Package natural-divides-gcd-thm: Properties of natural number greatest common divisor
Information
| name | natural-divides-gcd-thm |
| version | 1.0 |
| description | Properties of natural number greatest common divisor |
| author | Joe Leslie-Hurd <joe@gilith.com> |
| license | MIT |
| provenance | HOL Light theory extracted on 2014-11-17 |
| checksum | 101c8bc67156b3739811f4df283dfb46b0363064 |
| requires | base natural-divides-def natural-divides-gcd-def natural-divides-thm |
| show | Data.Bool Number.Natural |
Files
- Package tarball natural-divides-gcd-thm-1.0.tgz
- Theory source file natural-divides-gcd-thm.thy (included in the package tarball)
Theorems
⊦ ∀a. gcd 0 a = a
⊦ ∀a. gcd a 0 = a
⊦ ∀a. gcd a a = a
⊦ ∀a. gcd a 1 = 1
⊦ ∀a. gcd 1 a = 1
⊦ ∀a b. gcd a b = gcd b a
⊦ ∀a b. gcd a b = a ⇔ divides a b
⊦ ∀a b. gcd b a = a ⇔ divides a b
⊦ ∀a b. gcd a (a + b) = gcd a b
⊦ ∀a b. gcd a (b + a) = gcd a b
⊦ ∀a b. gcd (a + b) b = gcd a b
⊦ ∀a b. gcd (b + a) b = gcd a b
⊦ ∀a b c. divides b a ⇒ divides (gcd b c) a
⊦ ∀a b c. divides b a ⇒ divides (gcd c b) a
⊦ ∀a b c. gcd (gcd a b) c = gcd a (gcd b c)
⊦ ∀a b. a ≤ b ⇒ gcd a (b - a) = gcd a b
⊦ ∀a b. b ≤ a ⇒ gcd (a - b) b = gcd a b
⊦ ∀a b. gcd a b = 0 ⇔ a = 0 ∧ b = 0
⊦ ∀a b s t. divides (gcd a b) (distance (s * a) (t * b))
⊦ ∀a b. ∃s t. distance (s * a) (t * b) = gcd a b
⊦ ∀a b c. divides c (gcd a b) ⇔ divides c a ∧ divides c b
⊦ ∀a b c. divides (gcd a (b * c)) (gcd a b * gcd a c)
⊦ ∀a b c. gcd (a * b) (a * c) = a * gcd b c
⊦ ∀a b c. gcd (b * a) (c * a) = gcd b c * a
⊦ ∀a b. gcd a b = 1 ⇒ gcd (a * a) b = 1
⊦ ∀a b. gcd b a = 1 ⇒ gcd b (a * a) = 1
⊦ ∀a b. gcd b (a * a) = 1 ⇔ gcd b a = 1
⊦ ∀a b. gcd (a * a) b = 1 ⇔ gcd a b = 1
⊦ ∀a b c. gcd b (a * c) = 1 ⇒ gcd b c = 1
⊦ ∀a b c. gcd b (c * a) = 1 ⇒ gcd b c = 1
⊦ ∀a b c. gcd (a * b) c = 1 ⇒ gcd b c = 1
⊦ ∀a b c. gcd (b * a) c = 1 ⇒ gcd b c = 1
⊦ ∀a b c. gcd a b = 1 ⇒ gcd a (b * c) = gcd a c
⊦ ∀a b c. gcd a b = 1 ⇒ gcd a (c * b) = gcd a c
⊦ ∀a b c. gcd b a = 1 ⇒ gcd (b * c) a = gcd c a
⊦ ∀a b c. gcd b a = 1 ⇒ gcd (c * b) a = gcd c a
⊦ ∀a b. ¬(a = 0) ⇒ ∃s t. t * b + gcd a b = s * a
⊦ ∀a b. ¬(a = 0) ⇒ ∃s t. t * b + gcd b a = s * a
⊦ ∀a b s t. distance (s * a) (t * b) = 1 ⇒ gcd a b = 1
⊦ ∀a b. (∀c. divides c a ∧ divides c b ⇒ c = 1) ⇒ gcd a b = 1
⊦ ∀a b.
gcd a b = if a = 0 then b else if a ≤ b then gcd a (b - a) else gcd b a
⊦ ∀a b c. gcd b c = 1 ∧ divides b a ∧ divides c a ⇒ divides (b * c) a
⊦ ∀a b c. gcd a (b * c) = 1 ⇔ gcd a b = 1 ∧ gcd a c = 1
⊦ ∀a b c. gcd (b * c) a = 1 ⇔ gcd b a = 1 ∧ gcd c a = 1
⊦ ∀a b c. gcd a b = 1 ∧ gcd a c = 1 ⇒ gcd a (b * c) = 1
⊦ ∀a b c. gcd b a = 1 ∧ gcd c a = 1 ⇒ gcd (b * c) a = 1
⊦ ∀a b g.
divides g a ∧ divides g b ∧
(∀c. divides c a ∧ divides c b ⇒ divides c g) ⇒ gcd a b = g
⊦ ∀p.
