Package natural-div-mod-thm: natural-div-mod-thm

Information

name	natural-div-mod-thm
version	1.4
description	natural-div-mod-thm
author	Joe Hurd <joe@gilith.com>
license	HOLLight
provenance	HOL Light theory extracted on 2011-07-25
show	Data.Bool

Files

Package tarball natural-div-mod-thm-1.4.tgz
Theory file natural-div-mod-thm.thy (included in the package tarball)

Theorems

⊦ ∀n. Number.Natural.div n 1 = n

⊦ ∀n. Number.Natural.mod n 1 = 0

⊦ ∀m n. Number.Natural.≤ (Number.Natural.* n (Number.Natural.div m n)) m

⊦ ∀n. Number.Natural.even n ⇔ Number.Natural.mod n 2 = 0

⊦ ∀n. ¬(n = 0) ⇒ Number.Natural.div 0 n = 0

⊦ ∀n. ¬(n = 0) ⇒ Number.Natural.mod 0 n = 0

⊦ ∀m n. Number.Natural.< m n ⇒ Number.Natural.div m n = 0

⊦ ∀m n. Number.Natural.< m n ⇒ Number.Natural.mod m n = m

⊦ ∀n. Number.Natural.odd n ⇔ Number.Natural.mod n 2 = 1

⊦ ∀n. ¬(n = 0) ⇒ Number.Natural.div n n = 1

⊦ ∀m n. ¬(n = 0) ⇒ Number.Natural.≤ (Number.Natural.div m n) m

⊦ ∀m n. ¬(n = 0) ⇒ Number.Natural.≤ (Number.Natural.mod m n) m

⊦ ∀m n. ¬(m = 0) ⇒ Number.Natural.div (Number.Natural.* m n) m = n

⊦ ∀m n. ¬(m = 0) ⇒ Number.Natural.mod (Number.Natural.* m n) m = 0

⊦ ∀m n p.
Number.Natural.mod (Number.Natural.+ (Number.Natural.* m n) p) n =
Number.Natural.mod p n

⊦ ∀m n. ¬(n = 0) ⇒ (Number.Natural.div m n = 0 ⇔ Number.Natural.< m n)

⊦ ∀m n.
¬(n = 0) ⇒
Number.Natural.mod (Number.Natural.mod m n) n = Number.Natural.mod m n

⊦ ∀a b n.
    ¬(a = 0) ⇒
    (Number.Natural.≤ n (Number.Natural.div b a) ⇔
     Number.Natural.≤ (Number.Natural.* a n) b)

⊦ ∀m n p.
    ¬(p = 0) ⇒
    Number.Natural.≤ (Number.Natural.* m (Number.Natural.div n p))
      (Number.Natural.div (Number.Natural.* m n) p)

⊦ ∀m n p.
¬(p = 0) ∧ Number.Natural.≤ m n ⇒
Number.Natural.≤ (Number.Natural.div m p) (Number.Natural.div n p)

⊦ ∀m n p.
¬(p = 0) ∧ Number.Natural.≤ p m ⇒
Number.Natural.≤ (Number.Natural.div n m) (Number.Natural.div n p)

⊦ ∀a b n.
¬(a = 0) ∧ Number.Natural.≤ b (Number.Natural.* a n) ⇒
Number.Natural.≤ (Number.Natural.div b a) n

⊦ ∀m n.
¬(n = 0) ⇒ (Number.Natural.mod m n = 0 ⇔ ∃q. m = Number.Natural.* q n)

⊦ ∀m n p q.
m = Number.Natural.+ n (Number.Natural.* q p) ⇒
Number.Natural.mod m p = Number.Natural.mod n p

⊦ ∀m n p.
    ¬(n = 0) ⇒
    Number.Natural.mod (Number.Natural.* m (Number.Natural.mod p n)) n =
    Number.Natural.mod (Number.Natural.* m p) n

⊦ ∀m n p.
    ¬(n = 0) ⇒
    Number.Natural.mod (Number.Natural.* (Number.Natural.mod m n) p) n =
    Number.Natural.mod (Number.Natural.* m p) n

