Package natural-divides: The divides relation on natural numbers

Information

Files

• Package tarball natural-divides-1.68.tgz
• Theory source file natural-divides.thy (included in the package tarball)

Defined Constants

• Number
  • Natural
    • chineseRemainder
    • divides
    • egcd
    • gcd
    • lcm

Theorems

⊦ ∀a. divides a 0

⊦ ∀a. divides a a

⊦ ∀a. divides 1 a

⊦ ∀a. gcd 0 a = a

⊦ ∀a. gcd a 0 = a

⊦ ∀a. gcd a a = a

⊦ ∀a. lcm 0 a = 0

⊦ ∀a. lcm a 0 = 0

⊦ ∀a. lcm a a = a

⊦ ∀b. fst (egcd 0 b) = b

⊦ ∀a. lcm a 1 = a

⊦ ∀a. lcm 1 a = a

⊦ ∀a b. divides a (lcm a b)

⊦ ∀a b. divides b (lcm a b)

⊦ ∀a b. divides (gcd a b) a

⊦ ∀a b. divides (gcd a b) b

⊦ ∀a. divides 0 a ⇔ a = 0

⊦ ∀a. gcd a 1 = 1

⊦ ∀a. gcd 1 a = 1

⊦ ∀a b. divides (fst (egcd a b)) a

⊦ ∀a b. divides (fst (egcd a b)) b

⊦ ∀a. divides 2 a ⇔ even a

⊦ ∀a b. gcd a b = gcd b a

⊦ ∀a b. lcm a b = lcm b a

⊦ ∀a b. a = b ⇒ divides a b

⊦ ∀a. divides a 1 ⇔ a = 1

⊦ ∀a b. fst (egcd a b) = gcd a b

⊦ ∀a. egcd a 0 = (a, 1, 0)

⊦ ∀a b. gcd a b = a ⇔ divides a b

⊦ ∀a b. gcd b a = a ⇔ divides a b

⊦ ∀a b. lcm a b = a ⇔ divides b a

⊦ ∀a b. lcm b a = a ⇔ divides b a

⊦ ∀a b. gcd a (a + b) = gcd a b

⊦ ∀a b. gcd a (b + a) = gcd a b

⊦ ∀a b. gcd (a + b) b = gcd a b

⊦ ∀a b. gcd (b + a) b = gcd a b

⊦ ∀a b c. divides a b ⇒ divides a (b * c)

⊦ ∀a b c. divides a b ⇒ divides a (lcm b c)

⊦ ∀a b c. divides a b ⇒ divides a (lcm c b)

⊦ ∀a b c. divides a c ⇒ divides a (b * c)

⊦ ∀a b c. divides b a ⇒ divides (gcd b c) a

⊦ ∀a b c. divides b a ⇒ divides (gcd c b) a

⊦ ∀a b c. divides (a * b) c ⇒ divides a c

⊦ ∀a b c. divides (a * b) c ⇒ divides b c

⊦ ∀a b. divides a b ⇔ ∃c. c * a = b

⊦ ∀b. egcd 1 b = (1, 1, 0)

⊦ ∀a b. lcm a b * gcd a b = a * b

⊦ ∀a b. divides a b ∧ divides b a ⇒ a = b

⊦ ∀a b. ¬(b = 0) ∧ divides a b ⇒ a ≤ b

⊦ ∀a b c. gcd (gcd a b) c = gcd a (gcd b c)

⊦ ∀a b c. lcm (lcm a b) c = lcm a (lcm b c)

⊦ ∀a b c. divides a b ∧ divides b c ⇒ divides a c

⊦ ∀a b. (∀c. divides b c ⇒ divides a c) ⇔ divides a b

⊦ ∀a b. (∀c. divides c a ⇒ divides c b) ⇔ divides a b

⊦ ∀a b. (∀c. divides b c ⇒ divides a c) ⇒ divides a b

⊦ ∀a b. (∀c. divides c a ⇒ divides c b) ⇒ divides a b

⊦ ∀a b. a ≤ b ⇒ gcd a (b - a) = gcd a b

⊦ ∀a b. b ≤ a ⇒ gcd (a - b) b = gcd a b

⊦ ∀a b. gcd a b = 0 ⇔ a = 0 ∧ b = 0

⊦ ∀a b. lcm a b = 0 ⇔ a = 0 ∨ b = 0

⊦ ∀a b. ¬(b = 0) ∧ b ≤ a ⇒ divides b (factorial a)