p 0 0 ∧ (∀a b. gcd a b = 1 ⇒ p a b) ∧
(∀c a b. ¬(c = 0) ∧ p a b ⇒ p (c * a) (c * b)) ⇒ ∀a b. p a b
External Type Operators
- →
- bool
- Number
- Natural
- natural
- Natural
External Constants
- =
- Data
- Bool
- ∀
- ∧
- ⇒
- ∃
- ∨
- ¬
- cond
- ⊥
- ⊤
- Bool
- Number
- Natural
- *
- +
- -
- <
- ≤
- bit1
- distance
- divides
- gcd
- suc
- zero
- Natural
Assumptions
⊦ ⊤
⊦ ¬⊥ ⇔ ⊤
⊦ ∀t. t ⇒ t
⊦ ∀a. divides a 0
⊦ ∀a. divides a a
⊦ ⊥ ⇔ ∀p. p
⊦ ∀t. t ∨ ¬t
⊦ ∀a. divides 1 a
⊦ (¬) = λp. p ⇒ ⊥
⊦ ∀t. (∀x. t) ⇔ t
⊦ (∀) = λp. p = λx. ⊤
⊦ ∀t. ⊥ ∧ t ⇔ ⊥
⊦ ∀t. ⊤ ∧ t ⇔ t
⊦ ∀t. t ∧ ⊤ ⇔ t
⊦ ∀t. t ∧ t ⇔ t
⊦ ∀t. ⊥ ⇒ t ⇔ ⊤
⊦ ∀t. ⊤ ⇒ t ⇔ t
⊦ ∀t. t ⇒ ⊤ ⇔ ⊤
⊦ ∀t. ⊥ ∨ t ⇔ t
⊦ ∀t. ⊤ ∨ t ⇔ ⊤
⊦ ∀t. t ∨ t ⇔ t
⊦ ∀n. 0 * n = 0
⊦ ∀m. m * 0 = 0
⊦ ∀n. distance 0 n = n
⊦ ∀n. distance n n = 0
⊦ ∀t. (t ⇔ ⊥) ⇔ ¬t
⊦ ∀m. m * 1 = m
⊦ ∀m. 1 * m = m
⊦ ∀m n. m ≤ m + n
⊦ ∀a b. divides (gcd a b) a
⊦ ∀a b. divides (gcd a b) b
⊦ (⇒) = λp q. p ∧ q ⇔ p
⊦ ∀a. divides 0 a ⇔ a = 0
⊦ ∀x y. x = y ⇒ y = x
⊦ ∀a b. (a ⇔ b) ⇒ a ⇒ b
⊦ ∀m n. m * n = n * m
⊦ ∀m n. m + n = n + m
⊦ ∀m n. distance m n = distance n m
⊦ ∀a b. a = b ⇒ divides a b
⊦ ∀m n. m + n - m = n
⊦ ∀a. divides a 1 ⇔ a = 1
⊦ ∀m. m = 0 ∨ ∃n. m = suc n
⊦ (∧) = λp q. (λf. f p q) = λf. f ⊤ ⊤
⊦ (∃) = λp. ∀q. (∀x. p x ⇒ q) ⇒ q
⊦ ∀t1 t2. ¬t1 ⇒ ¬t2 ⇔ t2 ⇒ t1
⊦ ∀m n. suc m * n = m * n + n
⊦ ∀a b c. divides a c ⇒ divides a (b * c)
⊦ ∀a b. divides a b ⇔ ∃c. c * a = b
⊦ (∨) = λp q. ∀r. (p ⇒ r) ⇒ (q ⇒ r) ⇒ r
⊦ ∀m n. n ≤ m ⇒ m - n + n = m
⊦ ∀a b. divides a b ∧ divides b a ⇒ a = b
⊦ ∀p. (∀x y. p x y) ⇔ ∀y x. p x y
⊦ ∀x y z. x = y ∧ y = z ⇒ x = z
⊦ ∀m n p. m * (n * p) = m * n * p
⊦ ∀m n p. m + (n + p) = m + n + p
⊦ ∀p m n. m + p = n + p ⇔ m = n
⊦ ∀p m n. distance (m + p) (n + p) = distance m n
⊦ ∀a b c. divides a b ∧ divides b c ⇒ divides a c
⊦ ∀m n. m * n = 0 ⇔ m = 0 ∨ n = 0
⊦ ∀m n. distance (distance m n) (distance m (n + 1)) = 1
⊦ ∀m n p. m * (n + p) = m * n + m * p
⊦ ∀m n p. m * distance n p = distance (m * n) (m * p)
⊦ ∀m n p. (m + n) * p = m * p + n * p
⊦ ∀p m n. distance m n * p = distance (m * p) (n * p)
⊦ ∀a b c. divides a b ∧ divides a c ⇒ divides a (b + c)
⊦ ∀a b c. divides c a ∧ divides c b ⇒ divides c (gcd a b)
⊦ ∀a b c. divides (a * b) (a * c) ⇔ a = 0 ∨ divides b c
⊦ ∀a b c. divides (b * a) (c * a) ⇔ a = 0 ∨ divides b c
⊦ ∀m n p. distance m n = p ⇔ m + p = n ∨ n + p = m
⊦ ∀a b c. c ≤ b ∧ divides a b ∧ divides a c ⇒ divides a (b - c)
⊦ ∀p c x y. p (if c then x else y) ⇔ (c ⇒ p x) ∧ (¬c ⇒ p y)
⊦ ∀p.
(∀n. p 0 n) ∧ (∀m n. n < m ∧ p n m ⇒ p m n) ∧
(∀m n. p m n ⇒ p m (n + m)) ⇒ ∀m n. p m n