Package natural-add-order: natural-add-order

Information

name	natural-add-order
version	1.11
description	natural-add-order
author	Joe Hurd <joe@gilith.com>
license	HOLLight
provenance	HOL Light theory extracted on 2011-09-21
show	Data.Bool

Files

Package tarball natural-add-order-1.11.tgz
Theory file natural-add-order.thy (included in the package tarball)

Theorems

⊦ ∀m n. Number.Natural.≤ m (Number.Natural.+ m n)

⊦ ∀m n. Number.Natural.≤ n (Number.Natural.+ m n)

⊦ ∀m n. Number.Natural.< m (Number.Natural.+ m n) ⇔ Number.Natural.< 0 n

⊦ ∀m n. Number.Natural.< n (Number.Natural.+ m n) ⇔ Number.Natural.< 0 m

⊦ ∀m n. Number.Natural.≤ m n ⇔ ∃d. n = Number.Natural.+ m d

⊦ ∀m n.
Number.Natural.< m n ⇔
∃d. n = Number.Natural.+ m (Number.Natural.suc d)

⊦ ∀m n p.
Number.Natural.< (Number.Natural.+ m n) (Number.Natural.+ m p) ⇔
Number.Natural.< n p

⊦ ∀m n p.
Number.Natural.< (Number.Natural.+ n m) (Number.Natural.+ p m) ⇔
Number.Natural.< n p

⊦ ∀m n p.
Number.Natural.≤ (Number.Natural.+ m n) (Number.Natural.+ m p) ⇔
Number.Natural.≤ n p

⊦ ∀m n p.
Number.Natural.≤ (Number.Natural.+ m p) (Number.Natural.+ n p) ⇔
Number.Natural.≤ m n

⊦ ∀m n p q.
Number.Natural.< m p ∧ Number.Natural.< n q ⇒
Number.Natural.< (Number.Natural.+ m n) (Number.Natural.+ p q)

⊦ ∀m n p q.
Number.Natural.< m p ∧ Number.Natural.≤ n q ⇒
Number.Natural.< (Number.Natural.+ m n) (Number.Natural.+ p q)

⊦ ∀m n p q.
Number.Natural.≤ m p ∧ Number.Natural.< n q ⇒
Number.Natural.< (Number.Natural.+ m n) (Number.Natural.+ p q)

⊦ ∀m n p q.
Number.Natural.≤ m p ∧ Number.Natural.≤ n q ⇒
Number.Natural.≤ (Number.Natural.+ m n) (Number.Natural.+ p q)

⊦ ∀P Q.
    (∃B. ∀i. Number.Natural.≤ (P i) (Number.Natural.+ (Q i) B)) ⇔
    ∃B N.
      ∀i.
        Number.Natural.≤ N i ⇒
        Number.Natural.≤ (P i) (Number.Natural.+ (Q i) B)

Input Type Operators

→
bool
Number
- Natural
  - Number.Natural.natural

Input Constants

=
Data
- Bool
  - ∀
  - ∧
  - ⇒
  - ∃
  - ∨
  - ¬
  - F
  - T
Number
- Natural
  - Number.Natural.+
  - Number.Natural.<
  - Number.Natural.≤
  - Number.Natural.suc
  - Number.Natural.zero

Assumptions

⊦ T

⊦ ∀n. Number.Natural.≤ 0 n

⊦ ∀n. Number.Natural.≤ n n

⊦ F ⇔ ∀p. p

⊦ ∀t. t ∨ ¬t

⊦ (¬) = λp. p ⇒ F

⊦ ∀a. ∃x. x = a

⊦ ∀t. (∀x. t) ⇔ t

⊦ ∀t. (∃x. t) ⇔ t

⊦ (∀) = λp. p = λx. T

⊦ ∀x. x = x ⇔ T

⊦ ∀n. ¬(Number.Natural.suc n = 0)

⊦ (⇒) = λp q. p ∧ q ⇔ p

⊦ (¬T ⇔ F) ∧ (¬F ⇔ T)