⊦ ∀a b s t. divides (gcd a b) (distance (s * a) (t * b))

⊦ ∀a b. ∃s t. distance (s * a) (t * b) = gcd a b

⊦ ∀a b. ¬(a = 0) ⇒ (divides a b ⇔ b mod a = 0)

⊦ ∀a b. ¬(a = 0) ⇒ gcd a (b mod a) = gcd a b

⊦ ∀a b c. divides c (gcd a b) ⇔ divides c a ∧ divides c b

⊦ ∀a b c. divides (lcm a b) c ⇔ divides a c ∧ divides b c

⊦ ∀a b c. gcd a (lcm b c) = lcm (gcd a b) (gcd a c)

⊦ ∀a b c. lcm a (gcd b c) = gcd (lcm a b) (lcm a c)

⊦ ∀a b c. gcd (lcm b c) a = lcm (gcd b a) (gcd c a)

⊦ ∀a b c. lcm (gcd b c) a = gcd (lcm b a) (lcm c a)

⊦ ∀a b c. divides (gcd a (b * c)) (gcd a b * gcd a c)

⊦ ∀a b c. gcd (a * b) (a * c) = a * gcd b c

⊦ ∀a b c. gcd (b * a) (c * a) = gcd b c * a

⊦ ∀a b c. lcm (a * b) (a * c) = a * lcm b c

⊦ ∀a b c. lcm (b * a) (c * a) = lcm b c * a

⊦ ∀a b c. divides a b ∧ divides a c ⇒ divides a (b + c)

⊦ ∀a b c. divides a c ∧ divides b c ⇒ divides (lcm a b) c

⊦ ∀a b c. divides c a ∧ divides c b ⇒ divides c (distance a b)

⊦ ∀a b c. divides c a ∧ divides c b ⇒ divides c (gcd a b)

⊦ ∀a. divides a 2 ⇔ a = 1 ∨ a = 2

⊦ ∀a. divides a 3 ⇔ a = 1 ∨ a = 3

⊦ ∀a b. gcd a b = 1 ⇒ gcd (a * a) b = 1

⊦ ∀a b. gcd b a = 1 ⇒ gcd b (a * a) = 1

⊦ ∀a b. gcd b (a * a) = 1 ⇔ gcd b a = 1

⊦ ∀a b. gcd (a * a) b = 1 ⇔ gcd a b = 1

⊦ ∀a b. divides a b ⇔ if a = 0 then b = 0 else b mod a = 0

⊦ ∀a b. ¬(a = 0) ⇒ (divides a b ⇔ (b div a) * a = b)

⊦ ∀a b. lcm a b = 1 ⇔ a = 1 ∧ b = 1

⊦ ∀a b c. divides (a * b) (a * c) ⇔ a = 0 ∨ divides b c

⊦ ∀a b c. divides (b * a) (c * a) ⇔ a = 0 ∨ divides b c

⊦ ∀a b c. gcd b (a * c) = 1 ⇒ gcd b c = 1

⊦ ∀a b c. gcd b (c * a) = 1 ⇒ gcd b c = 1

⊦ ∀a b c. gcd (a * b) c = 1 ⇒ gcd b c = 1

⊦ ∀a b c. gcd (b * a) c = 1 ⇒ gcd b c = 1

⊦ ∀a b c. gcd a b = 1 ⇒ gcd a (b * c) = gcd a c

⊦ ∀a b c. gcd a b = 1 ⇒ gcd a (c * b) = gcd a c

⊦ ∀a b c. gcd b a = 1 ⇒ gcd (b * c) a = gcd c a

⊦ ∀a b c. gcd b a = 1 ⇒ gcd (c * b) a = gcd c a

⊦ ∀a b c d. divides a c ∧ divides b d ⇒ divides (a * b) (c * d)

