n p. m + n < m + p ⇔ n < p

⊦ ∀m n p. n + m < p + m ⇔ n < p

⊦ ∀m n p. m + n ≤ m + p ⇔ n ≤ p

⊦ ∀m n p. n + m ≤ p + m ⇔ n ≤ p

⊦ ∀m n. n < m ⇒ m - suc n = pre (m - n)

⊦ ∀m n. n < m ⇒ suc (m - suc n) = m - n

⊦ ∀m n. n ≤ m ⇒ suc (m - n) = suc m - n

⊦ ∀m n. n ≤ m ⇒ (m - n = 0 ⇔ m = n)

⊦ ∀m n. n ≤ m ⇒ pre (suc m - n) = m - n

⊦ ∀m n. n ≤ m ⇒ suc m - suc n = m - n

⊦ ∀m n. m + n = 0 ⇔ m = 0 ∧ n = 0

⊦ ∀m n p. n ≤ m ⇒ m + p - (n + p) = m - n

⊦ ∀m n p. p ≤ n ⇒ m + n - (m + p) = n - p

⊦ ∀m n p q. m < p ∧ n < q ⇒ m + n < p + q

⊦ ∀m n p q. m < p ∧ n ≤ q ⇒ m + n < p + q

⊦ ∀m n p q. m ≤ p ∧ n < q ⇒ m + n < p + q

⊦ ∀m n p q. m ≤ p ∧ n ≤ q ⇒ m + n ≤ p + q

⊦ ∀p q. (∃b. ∀i. p i ≤ q i + b) ⇔ ∃b n. ∀i. n ≤ i ⇒ p i ≤ q i + b

External Type Operators

→
bool
Number
- Natural
  - natural

External Constants

=
select
Data
- Bool
  - ∀
  - ∧
  - ⇒
  - ∃
  - ∃!
  - ∨
  - ¬
  - ⊥
  - ⊤
Number
- Natural
  - <
  - ≤
  - bit0
  - bit1
  - pre
  - suc
  - zero

Assumptions

⊦ ⊤

⊦ ¬⊥ ⇔ ⊤

⊦ ¬⊤ ⇔ ⊥

⊦ bit0 0 = 0

⊦ ∀t. t ⇒ t

⊦ ∀n. 0 ≤ n

⊦ ∀n. n ≤ n

⊦ ⊥ ⇔ ∀p. p

⊦ ∀t. t ∨ ¬t

⊦ ∀m. ¬(m < 0)

⊦ (¬) = λp. p ⇒ ⊥

⊦ (∃) = λp. p ((select) p)

⊦ ∀a. ∃x. x = a

⊦ ∀t. (∀x. t) ⇔ t

⊦ ∀t. (∃x. t) ⇔ t

⊦ ∀t. (λx. t x) = t

⊦ (∀) = λp. p = λx. ⊤

⊦ ∀t. ¬¬t ⇔ t

⊦ ∀t. (⊤ ⇔ t) ⇔ t

⊦ ∀t. ⊥ ∧ t ⇔ ⊥

⊦ ∀t. ⊤ ∧ t ⇔ t

⊦ ∀t. t ∧ ⊤ ⇔ t

⊦ ∀t. t ∧ t ⇔ t

⊦ ∀t. ⊥ ⇒ t ⇔ ⊤

⊦ ∀t. ⊤ ⇒ t ⇔ t

⊦ ∀t. t ⇒ ⊤ ⇔ ⊤

⊦ ∀t. ⊥ ∨ t ⇔ t

⊦ ∀t. ⊤ ∨ t ⇔ ⊤

⊦ ∀t. t ∨ ⊥ ⇔ t

⊦ ∀t. t ∨ ⊤ ⇔ ⊤

⊦ ∀n. ¬(suc n = 0)

⊦ ∀n. pre (suc n) = n

⊦ ∀t. (⊥ ⇔ t) ⇔ ¬t

⊦ ∀t. t ⇒ ⊥ ⇔ ¬t

⊦ ∀n. bit1 n = suc (bit0 n)

⊦ (⇒) = λp q. p ∧ q ⇔ p

⊦ ∀t. (t ⇔ ⊤) ∨ (t ⇔ ⊥)

⊦ ∀m. m ≤ 0 ⇔ m = 0

⊦ ∀n. bit0 (suc n) = suc (suc (bit0 n))

⊦ ∀x y. x = y ⇒ y = x

⊦ ∀t₁ t₂. t₁ ∧ t₂ ⇔ t₂ ∧ t₁

⊦ ∀t₁ t₂. t₁ ∨ t₂ ⇔ t₂ ∨ t₁

⊦ ∀m n. m < n ⇒ m ≤ n

⊦ ∀m n. ¬(m ≤ n) ⇔ n < m

⊦ ∀m n. m < suc n ⇔ m ≤ n

⊦ ∀m n. suc m ≤ n ⇔ m < n

⊦ (∧) = λp q. (λf. f p q) = λf. f ⊤ ⊤

⊦ ∀p. ¬(∀x. p x) ⇔ ∃x. ¬p x

⊦ (∃) = λp. ∀q. (∀x. p x ⇒ q) ⇒ q

⊦ ∀m n. suc m = suc n ⇔ m = n

⊦ ∀m n. suc m < suc n ⇔ m < n

⊦ (∨) = λp q. ∀r. (p ⇒ r) ⇒ (q ⇒ r) ⇒ r

⊦ ∀p q. (∃x. p ∧ q x) ⇔ p ∧ ∃x. q x

⊦ ∀p q. p ∨ (∃x. q x) ⇔ ∃x. p ∨ q x

⊦ ∀m n. m < suc n ⇔ m = n ∨ m < n

⊦ ∀p q. (∃x. p x) ⇒ q ⇔ ∀x. p x ⇒ q

⊦ ∀t₁ t₂ t₃. (t₁ ∨ t₂) ∨ t₃ ⇔ t₁ ∨ t₂ ∨ t₃

⊦ ∀m n p. m ≤ n ∧ n ≤ p ⇒ m ≤ p

⊦ ∀p. (∀x. ∃y. p x y) ⇔ ∃y. ∀x. p x (y x)

⊦ ∀m n. m ≤ suc n ⇔ m = suc n ∨ m ≤ n

⊦ ∀p. p 0 ∧ (∀n. p n ⇒ p (suc n)) ⇒ ∀n. p n

⊦ (∃!) = λp. (∃) p ∧ ∀x y. p x ∧ p y ⇒ x = y

⊦ ∀p q. (∀x. p x ∧ q x) ⇔ (∀x. p x) ∧ ∀x. q x

⊦ ∀p q. (∃x. p x) ∨ (∃x. q x) ⇔ ∃x. p x ∨ q x

⊦ ∀e f. ∃!fn. fn 0 = e ∧ ∀n. fn (suc n) = f (fn n) n