Package natural-divides: The divides relation on natural numbers

Information

name	natural-divides
version	1.30
description	The divides relation on natural numbers
author	Joe Hurd <joe@gilith.com>
license	MIT
requires	bool natural
show	Data.Bool Number.Natural

Files

Package tarball natural-divides-1.30.tgz
Theory file natural-divides.thy (included in the package tarball)

Defined Constant

Number
- Natural
  - divides

Theorems

⊦ ∀a. divides a 0

⊦ ∀a. divides a a

⊦ ∀a. divides 1 a

⊦ ∀a. divides 0 a ⇔ a = 0

⊦ ∀a. divides 2 a ⇔ even a

⊦ ∀a b. a = b ⇒ divides a b

⊦ ∀a. divides a 1 ⇔ a = 1

⊦ ∀a b c. divides a b ⇒ divides a (b * c)

⊦ ∀a b c. divides a c ⇒ divides a (b * c)

⊦ ∀a b c. divides (a * b) c ⇒ divides a c

⊦ ∀a b c. divides (a * b) c ⇒ divides b c

⊦ ∀a b. divides a b ⇔ ∃c. c * a = b

⊦ ∀a b. divides a b ∧ divides b a ⇒ a = b

⊦ ∀a b. ¬(b = 0) ∧ divides a b ⇒ a ≤ b

⊦ ∀a b c. divides a b ∧ divides b c ⇒ divides a c

⊦ ∀a b. (∀c. divides b c ⇒ divides a c) ⇔ divides a b

⊦ ∀a b. (∀c. divides c a ⇒ divides c b) ⇔ divides a b

⊦ ∀a b. (∀c. divides b c ⇒ divides a c) ⇒ divides a b

⊦ ∀a b. (∀c. divides c a ⇒ divides c b) ⇒ divides a b

⊦ ∀a b. ¬(b = 0) ∧ b ≤ a ⇒ divides b (factorial a)

⊦ ∀a b. ¬(a = 0) ⇒ (divides a b ⇔ b mod a = 0)

⊦ ∀a b c. divides a b ∧ divides a c ⇒ divides a (b + c)

⊦ ∀a. divides a 2 ⇔ a = 1 ∨ a = 2

⊦ ∀a. divides a 3 ⇔ a = 1 ∨ a = 3

⊦ ∀a b. divides a b ⇔ if a = 0 then b = 0 else b mod a = 0

⊦ ∀a b. ¬(a = 0) ⇒ (divides a b ⇔ (b div a) * a = b)

⊦ ∀a b c. divides (a * b) (a * c) ⇔ a = 0 ∨ divides b c

⊦ ∀a b c. divides (b * a) (c * a) ⇔ a = 0 ∨ divides b c

⊦ ∀a b c d. divides a c ∧ divides b d ⇒ divides (a * b) (c * d)

⊦ ∀a b c. c ≤ b ∧ divides a b ∧ divides a c ⇒ divides a (b - c)

⊦ ∀a b.
    ∃g.
      divides g a ∧ divides g b ∧
      ∀c. divides c a ∧ divides c b ⇒ divides c g

⊦ ∀p.
(∀n. p 0 n) ∧ (∀m n. n < m ∧ p n m ⇒ p m n) ∧
(∀m n. p m n ⇒ p m (n + m)) ⇒ ∀m n. p m n

Input Type Operators

→
bool
Number
- Natural
  - natural

Input Constants

=
Data
- Bool
  - ∀
  - ∧
  - ⇒
  - ∃
  - ∨
  - ¬
  - cond
  - ⊥
  - ⊤
Number
- Natural
  - *
  - +
  - -
  - <
  - ≤
  - bit0
  - bit1
  - div
  - even
  - factorial
  - mod
  - suc
  - zero

Assumptions

⊦ ⊤

⊦ ¬⊥ ⇔ ⊤

⊦ ¬⊤ ⇔ ⊥

⊦ bit0 0 = 0

⊦ ∀t. t ⇒ t

⊦ ∀n. 0 ≤ n

⊦ ⊥ ⇔ ∀p. p

⊦ ∀t. t ∨ ¬t

⊦ (¬) = λp. p ⇒ ⊥

⊦ ∀t. (∀x. t) ⇔ t

⊦ ∀t. (∃x. t) ⇔ t

⊦ ∀t. (λx. t x) = t

⊦ (∀) = λp. p = λx. ⊤

⊦ ∀t. ¬¬t ⇔ t

⊦ ∀t. (⊤ ⇔ t) ⇔ t

⊦ ∀t. (t ⇔ ⊤) ⇔ t

⊦ ∀t. ⊥ ∧ t ⇔ ⊥

⊦ ∀t. ⊤ ∧ t ⇔ t

⊦ ∀t. t ∧ ⊥ ⇔ ⊥

⊦ ∀t. t ∧ ⊤ ⇔ t

⊦ ∀t. ⊥ ⇒ t ⇔ ⊤

⊦ ∀t. ⊤ ⇒ t ⇔ t

⊦ ∀t. t ⇒ ⊤ ⇔ ⊤

⊦ ∀t. ⊥ ∨ t ⇔ t

⊦ ∀t. ⊤ ∨ t ⇔ ⊤

⊦ ∀t. t ∨ ⊥ ⇔ t

⊦ ∀n. ¬(suc n = 0)

⊦ ∀n. 0 * n = 0

⊦ ∀m. m * 0 = 0

⊦ ∀n. 0 + n = n

⊦ ∀m. m + 0 = m

⊦ ∀n. n - n = 0

⊦ ∀t. (⊥ ⇔ t) ⇔ ¬t

⊦ ∀t. (t ⇔ ⊥) ⇔ ¬t

⊦ ∀t. t ⇒ ⊥ ⇔ ¬t

⊦ ∀n. bit1 n = suc (bit0 n)