⊦ ∀m n p.
    ¬(n = 0) ⇒
    Number.Natural.mod (Number.Natural.exp (Number.Natural.mod m n) p) n =
    Number.Natural.mod (Number.Natural.exp m p) n

⊦ ∀m n p.
    ¬(Number.Natural.* m p = 0) ⇒
    Number.Natural.div (Number.Natural.* m n) (Number.Natural.* m p) =
    Number.Natural.div n p

⊦ ∀m n p.
    ¬(Number.Natural.* n p = 0) ⇒
    Number.Natural.div (Number.Natural.div m n) p =
    Number.Natural.div m (Number.Natural.* n p)

⊦ ∀m n p.
    ¬(Number.Natural.* n p = 0) ⇒
    Number.Natural.mod (Number.Natural.mod m (Number.Natural.* n p)) n =
    Number.Natural.mod m n

⊦ ∀m n p.
¬(p = 0) ∧ Number.Natural.≤ (Number.Natural.+ m p) n ⇒
Number.Natural.< (Number.Natural.div m p) (Number.Natural.div n p)

⊦ ∀m n.
(∃q. m = Number.Natural.* n q) ⇔
if n = 0 then m = 0 else Number.Natural.mod m n = 0

⊦ ∀m n q r.
m = Number.Natural.+ (Number.Natural.* q n) r ∧ Number.Natural.< r n ⇒
Number.Natural.div m n = q

⊦ ∀m n q r.
m = Number.Natural.+ (Number.Natural.* q n) r ∧ Number.Natural.< r n ⇒
Number.Natural.mod m n = r

⊦ ∀a b n.
    ¬(a = 0) ⇒
    (Number.Natural.≤ (Number.Natural.div b a) n ⇔
     Number.Natural.< b (Number.Natural.* a (Number.Natural.+ n 1)))

⊦ ∀m n p.
    ¬(n = 0) ⇒
    Number.Natural.mod
      (Number.Natural.* (Number.Natural.mod m n) (Number.Natural.mod p n))
      n = Number.Natural.mod (Number.Natural.* m p) n

⊦ ∀a b n.
    ¬(n = 0) ⇒
    Number.Natural.mod
      (Number.Natural.+ (Number.Natural.mod a n) (Number.Natural.mod b n))
      n = Number.Natural.mod (Number.Natural.+ a b) n

⊦ ∀m n p.
    ¬(Number.Natural.* m p = 0) ⇒
    Number.Natural.mod (Number.Natural.* m n) (Number.Natural.* m p) =
    Number.Natural.* m (Number.Natural.mod n p)

⊦ ∀m n p.
    ¬(Number.Natural.* n p = 0) ⇒
    Number.Natural.mod (Number.Natural.div m n) p =
    Number.Natural.div (Number.Natural.mod m (Number.Natural.* n p)) n

⊦ ∀m n q r.
m = Number.Natural.+ (Number.Natural.* q n) r ∧ Number.Natural.< r n ⇒
Number.Natural.div m n = q ∧ Number.Natural.mod m n = r

⊦ ∀a b c d.
    ¬(b = 0) ∧
    Number.Natural.< (Number.Natural.* b c)
      (Number.Natural.* (Number.Natural.+ a 1) d) ⇒
    Number.Natural.≤ (Number.Natural.div c d) (Number.Natural.div a b)

⊦ ∀a b c d.
    Number.Natural.< (Number.Natural.* b c)
      (Number.Natural.* (Number.Natural.+ a 1) d) ∧
    Number.Natural.< (Number.Natural.* a d)
      (Number.Natural.* (Number.Natural.+ c 1) b) ⇒
    Number.Natural.div a b = Number.Natural.div c d

⊦ ∀a b n.
    ¬(n = 0) ⇒
    (Number.Natural.mod (Number.Natural.+ a b) n =
     Number.Natural.+ (Number.Natural.mod a n) (Number.Natural.mod b n) ⇔
     Number.Natural.div (Number.Natural.+ a b) n =
     Number.Natural.+ (Number.Natural.div a n) (Number.Natural.div b n))