⊦ ∀a b c. c ≤ b ∧ divides a b ∧ divides a c ⇒ divides a (b - c)

⊦ ∀a. ¬(a = 0) ⇒ egcd a 1 = (1, 1, a - 1)

⊦ ∀a b. ¬(a = 0) ⇒ ∃s t. t * b + gcd a b = s * a

⊦ ∀a b. ¬(a = 0) ⇒ ∃s t. t * b + gcd b a = s * a

⊦ ∀a b x y. x < a ∧ y < b ⇒ chineseRemainder a b x y < a * b

⊦ ∀a b s t. distance (s * a) (t * b) = 1 ⇒ gcd a b = 1

⊦ ∀a b. (∀c. divides c a ∧ divides c b ⇒ c = 1) ⇒ gcd a b = 1

⊦ ∀a b.
    gcd a b = if a = 0 then b else if a ≤ b then gcd a (b - a) else gcd b a

⊦ ∀a b c. gcd b c = 1 ∧ divides b a ∧ divides c a ⇒ divides (b * c) a

⊦ ∀a b. 1 < b ∧ gcd a b = 1 ⇒ ∃s. s * a mod b = 1

⊦ ∀a b.
    ∃g.
      divides g a ∧ divides g b ∧
      ∀c. divides c a ∧ divides c b ⇒ divides c g

⊦ ∀a b c. gcd a (b * c) = 1 ⇔ gcd a b = 1 ∧ gcd a c = 1

⊦ ∀a b c. gcd (b * c) a = 1 ⇔ gcd b a = 1 ∧ gcd c a = 1

⊦ ∀a b c. gcd a b = 1 ∧ gcd a c = 1 ⇒ gcd a (b * c) = 1

⊦ ∀a b c. gcd b a = 1 ∧ gcd c a = 1 ⇒ gcd (b * c) a = 1

⊦ ∀ap b. let a ← ap + 1 in let (g, s, t) ← egcd a b in t < a

⊦ ∀a b s t g. s * a + g = t * b ∧ divides g a ∧ divides g b ⇒ gcd a b = g

⊦ ∀a b s t g. t * b + g = s * a ∧ divides g a ∧ divides g b ⇒ gcd a b = g

⊦ ∀a b s t g.
    distance (s * a) (t * b) = g ∧ divides g a ∧ divides g b ⇒ gcd a b = g

⊦ ∀ap b. let a ← ap + 1 in let (g, s, t) ← egcd a b in s < max b 2

⊦ ∀a b l.
    divides a l ∧ divides b l ∧
    (∀c. divides a c ∧ divides b c ⇒ divides l c) ⇒ lcm a b = l

⊦ ∀a b g.
    divides g a ∧ divides g b ∧
    (∀c. divides c a ∧ divides c b ⇒ divides c g) ⇒ gcd a b = g

⊦ ∀a b g s t. ¬(a = 0) ∧ egcd a b = (g, s, t) ⇒ t * b + g = s * a

⊦ ∀ap b. let a ← ap + 1 in let (g, s, t) ← egcd a b in t * b + g = s * a

⊦ ∀a b g s t. ¬(a = 0) ∧ egcd a b = (g, s, t) ⇒ s < max b 2 ∧ t < a

⊦ ∀a b.
    ¬(a = 0) ⇒ ∃s t. egcd a b = (gcd a b, s, t) ∧ t * b + gcd a b = s * a

⊦ ∀p.
    (∀n. p 0 n) ∧ (∀m n. n < m ∧ p n m ⇒ p m n) ∧
    (∀m n. p m n ⇒ p m (n + m)) ⇒ ∀m n. p m n

⊦ ∀a b x y n.
    gcd a b = 1 ∧ x < a ∧ y < b ∧ chineseRemainder a b x y = n ⇒
    n mod a = x ∧ n mod b = y

⊦ ∀ap bp xp yp.
    let aq ← ap + 1 in
    let bq ← bp + 1 in
    let g ← fst (egcd aq bq) in
    let a ← aq div g in
    let b ← bq div g in
    let x ← xp mod a in
    let y ← yp mod b in
    chineseRemainder a b x y < a * b