⊦ ∀m. m * 1 = m

⊦ ∀m. 1 * m = m

⊦ ∀m n. n ≤ m + n

⊦ (⇒) = λp q. p ∧ q ⇔ p

⊦ ∀t. (t ⇔ ⊤) ∨ (t ⇔ ⊥)

⊦ ∀n. even (suc n) ⇔ ¬even n

⊦ ∀m. m ≤ 0 ⇔ m = 0

⊦ ∀t₁ t₂. (if ⊥ then t₁ else t₂) = t₂

⊦ ∀t₁ t₂. (if ⊤ then t₁ else t₂) = t₁

⊦ ∀n. 0 < n ⇔ ¬(n = 0)

⊦ ∀n. bit0 (suc n) = suc (suc (bit0 n))

⊦ ∀x y. x = y ⇔ y = x

⊦ ∀x y. x = y ⇒ y = x

⊦ ∀t₁ t₂. t₁ ∨ t₂ ⇔ t₂ ∨ t₁

⊦ ∀m n. m * n = n * m

⊦ ∀m n. m + n = n + m

⊦ ∀m n. m + n - n = m

⊦ ∀n. factorial (suc n) = suc n * factorial n

⊦ ∀n. 2 * n = n + n

⊦ ∀m n. ¬(m ≤ n) ⇔ n < m

⊦ ∀m n. suc m ≤ n ⇔ m < n

⊦ ∀p. (∀b. p b) ⇔ p ⊤ ∧ p ⊥

⊦ (∧) = λp q. (λf. f p q) = λf. f ⊤ ⊤

⊦ ∀n. even n ⇔ n mod 2 = 0

⊦ ∀p. ¬(∀x. p x) ⇔ ∃x. ¬p x

⊦ (∃) = λp. ∀q. (∀x. p x ⇒ q) ⇒ q

⊦ ∀t₁ t₂. ¬(t₁ ⇒ t₂) ⇔ t₁ ∧ ¬t₂

⊦ ∀m n. m + suc n = suc (m + n)

⊦ ∀m n. suc m + n = suc (m + n)

⊦ ∀m n. n < m + n ⇔ 0 < m

⊦ ∀m n. suc m = suc n ⇔ m = n

⊦ ∀m n. m + n = m ⇔ n = 0

⊦ ∀t₁ t₂. ¬(t₁ ∨ t₂) ⇔ ¬t₁ ∧ ¬t₂

⊦ ∀m n. even (m * n) ⇔ even m ∨ even n

⊦ ∀m n. even (m + n) ⇔ even m ⇔ even n

⊦ ∀m n. m ≤ n ⇔ ∃d. n = m + d

⊦ ∀p a. (∃x. x = a ∧ p x) ⇔ p a

⊦ (∨) = λp q. ∀r. (p ⇒ r) ⇒ (q ⇒ r) ⇒ r

⊦ ∀m n. m ≤ n ⇔ m < n ∨ m = n

⊦ ∀m n. m ≤ n ∧ n ≤ m ⇔ m = n

⊦ ∀p q. p ∧ (∃x. q x) ⇔ ∃x. p ∧ q x

⊦ ∀p q. p ∨ (∀x. q x) ⇔ ∀x. p ∨ q x

⊦ ∀p q. p ∨ (∃x. q x) ⇔ ∃x. p ∨ q x

⊦ ∀m n. ¬(m = 0) ⇒ m * n div m = n

⊦ ∀p q. (∃x. p x) ∧ q ⇔ ∃x. p x ∧ q

⊦ ∀p q. (∃x. p x) ∨ q ⇔ ∃x. p x ∨ q

⊦ ∀m n p. m * (n * p) = m * n * p

⊦ ∀m n p. m + (n + p) = m + n + p

⊦ ∀m n p. m + n < m + p ⇔ n < p

⊦ ∀m n p. n + m < p + m ⇔ n < p

⊦ ∀m n. m ≤ suc n ⇔ m = suc n ∨ m ≤ n

⊦ ∀m n. m * n = 0 ⇔ m = 0 ∨ n = 0

⊦ ∀p. p 0 ∧ (∀n. p n ⇒ p (suc n)) ⇒ ∀n. p n

⊦ ∀m n. n * m = m ⇔ m = 0 ∨ n = 1

⊦ ∀m n p. (m + n) * p = m * p + n * p

⊦ ∀p. (∀n. (∀m. m < n ⇒ p m) ⇒ p n) ⇒ ∀n. p n

⊦ ∀p q. (∃x. p x) ∨ (∃x. q x) ⇔ ∃x. p x ∨ q x

⊦ ∀m n. ¬(n = 0) ⇒ (m div n) * n + m mod n = m

⊦ ∀m n. m * n = 1 ⇔ m = 1 ∧ n = 1

⊦ ∀m n p. m * n = m * p ⇔ m = 0 ∨ n = p

⊦ ∀m n p. m * p = n * p ⇔ m = n ∨ p = 0

⊦ ∀m n p. m * n ≤ m * p ⇔ m = 0 ∨ n ≤ p

⊦ ∀m n p. m * p ≤ n * p ⇔ m ≤ n ∨ p = 0

⊦ ∀m n p. m * n < m * p ⇔ ¬(m = 0) ∧ n < p

⊦ ∀m n p. n ≤ m ⇒ (m - n) * p = m * p - n * p