Package natural-div-mod: Definitions and theorems about natural number division
Information
| name | natural-div-mod |
| version | 1.6 |
| description | Definitions and theorems about natural number division |
| author | Joe Hurd <joe@gilith.com> |
| license | MIT |
| show | Data.Bool Number.Natural |
Files
- Package tarball natural-div-mod-1.6.tgz
- Theory file natural-div-mod.thy (included in the package tarball)
Defined Constants
- Number
- Natural
- div
- mod
- Natural
Theorems
⊦ ∀n. n div 1 = n
⊦ ∀n. n mod 1 = 0
⊦ ∀m n. n * (m div n) ≤ m
⊦ ∀n. even n ⇔ n mod 2 = 0
⊦ ∀n. ¬(n = 0) ⇒ 0 div n = 0
⊦ ∀n. ¬(n = 0) ⇒ 0 mod n = 0
⊦ ∀m n. m < n ⇒ m div n = 0
⊦ ∀m n. m < n ⇒ m mod n = m
⊦ ∀n. odd n ⇔ n mod 2 = 1
⊦ ∀n. ¬(n = 0) ⇒ n div n = 1
⊦ ∀m n. ¬(n = 0) ⇒ m mod n < n
⊦ ∀m n. ¬(n = 0) ⇒ m div n ≤ m
⊦ ∀m n. ¬(n = 0) ⇒ m mod n ≤ m
⊦ ∀m n. ¬(m = 0) ⇒ m * n div m = n
⊦ ∀m n. ¬(m = 0) ⇒ m * n mod m = 0
⊦ ∀m n p. (m * n + p) mod n = p mod n
⊦ ∀m n. ¬(n = 0) ⇒ (m div n = 0 ⇔ m < n)
⊦ ∀m n. ¬(n = 0) ⇒ m mod n mod n = m mod n
⊦ ∀m n. ¬(n = 0) ⇒ m div n * n + m mod n = m
⊦ ∀a b n. ¬(a = 0) ⇒ (n ≤ b div a ⇔ a * n ≤ b)
⊦ ∀m n p. ¬(p = 0) ⇒ m * (n div p) ≤ m * n div p
⊦ ∀m n p. ¬(p = 0) ∧ m ≤ n ⇒ m div p ≤ n div p
⊦ ∀m n p. ¬(p = 0) ∧ p ≤ m ⇒ n div m ≤ n div p
⊦ ∀a b n. ¬(a = 0) ∧ b ≤ a * n ⇒ b div a ≤ n
⊦ ∀m n. ¬(n = 0) ⇒ (m mod n = 0 ⇔ ∃q. m = q * n)
⊦ ∀m n p q. m = n + q * p ⇒ m mod p = n mod p
⊦ ∀m n p. ¬(n = 0) ⇒ m * (p mod n) mod n = m * p mod n
⊦ ∀m n p. ¬(n = 0) ⇒ m mod n * p mod n = m * p mod n
⊦ ∀m n p. ¬(n = 0) ⇒ exp (m mod n) p mod n = exp m p mod n
⊦ ∀m n p. ¬(m * p = 0) ⇒ m * n div (m * p) = n div p
⊦ ∀m n p. ¬(n * p = 0) ⇒ m div n div p = m div (n * p)
⊦ ∀m n p. ¬(n * p = 0) ⇒ m mod (n * p) mod n = m mod n
⊦ ∀m n p. ¬(p = 0) ∧ m + p ≤ n ⇒ m div p < n div p
⊦ ∀m n. (∃q. m = n * q) ⇔ if n = 0 then m = 0 else m mod n = 0
⊦ ∀m n q r. m = q * n + r ∧ r < n ⇒ m div n = q
⊦ ∀m n q r. m = q * n + r ∧ r < n ⇒ m mod n = r
⊦ ∀a b n. ¬(a = 0) ⇒ (b div a ≤ n ⇔ b < a * (n + 1))
⊦ ∀m n p. ¬(n = 0) ⇒ m mod n * (p mod n) mod n = m * p mod n
⊦ ∀a b n. ¬(n = 0) ⇒ (a mod n + b mod n) mod n = (a + b) mod n
⊦ ∀m n p. ¬(m * p = 0) ⇒ m * n mod (m * p) = m * (n mod p)
⊦ ∀m n p. ¬(n * p = 0) ⇒ m div n mod p = m mod (n * p) div n
⊦ ∀m n q r. m = q * n + r ∧ r < n ⇒ m div n = q ∧ m mod n = r
⊦ ∀a b c d. ¬(b = 0) ∧ b * c < (a + 1) * d ⇒ c div d ≤ a div b
⊦ ∀a b c d. b * c < (a + 1) * d ∧ a * d < (c + 1) * b ⇒ a div b = c div d
⊦ ∀a b n.
