Package natural-divides-gcd: Natural number greatest common divisor

Information

Files

• Package tarball natural-divides-gcd-1.2.tgz
• Theory source file natural-divides-gcd.thy (included in the package tarball)

Defined Constants

• Number
  • Natural
    • egcd
    • gcd

Theorems

⊦ ∀a. gcd 0 a = a

⊦ ∀a. gcd a 0 = a

⊦ ∀a. gcd a a = a

⊦ ∀a b. divides (gcd a b) a

⊦ ∀a b. divides (gcd a b) b

⊦ ∀a. gcd a 1 = 1

⊦ ∀a. gcd 1 a = 1

⊦ ∀a b. divides (fst (egcd a b)) a

⊦ ∀a b. divides (fst (egcd a b)) b

⊦ ∀a b. gcd a b = gcd b a

⊦ ∀a b. fst (egcd a b) = gcd a b

⊦ ∀a. egcd a 0 = (a, 1, 0)

⊦ ∀a b. gcd a b = a ⇔ divides a b

⊦ ∀a b. gcd b a = a ⇔ divides a b

⊦ ∀a b. gcd a (a + b) = gcd a b

⊦ ∀a b. gcd a (b + a) = gcd a b

⊦ ∀a b. gcd (a + b) b = gcd a b

⊦ ∀a b. gcd (b + a) b = gcd a b

⊦ ∀b. ¬(b = 0) ⇒ fst (egcd 0 b) = b

⊦ ∀a b c. divides b a ⇒ divides (gcd b c) a

⊦ ∀a b c. divides b a ⇒ divides (gcd c b) a

⊦ ∀a b c. gcd (gcd a b) c = gcd a (gcd b c)

⊦ ∀a b. a ≤ b ⇒ gcd a (b - a) = gcd a b

⊦ ∀a b. b ≤ a ⇒ gcd (a - b) b = gcd a b

⊦ ∀a b. gcd a b = 0 ⇔ a = 0 ∧ b = 0

⊦ ∀a b s t. divides (gcd a b) (distance (s * a) (t * b))

⊦ ∀a b. ∃s t. distance (s * a) (t * b) = gcd a b

⊦ ∀a b. ¬(a = 0) ⇒ gcd a (b mod a) = gcd a b

⊦ ∀a b c. divides c (gcd a b) ⇔ divides c a ∧ divides c b

⊦ ∀a b c. divides (gcd a (b * c)) (gcd a b * gcd a c)

⊦ ∀a b c. gcd (a * b) (a * c) = a * gcd b c

⊦ ∀a b c. gcd (b * a) (c * a) = gcd b c * a

⊦ ∀a b c. divides c a ∧ divides c b ⇒ divides c (gcd a b)

⊦ ∀a b. gcd a b = 1 ⇒ gcd (a * a) b = 1

⊦ ∀a b. gcd b a = 1 ⇒ gcd b (a * a) = 1

⊦ ∀a b. gcd b (a * a) = 1 ⇔ gcd b a = 1

⊦ ∀a b. gcd (a * a) b = 1 ⇔ gcd a b = 1

⊦ ∀a b c. gcd b (a * c) = 1 ⇒ gcd b c = 1

⊦ ∀a b c. gcd b (c * a) = 1 ⇒ gcd b c = 1

⊦ ∀a b c. gcd (a * b) c = 1 ⇒ gcd b c = 1

⊦ ∀a b c. gcd (b * a) c = 1 ⇒ gcd b c = 1

⊦ ∀a b c. gcd a b = 1 ⇒ gcd a (b * c) = gcd a c

⊦ ∀a b c. gcd a b = 1 ⇒ gcd a (c * b) = gcd a c

⊦ ∀a b c. gcd b a = 1 ⇒ gcd (b * c) a = gcd c a

⊦ ∀a b c. gcd b a = 1 ⇒ gcd (c * b) a = gcd c a

⊦ ∀a b. ¬(a = 0) ⇒ ∃s t. t * b + gcd a b = s * a

⊦ ∀a b. ¬(a = 0) ⇒ ∃s t. t * b + gcd b a = s * a

⊦ ∀a b s t. distance (s * a) (t * b) = 1 ⇒ gcd a b = 1

⊦ ∀a b. (∀c. divides c a ∧ divides c b ⇒ c = 1) ⇒ gcd a b = 1

⊦ ∀a b.
    gcd a b = if a = 0 then b else if a ≤ b then gcd a (b - a) else gcd b a