Input Type Operators

→
bool
Number
- Natural
  - Number.Natural.natural

Input Constants

=
Data
- Bool
  - ∀
  - ∧
  - ⇒
  - ∃
  - ∨
  - ~
  - cond
  - F
  - T
Number
- Natural
  - Number.Natural.*
  - Number.Natural.+
  - Number.Natural.<
  - Number.Natural.≤
  - Number.Natural.bit0
  - Number.Natural.bit1
  - Number.Natural.div
  - Number.Natural.even
  - Number.Natural.exp
  - Number.Natural.mod
  - Number.Natural.odd
  - Number.Natural.suc
  - Number.Natural.zero

Assumptions

⊦ T

⊦ ∀n. Number.Natural.≤ 0 n

⊦ ∀n. Number.Natural.≤ n n

⊦ F ⇔ ∀p. p

⊦ 1 = Number.Natural.suc 0

⊦ ∀t. t ∨ ¬t

⊦ ∀n. Number.Natural.< 0 (Number.Natural.suc n)

⊦ (~) = λp. p ⇒ F

⊦ ∀t. (∀x. t) ⇔ t

⊦ ∀t. (∃x. t) ⇔ t

⊦ ∀t. (λx. t x) = t

⊦ (∀) = λp. p = λx. T

⊦ ∀x. x = x ⇔ T

⊦ ∀n. ¬(Number.Natural.suc n = 0)

⊦ 2 = Number.Natural.suc 1

⊦ ∀n. ¬Number.Natural.even n ⇔ Number.Natural.odd n

⊦ ∀m n. Number.Natural.≤ m (Number.Natural.+ m n)

⊦ (⇒) = λp q. p ∧ q ⇔ p

⊦ ∀t. (t ⇔ T) ∨ (t ⇔ F)

⊦ ∀m. Number.Natural.suc m = Number.Natural.+ m 1

⊦ (¬T ⇔ F) ∧ (¬F ⇔ T)

⊦ ∀n. Number.Natural.< 0 n ⇔ ¬(n = 0)

⊦ ∀x y. x = y ⇔ y = x

⊦ ∀m n. Number.Natural.* m n = Number.Natural.* n m

⊦ ∀m n. Number.Natural.+ m n = Number.Natural.+ n m

⊦ ∀m n. Number.Natural.≤ m n ∨ Number.Natural.≤ n m

⊦ ∀m n. ¬Number.Natural.< m n ⇔ Number.Natural.≤ n m

⊦ ∀m n. ¬Number.Natural.≤ m n ⇔ Number.Natural.< n m

⊦ ∀m n. Number.Natural.< m (Number.Natural.suc n) ⇔ Number.Natural.≤ m n

⊦ ∀m n. Number.Natural.≤ (Number.Natural.suc m) n ⇔ Number.Natural.< m n

⊦ (∧) = λp q. (λf. f p q) = λf. f T T

⊦ ∀P. ¬(∀x. P x) ⇔ ∃x. ¬P x

⊦ ∀P. ¬(∃x. P x) ⇔ ∀x. ¬P x

⊦ (∃) = λP. ∀q. (∀x. P x ⇒ q) ⇒ q

⊦ ∀m n. Number.Natural.< m (Number.Natural.+ m n) ⇔ Number.Natural.< 0 n

⊦ ∀m n. ¬(n = 0) ⇒ Number.Natural.< (Number.Natural.mod m n) n

⊦ ∀n. Number.Natural.even n ⇔ ∃m. n = Number.Natural.* 2 m

⊦ ∀m n. Number.Natural.≤ m n ⇔ ∃d. n = Number.Natural.+ m d

⊦ (∨) = λp q. ∀r. (p ⇒ r) ⇒ (q ⇒ r) ⇒ r

⊦ ∀m n. Number.Natural.≤ m n ∧ Number.Natural.≤ n m ⇔ m = n

⊦ ∀P Q. (∀x. P x ∨ Q) ⇔ (∀x. P x) ∨ Q

⊦ ∀P Q. (∃x. P x ∧ Q) ⇔ (∃x. P x) ∧ Q

⊦ ∀P Q. (∀x. P x) ∨ Q ⇔ ∀x. P x ∨ Q

⊦ ∀x y z. x = y ∧ y = z ⇒ x = z

⊦ ∀t1 t2 t3. t1 ∨ t2 ∨ t3 ⇔ (t1 ∨ t2) ∨ t3

⊦ ∀m n p.
Number.Natural.* m (Number.Natural.* n p) =
Number.Natural.* (Number.Natural.* m n) p