¬(n = 0) ⇒
((a + b) mod n = a mod n + b mod n ⇔ (a + b) div n = a div n + b div n)
Input Type Operators
- →
- bool
- Number
- Natural
- natural
- Natural
Input Constants
- =
- select
- Data
- Bool
- ∀
- ∧
- ⇒
- ∃
- ∨
- ¬
- cond
- F
- T
- Bool
- Number
- Natural
- *
- +
- <
- ≤
- bit0
- bit1
- even
- exp
- odd
- suc
- zero
- Natural
Assumptions
⊦ T
⊦ ∀n. 0 ≤ n
⊦ ∀n. n ≤ n
⊦ F ⇔ ∀p. p
⊦ 1 = suc 0
⊦ ∀t. t ∨ ¬t
⊦ ∀n. 0 < suc n
⊦ (¬) = λp. p ⇒ F
⊦ (∃) = λP. P ((select) P)
⊦ ∀a. ∃x. x = a
⊦ ∀t. (∀x. t) ⇔ t
⊦ ∀t. (∃x. t) ⇔ t
⊦ ∀t. (λx. t x) = t
⊦ (∀) = λp. p = λx. T
⊦ ∀x. x = x ⇔ T
⊦ ∀n. ¬(suc n = 0)
⊦ 2 = suc 1
⊦ ∀n. ¬even n ⇔ odd n
⊦ ∀m n. m ≤ m + n
⊦ (⇒) = λp q. p ∧ q ⇔ p
⊦ ∀t. (t ⇔ T) ∨ (t ⇔ F)
⊦ ∀m. suc m = m + 1
⊦ (¬T ⇔ F) ∧ (¬F ⇔ T)
⊦ ∀n. 0 < n ⇔ ¬(n = 0)
⊦ ∀x y. x = y ⇔ y = x
⊦ ∀m n. m * n = n * m
⊦ ∀m n. m + n = n + m
⊦ ∀m n. m ≤ n ∨ n ≤ m
⊦ ∀m n. ¬(m < n) ⇔ n ≤ m
⊦ ∀m n. ¬(m ≤ n) ⇔ n < m
⊦ ∀m n. m < suc n ⇔ m ≤ n
⊦ ∀m n. suc m ≤ n ⇔ m < n
⊦ (∧) = λp q. (λf. f p q) = λf. f T T
⊦ ∀P. ¬(∀x. P x) ⇔ ∃x. ¬P x
⊦ ∀P. ¬(∃x. P x) ⇔ ∀x. ¬P x
⊦ (∃) = λP. ∀q. (∀x. P x ⇒ q) ⇒ q
⊦ ∀t1 t2. ¬(t1 ⇒ t2) ⇔ t1 ∧ ¬t2
⊦ ∀m n. m < m + n ⇔ 0 < n
⊦ ∀m n. n < m + n ⇔ 0 < m
⊦ ∀n. even n ⇔ ∃m. n = 2 * m
⊦ ∀m n. m ≤ n ⇔ ∃d. n = m + d
⊦ (∨) = λp q. ∀r. (p ⇒ r) ⇒ (q ⇒ r) ⇒ r
⊦ ∀m n. m ≤ n ∧ n ≤ m ⇔ m = n
⊦ ∀P Q. (∃x. P ∧ Q x) ⇔ P ∧ ∃x. Q x
⊦ ∀P Q. P ∧ (∃x. Q x) ⇔ ∃x. P ∧ Q x
⊦ ∀P Q. (∀x. P x ∨ Q) ⇔ (∀x. P x) ∨ Q
⊦ ∀P Q. (∃x. P x ∧ Q) ⇔ (∃x. P x) ∧ Q
⊦ ∀P Q. (∃x. P x) ⇒ Q ⇔ ∀x. P x ⇒ Q
⊦ ∀P Q. (∀x. P x) ∨ Q ⇔ ∀x. P x ∨ Q
⊦ ∀x y z. x = y ∧ y = z ⇒ x = z
⊦ ∀t1 t2 t3. t1 ∨ t2 ∨ t3 ⇔ (t1 ∨ t2) ∨ t3
⊦ ∀m n p. m * (n * p) = m * n * p
⊦ ∀m n p. m + (n + p) = m + n + p
⊦ ∀m n p. m + n = m + p ⇔ n = p
⊦ ∀m n p. m + p = n + p ⇔ m = n
⊦ ∀m n p. m + n < m + p ⇔ n < p
⊦ ∀m n p. m + p ≤ n + p ⇔ m ≤ n
⊦ ∀m n p. m ≤ n ∧ n < p ⇒ m < p
⊦ ∀m n p. m ≤ n ∧ n ≤ p ⇒ m ≤ p