⊦ ∀a b c. gcd b c = 1 ∧ divides b a ∧ divides c a ⇒ divides (b * c) a

⊦ ∀a b c. gcd a (b * c) = 1 ⇔ gcd a b = 1 ∧ gcd a c = 1

⊦ ∀a b c. gcd (b * c) a = 1 ⇔ gcd b a = 1 ∧ gcd c a = 1

⊦ ∀a b c. gcd a b = 1 ∧ gcd a c = 1 ⇒ gcd a (b * c) = 1

⊦ ∀a b c. gcd b a = 1 ∧ gcd c a = 1 ⇒ gcd (b * c) a = 1

⊦ ∀a b g.
    divides g a ∧ divides g b ∧
    (∀c. divides c a ∧ divides c b ⇒ divides c g) ⇒ gcd a b = g

⊦ ∀a b g s t. ¬(a = 0) ∧ egcd a b = (g, s, t) ⇒ t * b + g = s * a

⊦ ∀a b.
    ¬(a = 0) ⇒ ∃s t. egcd a b = (gcd a b, s, t) ∧ t * b + gcd a b = s * a

⊦ ∀a b. let (g, s, t) ← egcd (a + 1) b in t * b + g = s * (a + 1)

⊦ ∀p.
    p 0 0 ∧ (∀a b. gcd a b = 1 ⇒ p a b) ∧
    (∀c a b. ¬(c = 0) ∧ p a b ⇒ p (c * a) (c * b)) ⇒ ∀a b. p a b

⊦ ∀p.
    (∀a. p a 0) ∧ (∀a b. ¬(b = 0) ∧ divides b a ⇒ p a b) ∧
    (∀a b c. ¬(b = 0) ∧ c = a mod b ∧ ¬(c = 0) ∧ p c (b mod c) ⇒ p a b) ⇒
    ∀a b. p a b

⊦ ∀a b.
    egcd a b =
    if b = 0 then (a, 1, 0)
    else
      let c ← a mod b in
      if c = 0 then (b, 1, a div b - 1)
      else
        let (g, s, t) ← egcd c (b mod c) in
        let u ← s + (b div c) * t in
        (g, u, t + (a div b) * u)

External Type Operators

• →
• bool
• Data
  • Pair
    • ×
• Number
  • Natural
    • natural

External Constants

• =
• select
• Data
  • Bool
    • ∀
    • ∧
    • ⇒
    • ∃
    • ∨
    • ¬
    • cond
    • ⊥
    • ⊤
  • Pair
    • ,
    • fst
    • snd
• Number
  • Natural
    • *
    • +
    • -
    • <
    • ≤
    • bit0
    • bit1
    • distance
    • div
    • divides
    • mod
    • suc
    • zero
• Relation
  • measure
  • wellFounded

Assumptions

⊦ ⊤

⊦ ¬⊥ ⇔ ⊤

⊦ bit0 0 = 0

⊦ ∀t. t ⇒ t

⊦ ∀a. divides a 0

⊦ ∀a. divides a a

⊦ ∀m. wellFounded (measure m)

⊦ ⊥ ⇔ ∀p. p

⊦ ∀t. t ∨ ¬t

⊦ ∀a. divides 1 a

⊦ (¬) = λp. p ⇒ ⊥

⊦ (∃) = λp. p ((select) p)