⊦ ∀t1 t2. t1 ∧ t2 ⇔ t2 ∧ t1

⊦ ∀m n. Number.Natural.+ m n = Number.Natural.+ n m

⊦ ∀m n. Number.Natural.< m n ⇒ Number.Natural.≤ m n

⊦ ∀m n. ¬Number.Natural.≤ m n ⇔ Number.Natural.< n m

⊦ (∧) = λp q. (λf. f p q) = λf. f T T

⊦ (∃) = λP. ∀q. (∀x. P x ⇒ q) ⇒ q

⊦ ∀m n. Number.Natural.suc m = Number.Natural.suc n ⇔ m = n

⊦ ∀m n.
Number.Natural.< (Number.Natural.suc m) (Number.Natural.suc n) ⇔
Number.Natural.< m n

⊦ (∨) = λp q. ∀r. (p ⇒ r) ⇒ (q ⇒ r) ⇒ r

⊦ ∀P Q. (∃x. P ∧ Q x) ⇔ P ∧ ∃x. Q x

⊦ ∀P Q. (∃x. P x) ⇒ Q ⇔ ∀x. P x ⇒ Q

⊦ ∀m n p.
Number.Natural.+ m (Number.Natural.+ n p) =
Number.Natural.+ (Number.Natural.+ m n) p

⊦ ∀m n p. Number.Natural.+ m n = Number.Natural.+ m p ⇔ n = p

⊦ ∀m n p.
Number.Natural.≤ m n ∧ Number.Natural.≤ n p ⇒ Number.Natural.≤ m p

⊦ ∀m n. Number.Natural.+ m n = 0 ⇔ m = 0 ∧ n = 0

⊦ ∀P. P 0 ∧ (∀n. P n ⇒ P (Number.Natural.suc n)) ⇒ ∀n. P n

⊦ (∀m. Number.Natural.< m 0 ⇔ F) ∧
  ∀m n.
    Number.Natural.< m (Number.Natural.suc n) ⇔
    m = n ∨ Number.Natural.< m n

⊦ (∀m. Number.Natural.≤ m 0 ⇔ m = 0) ∧
  ∀m n.
    Number.Natural.≤ m (Number.Natural.suc n) ⇔
    m = Number.Natural.suc n ∨ Number.Natural.≤ m n

⊦ ∀t. ((T ⇔ t) ⇔ t) ∧ ((t ⇔ T) ⇔ t) ∧ ((F ⇔ t) ⇔ ¬t) ∧ ((t ⇔ F) ⇔ ¬t)

⊦ ∀t. (T ∧ t ⇔ t) ∧ (t ∧ T ⇔ t) ∧ (F ∧ t ⇔ F) ∧ (t ∧ F ⇔ F) ∧ (t ∧ t ⇔ t)

⊦ ∀t. (T ∨ t ⇔ T) ∧ (t ∨ T ⇔ T) ∧ (F ∨ t ⇔ t) ∧ (t ∨ F ⇔ t) ∧ (t ∨ t ⇔ t)

⊦ ∀t. (T ⇒ t ⇔ t) ∧ (t ⇒ T ⇔ T) ∧ (F ⇒ t ⇔ T) ∧ (t ⇒ t ⇔ T) ∧ (t ⇒ F ⇔ ¬t)

⊦ ∀m n p.
    Number.Natural.+ m n = Number.Natural.+ n m ∧
    Number.Natural.+ (Number.Natural.+ m n) p =
    Number.Natural.+ m (Number.Natural.+ n p) ∧
    Number.Natural.+ m (Number.Natural.+ n p) =
    Number.Natural.+ n (Number.Natural.+ m p)

⊦ (∀n. Number.Natural.+ 0 n = n) ∧ (∀m. Number.Natural.+ m 0 = m) ∧
  (∀m n.
     Number.Natural.+ (Number.Natural.suc m) n =
     Number.Natural.suc (Number.Natural.+ m n)) ∧
  ∀m n.
    Number.Natural.+ m (Number.Natural.suc n) =
    Number.Natural.suc (Number.Natural.+ m n)