⊦ ∀ap bp xp yp.
    let aq ← ap + 1 in
    let bq ← bp + 1 in
    let g ← fst (egcd aq bq) in
    let a ← aq div g in
    let b ← bq div g in
    let x ← xp mod a in
    let y ← yp mod b in
    chineseRemainder a b x y mod a = x

⊦ ∀ap bp xp yp.
    let aq ← ap + 1 in
    let bq ← bp + 1 in
    let g ← fst (egcd aq bq) in
    let a ← aq div g in
    let b ← bq div g in
    let x ← xp mod a in
    let y ← yp mod b in
    chineseRemainder a b x y mod b = y

⊦ ∀a b x y.
    chineseRemainder a b x y =
    let (g, s, t) ← egcd a b in (x * ((a - t) * b) + y * (s * a)) mod a * b

⊦ ∀a b.
    chineseRemainder a b =
    let (g, s, t) ← egcd a b in
    let ab ← a * b in
    let sa ← s * a in
    let tb ← (a - t) * b in
    λx y. (x * tb + y * sa) mod ab

⊦ ∀p.
    p 0 0 ∧ (∀a b. gcd a b = 1 ⇒ p a b) ∧
    (∀c a b. ¬(c = 0) ∧ p a b ⇒ p (c * a) (c * b)) ⇒ ∀a b. p a b

⊦ ∀p.
    (∀a. p a 0) ∧ (∀a b. ¬(b = 0) ∧ divides b a ⇒ p a b) ∧
    (∀a b c. ¬(b = 0) ∧ c = a mod b ∧ ¬(c = 0) ∧ p c (b mod c) ⇒ p a b) ⇒
    ∀a b. p a b

⊦ ∀a b.
    egcd a b =
    if b = 0 then (a, 1, 0)
    else
      let c ← a mod b in
      if c = 0 then (b, 1, a div b - 1)
      else
        let (g, s, t) ← egcd c (b mod c) in
        let u ← s + (b div c) * t in
        (g, u, t + (a div b) * u)

External Type Operators

• →
• bool
• Data
  • Pair
    • ×
• Number
  • Natural
    • natural

External Constants

• =
• select
• Data
  • Bool
    • ∀
    • ∧
    • ⇒
    • ∃
    • ∨
    • ¬
    • cond
    • ⊥
    • ⊤
  • Pair
    • ,
    • fst
    • snd
• Number
  • Natural
    • *
    • +
    • -
    • <
    • ≤
    • bit0
    • bit1
    • distance
    • div
    • even
    • factorial
    • max
    • mod
    • suc
    • zero
• Relation
  • measure
  • wellFounded

Assumptions

⊦ ⊤

⊦ ¬⊥ ⇔ ⊤

⊦ ¬⊤ ⇔ ⊥

⊦ bit0 0 = 0

⊦ ∀t. t ⇒ t

⊦ ∀n. n ≤ n

⊦ ∀m. wellFounded (measure m)

⊦ ⊥ ⇔ ∀p. p

⊦ ∀t. t ∨ ¬t

⊦ ∀m. ¬(m < 0)

⊦ ∀n. ¬(n < n)

⊦ ∀n. n < suc n

⊦ (¬) = λp. p ⇒ ⊥

⊦ (∃) = λp. p ((select) p)