⊦ ∀t. (∀x. t) ⇔ t

⊦ ∀t. (λx. t x) = t

⊦ (∀) = λp. p = λx. ⊤

⊦ ∀t. (⊤ ⇔ t) ⇔ t

⊦ ∀t. ⊥ ∧ t ⇔ ⊥

⊦ ∀t. ⊤ ∧ t ⇔ t

⊦ ∀t. t ∧ ⊤ ⇔ t

⊦ ∀t. t ∧ t ⇔ t

⊦ ∀t. ⊥ ⇒ t ⇔ ⊤

⊦ ∀t. ⊤ ⇒ t ⇔ t

⊦ ∀t. t ⇒ ⊤ ⇔ ⊤

⊦ ∀t. ⊥ ∨ t ⇔ t

⊦ ∀t. ⊤ ∨ t ⇔ ⊤

⊦ ∀t. t ∨ ⊥ ⇔ t

⊦ ∀t. t ∨ t ⇔ t

⊦ ∀n. ¬(suc n = 0)

⊦ ∀n. 0 * n = 0

⊦ ∀m. m * 0 = 0

⊦ ∀n. 0 + n = n

⊦ ∀m. m + 0 = m

⊦ ∀n. distance 0 n = n

⊦ ∀n. distance n n = 0

⊦ ∀t. (t ⇔ ⊥) ⇔ ¬t

⊦ ∀t. t ⇒ ⊥ ⇔ ¬t

⊦ ∀n. bit1 n = suc (bit0 n)

⊦ ∀m. m * 1 = m

⊦ ∀m. 1 * m = m

⊦ ∀m n. m ≤ m + n

⊦ (⇒) = λp q. p ∧ q ⇔ p

⊦ ∀m. suc m = m + 1

⊦ ∀a. divides 0 a ⇔ a = 0

⊦ ∀t₁ t₂. (if ⊥ then t₁ else t₂) = t₂

⊦ ∀t₁ t₂. (if ⊤ then t₁ else t₂) = t₁

⊦ ∀a b. fst (a, b) = a

⊦ ∀a b. snd (a, b) = b

⊦ ∀p x. p x ⇒ p ((select) p)

⊦ ∀n. 0 < n ⇔ ¬(n = 0)

⊦ ∀x. ∃a b. x = (a, b)

⊦ ∀x y. x = y ⇒ y = x

⊦ ∀a b. (a ⇔ b) ⇒ a ⇒ b

⊦ ∀m n. m * n = n * m

⊦ ∀m n. m + n = n + m

⊦ ∀m n. distance m n = distance n m

⊦ ∀a b. a = b ⇒ divides a b

⊦ ∀m n. m + n - m = n

⊦ ∀a. divides a 1 ⇔ a = 1

⊦ ∀m n. suc m ≤ n ⇔ m < n

⊦ ∀m. m = 0 ∨ ∃n. m = suc n

⊦ (∧) = λp q. (λf. f p q) = λf. f ⊤ ⊤

⊦ ∀n. ¬(n = 0) ⇒ 0 mod n = 0

⊦ (∃) = λp. ∀q. (∀x. p x ⇒ q) ⇒ q

⊦ ∀t₁ t₂. ¬t₁ ⇒ ¬t₂ ⇔ t₂ ⇒ t₁

⊦ ∀m n. suc m * n = m * n + n

⊦ ∀m n. ¬(n = 0) ⇒ m mod n < n

⊦ ∀p. (∀x. p x) ⇔ ∀a b. p (a, b)

⊦ ∀p. (∃x. p x) ⇔ ∃a b. p (a, b)

⊦ ∀a b c. divides a c ⇒ divides a (b * c)