⊦ ∀m n p.
Number.Natural.+ m (Number.Natural.+ n p) =
Number.Natural.+ (Number.Natural.+ m n) p

⊦ ∀m n p. Number.Natural.+ m n = Number.Natural.+ m p ⇔ n = p

⊦ ∀m n p. Number.Natural.+ m p = Number.Natural.+ n p ⇔ m = n

⊦ ∀m n p.
Number.Natural.< (Number.Natural.+ m n) (Number.Natural.+ m p) ⇔
Number.Natural.< n p

⊦ ∀m n p.
Number.Natural.≤ (Number.Natural.+ m p) (Number.Natural.+ n p) ⇔
Number.Natural.≤ m n

⊦ ∀m n p.
Number.Natural.≤ m n ∧ Number.Natural.< n p ⇒ Number.Natural.< m p

⊦ ∀m n p.
Number.Natural.≤ m n ∧ Number.Natural.≤ n p ⇒ Number.Natural.≤ m p

⊦ ∀m n. Number.Natural.* m n = 0 ⇔ m = 0 ∨ n = 0

⊦ ∀P. P 0 ∧ (∀n. P n ⇒ P (Number.Natural.suc n)) ⇒ ∀n. P n

⊦ (∀t. ¬¬t ⇔ t) ∧ (¬T ⇔ F) ∧ (¬F ⇔ T)

⊦ ∀m n p.
Number.Natural.* m (Number.Natural.+ n p) =
Number.Natural.+ (Number.Natural.* m n) (Number.Natural.* m p)

⊦ ∀m n p.
Number.Natural.* (Number.Natural.+ m n) p =
Number.Natural.+ (Number.Natural.* m p) (Number.Natural.* n p)

⊦ ∀P Q. (∀x. P x ∧ Q x) ⇔ (∀x. P x) ∧ ∀x. Q x

⊦ ∀P Q. (∀x. P x) ∧ (∀x. Q x) ⇔ ∀x. P x ∧ Q x

⊦ ∀m n.
    ¬(n = 0) ⇒
    Number.Natural.+ (Number.Natural.* (Number.Natural.div m n) n)
      (Number.Natural.mod m n) = m

⊦ ∀m n p. Number.Natural.* m n = Number.Natural.* m p ⇔ m = 0 ∨ n = p

⊦ ∀m n p. Number.Natural.* m p = Number.Natural.* n p ⇔ m = n ∨ p = 0

⊦ ∀m n p.
Number.Natural.≤ (Number.Natural.* m n) (Number.Natural.* m p) ⇔
m = 0 ∨ Number.Natural.≤ n p

⊦ ∀m n p.
Number.Natural.≤ (Number.Natural.* m p) (Number.Natural.* n p) ⇔
Number.Natural.≤ m n ∨ p = 0

⊦ ∀m n p.
Number.Natural.< (Number.Natural.* m n) (Number.Natural.* m p) ⇔
¬(m = 0) ∧ Number.Natural.< n p

⊦ ∀m n p.
Number.Natural.< (Number.Natural.* m p) (Number.Natural.* n p) ⇔
Number.Natural.< m n ∧ ¬(p = 0)

⊦ ∀A B C D. (B ⇒ A) ∧ (C ⇒ D) ⇒ (A ⇒ C) ⇒ B ⇒ D

⊦ ∀m n p q.
Number.Natural.≤ m p ∧ Number.Natural.≤ n q ⇒
Number.Natural.≤ (Number.Natural.+ m n) (Number.Natural.+ p q)