⊦ ∀t. (∀x. t) ⇔ t

⊦ ∀t. (∃x. t) ⇔ t

⊦ ∀t. (λx. t x) = t

⊦ (∀) = λp. p = λx. ⊤

⊦ ∀t. ¬¬t ⇔ t

⊦ ∀t. (⊤ ⇔ t) ⇔ t

⊦ ∀t. (t ⇔ ⊤) ⇔ t

⊦ ∀t. ⊥ ∧ t ⇔ ⊥

⊦ ∀t. ⊤ ∧ t ⇔ t

⊦ ∀t. t ∧ ⊥ ⇔ ⊥

⊦ ∀t. t ∧ ⊤ ⇔ t

⊦ ∀t. t ∧ t ⇔ t

⊦ ∀t. ⊥ ⇒ t ⇔ ⊤

⊦ ∀t. ⊤ ⇒ t ⇔ t

⊦ ∀t. t ⇒ ⊤ ⇔ ⊤

⊦ ∀t. ⊥ ∨ t ⇔ t

⊦ ∀t. ⊤ ∨ t ⇔ ⊤

⊦ ∀t. t ∨ ⊥ ⇔ t

⊦ ∀t. t ∨ ⊤ ⇔ ⊤

⊦ ∀t. t ∨ t ⇔ t

⊦ ∀n. ¬(suc n = 0)

⊦ ∀n. 0 * n = 0

⊦ ∀m. m * 0 = 0

⊦ ∀n. 0 + n = n

⊦ ∀m. m + 0 = m

⊦ ∀n. n - n = 0

⊦ ∀n. distance 0 n = n

⊦ ∀n. distance n n = 0

⊦ ∀t. (⊥ ⇔ t) ⇔ ¬t

⊦ ∀t. (t ⇔ ⊥) ⇔ ¬t

⊦ ∀t. t ⇒ ⊥ ⇔ ¬t

⊦ ∀n. bit1 n = suc (bit0 n)

⊦ ∀m. m * 1 = m

⊦ ∀n. n div 1 = n

⊦ ∀n. n mod 1 = 0

⊦ ∀m. 1 * m = m

⊦ ∀m n. m ≤ m + n

⊦ ∀m n. n ≤ m + n

⊦ (⇒) = λp q. p ∧ q ⇔ p

⊦ ∀t. (t ⇔ ⊤) ∨ (t ⇔ ⊥)

⊦ ∀m. suc m = m + 1

⊦ ∀n. even (suc n) ⇔ ¬even n

⊦ ∀m. m ≤ 0 ⇔ m = 0

⊦ ∀n. suc n - 1 = n

⊦ ∀t₁ t₂. (if ⊥ then t₁ else t₂) = t₂

⊦ ∀t₁ t₂. (if ⊤ then t₁ else t₂) = t₁

⊦ ∀a b. fst (a, b) = a

⊦ ∀a b. snd (a, b) = b

⊦ ∀p x. p x ⇒ p ((select) p)

⊦ ∀n. 0 < n ⇔ ¬(n = 0)

⊦ ∀n. bit0 (suc n) = suc (suc (bit0 n))

⊦ ∀x. ∃a b. x = (a, b)

⊦ ∀x y. x = y ⇔ y = x

⊦ ∀x y. x = y ⇒ y = x

⊦ ∀t₁ t₂. t₁ ∨ t₂ ⇔ t₂ ∨ t₁

⊦ ∀a b. (a ⇔ b) ⇒ a ⇒ b

⊦ ∀m n. m * n = n * m

⊦ ∀m n. m + n = n + m

⊦ ∀m n. distance m n = distance n m

⊦ ∀m n. max m n = max n m

⊦ ∀m n. m < n ⇒ m ≤ n

⊦ ∀m n. m + n - m = n

⊦ ∀m n. m + n - n = m

⊦ ∀m n. distance (m + n) m = n

⊦ ∀n. factorial (suc n) = suc n * factorial n

⊦ ∀m n. ¬(m < n) ⇔ n ≤ m

⊦ ∀m n. ¬(m ≤ n) ⇔ n < m

⊦ ∀m n. m < suc n ⇔ m ≤ n

⊦ ∀m n. suc m ≤ n ⇔ m < n

⊦ ∀m. m = 0 ∨ ∃n. m = suc n

⊦ ∀p. (∀b. p b) ⇔ p ⊤ ∧ p ⊥

⊦ (∧) = λp q. (λf. f p q) = λf. f ⊤ ⊤

⊦ ∀n. even n ⇔ n mod 2 = 0

⊦ ∀n. ¬(n = 0) ⇒ 0 mod n = 0

⊦ ∀p. ¬(∀x. p x) ⇔ ∃x. ¬p x

⊦ ∀p. ¬(∃x. p x) ⇔ ∀x. ¬p x

⊦ (∃) = λp. ∀q. (∀x. p x ⇒ q) ⇒ q

⊦ ∀t₁ t₂. ¬(t₁ ⇒ t₂) ⇔ t₁ ∧ ¬t₂

⊦ ∀t₁ t₂. ¬t₁ ⇒ ¬t₂ ⇔ t₂ ⇒ t₁

⊦ ∀m n. m < n ⇒ m div n = 0

⊦ ∀m n. m < n ⇒ m mod n = m

⊦ ∀m n. m + suc n = suc (m + n)