⊦ ∀P. (∀x. ∃y. P x y) ⇔ ∃y. ∀x. P x (y x)
⊦ ∀t1 t2. (if T then t1 else t2) = t1 ∧ (if F then t1 else t2) = t2
⊦ ∀m n. m * n = 0 ⇔ m = 0 ∨ n = 0
⊦ ∀P. P 0 ∧ (∀n. P n ⇒ P (suc n)) ⇒ ∀n. P n
⊦ (∀t. ¬¬t ⇔ t) ∧ (¬T ⇔ F) ∧ (¬F ⇔ T)
⊦ ∀m n p. m * (n + p) = m * n + m * p
⊦ ∀m n p. (m + n) * p = m * p + n * p
⊦ ∀P Q. (∀x. P x ∧ Q x) ⇔ (∀x. P x) ∧ ∀x. Q x
⊦ ∀P Q. (∀x. P x) ∧ (∀x. Q x) ⇔ ∀x. P x ∧ Q x
⊦ ∀P. (∃n. P n) ⇔ ∃n. P n ∧ ∀m. m < n ⇒ ¬P m
⊦ ∀m n p. m * n = m * p ⇔ m = 0 ∨ n = p
⊦ ∀m n p. m * p = n * p ⇔ m = n ∨ p = 0
⊦ ∀m n p. m * n ≤ m * p ⇔ m = 0 ∨ n ≤ p
⊦ ∀m n p. m * p ≤ n * p ⇔ m ≤ n ∨ p = 0
⊦ ∀m n p. m * n < m * p ⇔ ¬(m = 0) ∧ n < p
⊦ ∀m n p. m * p < n * p ⇔ m < n ∧ ¬(p = 0)
⊦ ∀A B C D. (B ⇒ A) ∧ (C ⇒ D) ⇒ (A ⇒ C) ⇒ B ⇒ D
⊦ ∀m n p q. m ≤ p ∧ n ≤ q ⇒ m + n ≤ p + q
⊦ (∀m. exp m 0 = 1) ∧ ∀m n. exp m (suc n) = m * exp m n
⊦ ∀P c x y. P (if c then x else y) ⇔ (c ⇒ P x) ∧ (¬c ⇒ P y)
⊦ (∀m. m < 0 ⇔ F) ∧ ∀m n. m < suc n ⇔ m = n ∨ m < n
⊦ ∀t1 t2. (¬(t1 ∧ t2) ⇔ ¬t1 ∨ ¬t2) ∧ (¬(t1 ∨ t2) ⇔ ¬t1 ∧ ¬t2)
⊦ (∀m. m ≤ 0 ⇔ m = 0) ∧ ∀m n. m ≤ suc n ⇔ m = suc n ∨ m ≤ n
⊦ ∀t. ((T ⇔ t) ⇔ t) ∧ ((t ⇔ T) ⇔ t) ∧ ((F ⇔ t) ⇔ ¬t) ∧ ((t ⇔ F) ⇔ ¬t)
⊦ ∀t. (T ∧ t ⇔ t) ∧ (t ∧ T ⇔ t) ∧ (F ∧ t ⇔ F) ∧ (t ∧ F ⇔ F) ∧ (t ∧ t ⇔ t)
⊦ ∀t. (T ∨ t ⇔ T) ∧ (t ∨ T ⇔ T) ∧ (F ∨ t ⇔ t) ∧ (t ∨ F ⇔ t) ∧ (t ∨ t ⇔ t)
⊦ ∀t. (T ⇒ t ⇔ t) ∧ (t ⇒ T ⇔ T) ∧ (F ⇒ t ⇔ T) ∧ (t ⇒ t ⇔ T) ∧ (t ⇒ F ⇔ ¬t)
⊦ ∀m n p.
m * n = n * m ∧ m * n * p = m * (n * p) ∧ m * (n * p) = n * (m * p)
⊦ ∀m n p.
m + n = n + m ∧ m + n + p = m + (n + p) ∧ m + (n + p) = n + (m + p)
⊦ (∀n. 0 + n = n) ∧ (∀m. m + 0 = m) ∧ (∀m n. suc m + n = suc (m + n)) ∧
∀m n. m + suc n = suc (m + n)
⊦ ∀p q r.
(p ∨ q ⇔ q ∨ p) ∧ ((p ∨ q) ∨ r ⇔ p ∨ q ∨ r) ∧ (p ∨ q ∨ r ⇔ q ∨ p ∨ r) ∧
(p ∨ p ⇔ p) ∧ (p ∨ p ∨ q ⇔ p ∨ q)
⊦ (∀n. 0 * n = 0) ∧ (∀m. m * 0 = 0) ∧ (∀n. 1 * n = n) ∧ (∀m. m * 1 = m) ∧
(∀m n. suc m * n = m * n + n) ∧ ∀m n. m * suc n = m + m * n