⊦ (∀m. Number.Natural.exp m 0 = 1) ∧
  ∀m n.
    Number.Natural.exp m (Number.Natural.suc n) =
    Number.Natural.* m (Number.Natural.exp m n)

⊦ ∀P c x y. P (if c then x else y) ⇔ (c ⇒ P x) ∧ (¬c ⇒ P y)

⊦ (∀m. Number.Natural.< m 0 ⇔ F) ∧
  ∀m n.
    Number.Natural.< m (Number.Natural.suc n) ⇔
    m = n ∨ Number.Natural.< m n

⊦ ∀t1 t2. (¬(t1 ∧ t2) ⇔ ¬t1 ∨ ¬t2) ∧ (¬(t1 ∨ t2) ⇔ ¬t1 ∧ ¬t2)

⊦ (∀m. Number.Natural.≤ m 0 ⇔ m = 0) ∧
  ∀m n.
    Number.Natural.≤ m (Number.Natural.suc n) ⇔
    m = Number.Natural.suc n ∨ Number.Natural.≤ m n

⊦ ∀t. ((T ⇔ t) ⇔ t) ∧ ((t ⇔ T) ⇔ t) ∧ ((F ⇔ t) ⇔ ¬t) ∧ ((t ⇔ F) ⇔ ¬t)

⊦ ∀t. (T ∧ t ⇔ t) ∧ (t ∧ T ⇔ t) ∧ (F ∧ t ⇔ F) ∧ (t ∧ F ⇔ F) ∧ (t ∧ t ⇔ t)

⊦ ∀t. (T ∨ t ⇔ T) ∧ (t ∨ T ⇔ T) ∧ (F ∨ t ⇔ t) ∧ (t ∨ F ⇔ t) ∧ (t ∨ t ⇔ t)

⊦ ∀t. (T ⇒ t ⇔ t) ∧ (t ⇒ T ⇔ T) ∧ (F ⇒ t ⇔ T) ∧ (t ⇒ t ⇔ T) ∧ (t ⇒ F ⇔ ¬t)

⊦ ∀m n p.
    Number.Natural.* m n = Number.Natural.* n m ∧
    Number.Natural.* (Number.Natural.* m n) p =
    Number.Natural.* m (Number.Natural.* n p) ∧
    Number.Natural.* m (Number.Natural.* n p) =
    Number.Natural.* n (Number.Natural.* m p)

⊦ ∀m n p.
    Number.Natural.+ m n = Number.Natural.+ n m ∧
    Number.Natural.+ (Number.Natural.+ m n) p =
    Number.Natural.+ m (Number.Natural.+ n p) ∧
    Number.Natural.+ m (Number.Natural.+ n p) =
    Number.Natural.+ n (Number.Natural.+ m p)

⊦ (∀n. Number.Natural.+ 0 n = n) ∧ (∀m. Number.Natural.+ m 0 = m) ∧
  (∀m n.
     Number.Natural.+ (Number.Natural.suc m) n =
     Number.Natural.suc (Number.Natural.+ m n)) ∧
  ∀m n.
    Number.Natural.+ m (Number.Natural.suc n) =
    Number.Natural.suc (Number.Natural.+ m n)

⊦ ∀p q r.
(p ∨ q ⇔ q ∨ p) ∧ ((p ∨ q) ∨ r ⇔ p ∨ q ∨ r) ∧ (p ∨ q ∨ r ⇔ q ∨ p ∨ r) ∧
(p ∨ p ⇔ p) ∧ (p ∨ p ∨ q ⇔ p ∨ q)

⊦ (∀n. Number.Natural.* 0 n = 0) ∧ (∀m. Number.Natural.* m 0 = 0) ∧
  (∀n. Number.Natural.* 1 n = n) ∧ (∀m. Number.Natural.* m 1 = m) ∧
  (∀m n.
     Number.Natural.* (Number.Natural.suc m) n =
     Number.Natural.+ (Number.Natural.* m n) n) ∧
  ∀m n.
    Number.Natural.* m (Number.Natural.suc n) =
    Number.Natural.+ m (Number.Natural.* m n)