⊦ ∀m n. suc m + n = suc (m + n)

⊦ ∀m n. n < m + n ⇔ 0 < m

⊦ ∀m n. suc m = suc n ⇔ m = n

⊦ ∀m n. suc m < suc n ⇔ m < n

⊦ ∀m n. m + n = m ⇔ n = 0

⊦ ∀t₁ t₂. ¬(t₁ ∧ t₂) ⇔ ¬t₁ ∨ ¬t₂

⊦ ∀t₁ t₂. ¬(t₁ ∨ t₂) ⇔ ¬t₁ ∧ ¬t₂

⊦ ∀m n. max m n = if m ≤ n then n else m

⊦ ∀m n. even (m + n) ⇔ even m ⇔ even n

⊦ ∀m n. suc m * n = m * n + n

⊦ ∀m n. ¬(n = 0) ⇒ m mod n < n

⊦ ∀m n. ¬(n = 0) ⇒ m div n ≤ m

⊦ ∀p. (∀x. p x) ⇔ ∀a b. p (a, b)

⊦ ∀p. (∃x. p x) ⇔ ∃a b. p (a, b)

⊦ ∀m n. m ≤ n ⇔ ∃d. n = m + d

⊦ ∀f g. (∀x. f x = g x) ⇔ f = g

⊦ ∀p a. (∃x. x = a ∧ p x) ⇔ p a

⊦ (∨) = λp q. ∀r. (p ⇒ r) ⇒ (q ⇒ r) ⇒ r

⊦ ∀m n. n ≤ m ⇒ m - n + n = m

⊦ ∀m n. m ≤ n ∧ n ≤ m ⇔ m = n

⊦ ∀f. ∃fn. ∀a b. fn (a, b) = f a b

⊦ ∀m n. m < n ⇔ ∃d. n = m + suc d

⊦ ∀m x y. measure m x y ⇔ m x < m y

⊦ ∀p. (∀x y. p x y) ⇔ ∀y x. p x y

⊦ ∀p q. p ∧ (∃x. q x) ⇔ ∃x. p ∧ q x

⊦ ∀p q. p ∨ (∀x. q x) ⇔ ∀x. p ∨ q x

⊦ ∀p q. p ∨ (∃x. q x) ⇔ ∃x. p ∨ q x

⊦ ∀m n. ¬(m = 0) ⇒ m * n div m = n

⊦ ∀m n. ¬(m = 0) ⇒ m * n mod m = 0

⊦ ∀p q. (∃x. p x) ∧ q ⇔ ∃x. p x ∧ q

⊦ ∀p q. (∃x. p x) ∨ q ⇔ ∃x. p x ∨ q

⊦ ∀x y z. x = y ∧ y = z ⇒ x = z

⊦ ∀p q r. p ⇒ q ⇒ r ⇔ p ∧ q ⇒ r

⊦ ∀t₁ t₂ t₃. (t₁ ∨ t₂) ∨ t₃ ⇔ t₁ ∨ t₂ ∨ t₃

⊦ ∀m n p. m * (n * p) = m * n * p

⊦ ∀m n p. m + (n + p) = m + n + p

⊦ ∀m n p. m + n = m + p ⇔ n = p

⊦ ∀p m n. m + p = n + p ⇔ m = n

⊦ ∀m n p. m + n < m + p ⇔ n < p

⊦ ∀m n p. n + m < p + m ⇔ n < p

⊦ ∀m n p. m + n ≤ m + p ⇔ n ≤ p

⊦ ∀p m n. distance (m + p) (n + p) = distance m n

⊦ ∀m n p. (m * n + p) mod n = p mod n

⊦ ∀m n p. m < n ∧ n < p ⇒ m < p

⊦ ∀m n p. m < n ∧ n ≤ p ⇒ m < p

⊦ ∀m n p. m ≤ n ∧ n < p ⇒ m < p

⊦ ∀m n p. m ≤ n ∧ n ≤ p ⇒ m ≤ p

⊦ ∀r. (∀x. ∃y. r x y) ⇔ ∃f. ∀x. r x (f x)