⊦ ∀a b. divides a b ⇔ ∃c. c * a = b

⊦ (∨) = λp q. ∀r. (p ⇒ r) ⇒ (q ⇒ r) ⇒ r

⊦ ∀m n. n ≤ m ⇒ m - n + n = m

⊦ ∀a b. divides a b ∧ divides b a ⇒ a = b

⊦ ∀f. ∃fn. ∀a b. fn (a, b) = f a b

⊦ ∀m x y. measure m x y ⇔ m x < m y

⊦ ∀p. (∀x y. p x y) ⇔ ∀y x. p x y

⊦ ∀x y z. x = y ∧ y = z ⇒ x = z

⊦ ∀p q r. p ⇒ q ⇒ r ⇔ p ∧ q ⇒ r

⊦ ∀m n p. m * (n * p) = m * n * p

⊦ ∀m n p. m + (n + p) = m + n + p

⊦ ∀m n p. m + n = m + p ⇔ n = p

⊦ ∀p m n. m + p = n + p ⇔ m = n

⊦ ∀p m n. distance (m + p) (n + p) = distance m n

⊦ ∀m n p. m < n ∧ n < p ⇒ m < p

⊦ ∀a b c. divides a b ∧ divides b c ⇒ divides a c

⊦ ∀r. (∀x. ∃y. r x y) ⇔ ∃f. ∀x. r x (f x)

⊦ ∀m n. m * n = 0 ⇔ m = 0 ∨ n = 0

⊦ ∀m n. distance (distance m n) (distance m (n + 1)) = 1

⊦ ∀p. p 0 ∧ (∀n. p n ⇒ p (suc n)) ⇒ ∀n. p n

⊦ ∀a b. ¬(a = 0) ⇒ (divides a b ⇔ b mod a = 0)

⊦ ∀m n p. m * (n + p) = m * n + m * p

⊦ ∀m n p. m * distance n p = distance (m * n) (m * p)

⊦ ∀m n p. (m + n) * p = m * p + n * p

⊦ ∀p m n. distance m n * p = distance (m * p) (n * p)

⊦ ∀a b c. divides a b ∧ divides a c ⇒ divides a (b + c)

⊦ ∀p q. (∀x. p x ∧ q x) ⇔ (∀x. p x) ∧ ∀x. q x

⊦ ∀a b. divides a b ⇔ if a = 0 then b = 0 else b mod a = 0

⊦ ∀m n. ¬(n = 0) ⇒ (m div n) * n + m mod n = m

⊦ ∀m n p. m * p = n * p ⇔ m = n ∨ p = 0

⊦ ∀a b c. divides (a * b) (a * c) ⇔ a = 0 ∨ divides b c

⊦ ∀a b c. divides (b * a) (c * a) ⇔ a = 0 ∨ divides b c

⊦ ∀a b a' b'. (a, b) = (a', b') ⇔ a = a' ∧ b = b'

⊦ ∀m n p. distance m n = p ⇔ m + p = n ∨ n + p = m

⊦ ∀a b c. c ≤ b ∧ divides a b ∧ divides a c ⇒ divides a (b - c)

⊦ ∀p c x y. p (if c then x else y) ⇔ (c ⇒ p x) ∧ (¬c ⇒ p y)

⊦ ∀r. wellFounded r ⇔ ∀p. (∀x. (∀y. r y x ⇒ p y) ⇒ p x) ⇒ ∀x. p x

⊦ ∀a b.
    ∃g.
      divides g a ∧ divides g b ∧
      ∀c. divides c a ∧ divides c b ⇒ divides c g

⊦ ∀r.
    wellFounded r ⇒
    ∀h.
      (∀f g x. (∀z. r z x ⇒ f z = g z) ⇒ h f x = h g x) ⇒
      ∃f. ∀x. f x = h f x

⊦ ∀p.
    (∀n. p 0 n) ∧ (∀m n. n < m ∧ p n m ⇒ p m n) ∧
    (∀m n. p m n ⇒ p m (n + m)) ⇒ ∀m n. p m n

OpenTheory package document generated by opentheory 1.3 (release 20150511)