⊦ ∀m n. m ≤ suc n ⇔ m = suc n ∨ m ≤ n

⊦ ∀m n. m * n = 0 ⇔ m = 0 ∨ n = 0

⊦ ∀m n. m + n = 0 ⇔ m = 0 ∧ n = 0

⊦ ∀m n. distance (distance m n) (distance m (n + 1)) = 1

⊦ ∀p. p 0 ∧ (∀n. p n ⇒ p (suc n)) ⇒ ∀n. p n

⊦ ∀m n. distance m n = if m ≤ n then n - m else m - n

⊦ ∀n m. ¬(n = 0) ⇒ m mod n mod n = m mod n

⊦ ∀m n. ¬(n = 0) ⇒ (m div n = 0 ⇔ m < n)

⊦ ∀m n. n * m = m ⇔ m = 0 ∨ n = 1

⊦ ∀m n p. m < max n p ⇔ m < n ∨ m < p

⊦ ∀m n p. m * (n + p) = m * n + m * p

⊦ ∀m n p. m * distance n p = distance (m * n) (m * p)

⊦ ∀m n p. (m + n) * p = m * p + n * p

⊦ ∀p m n. distance m n * p = distance (m * p) (n * p)

⊦ ∀p. (∀n. (∀m. m < n ⇒ p m) ⇒ p n) ⇒ ∀n. p n

⊦ ∀p q. (∀x. p x ∧ q x) ⇔ (∀x. p x) ∧ ∀x. q x

⊦ ∀p q. (∃x. p x) ∨ (∃x. q x) ⇔ ∃x. p x ∨ q x

⊦ ∀m n. ¬(n = 0) ⇒ (m div n) * n + m mod n = m

⊦ ∀m n. m * n = 1 ⇔ m = 1 ∧ n = 1

⊦ ∀m n p. n ≤ m ⇒ m + p - (n + p) = m - n

⊦ ∀m n p. m * n = m * p ⇔ m = 0 ∨ n = p

⊦ ∀m n p. m * p = n * p ⇔ m = n ∨ p = 0

⊦ ∀m n p. m * n ≤ m * p ⇔ m = 0 ∨ n ≤ p

⊦ ∀m n p. m * p ≤ n * p ⇔ m ≤ n ∨ p = 0

⊦ ∀m n p. m * n < m * p ⇔ ¬(m = 0) ∧ n < p

⊦ ∀m n p. m * p < n * p ⇔ m < n ∧ ¬(p = 0)

⊦ ∀a b a' b'. (a, b) = (a', b') ⇔ a = a' ∧ b = b'

⊦ ∀m n p. n ≤ m ⇒ (m - n) * p = m * p - n * p

⊦ ∀m n p. distance m n = p ⇔ m + p = n ∨ n + p = m

⊦ ∀p c x y. p (if c then x else y) ⇔ (c ⇒ p x) ∧ (¬c ⇒ p y)

⊦ ∀m n p. ¬(n * p = 0) ⇒ m mod n * p mod n = m mod n

⊦ ∀r. wellFounded r ⇔ ∀p. (∀x. (∀y. r y x ⇒ p y) ⇒ p x) ⇒ ∀x. p x

⊦ ∀n a b. ¬(n = 0) ⇒ (a mod n + b mod n) mod n = (a + b) mod n

⊦ ∀r.
    wellFounded r ⇒
    ∀h.
      (∀f g x. (∀z. r z x ⇒ f z = g z) ⇒ h f x = h g x) ⇒
      ∃f. ∀x. f x = h f x