Package natural-even-odd-thm: natural-even-odd-thm

Information

namenatural-even-odd-thm
version1.0
descriptionnatural-even-odd-thm
authorJoe Hurd <joe@gilith.com>
licenseHOLLight
provenanceHOL Light theory extracted on 2011-02-19
showData.Bool

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Theorems

n. Number.Natural.even n Number.Natural.odd n

n. ¬(Number.Natural.even n Number.Natural.odd n)

n.
    Number.Natural.even
      (Number.Natural.*
         (Number.Numeral.bit0 (Number.Numeral.bit1 Number.Numeral.zero)) n)

n. ¬Number.Natural.even n Number.Natural.odd n

n. ¬Number.Natural.odd n Number.Natural.even n

n.
    Number.Natural.odd
      (Number.Natural.suc
         (Number.Natural.*
            (Number.Numeral.bit0 (Number.Numeral.bit1 Number.Numeral.zero))
            n))

m n.
    Number.Natural.even (Number.Natural.* m n)
    Number.Natural.even m Number.Natural.even n

m n.
    Number.Natural.even (Number.Natural.+ m n) Number.Natural.even m
    Number.Natural.even n

m n.
    Number.Natural.odd (Number.Natural.* m n)
    Number.Natural.odd m Number.Natural.odd n

n.
    Number.Natural.even n
    m.
      n =
      Number.Natural.*
        (Number.Numeral.bit0 (Number.Numeral.bit1 Number.Numeral.zero)) m

m n.
    Number.Natural.odd (Number.Natural.+ m n)
    ¬(Number.Natural.odd m Number.Natural.odd n)

m n.
    Number.Natural.odd (Number.Natural.exp m n)
    Number.Natural.odd m n = Number.Numeral.zero

n.
    Number.Natural.odd n
    m.
      n =
      Number.Natural.suc
        (Number.Natural.*
           (Number.Numeral.bit0 (Number.Numeral.bit1 Number.Numeral.zero))
           m)

m n.
    Number.Natural.even (Number.Natural.exp m n)
    Number.Natural.even m ¬(n = Number.Numeral.zero)

n.
    (k m.
       Number.Natural.odd m
       n =
       Number.Natural.*
         (Number.Natural.exp
            (Number.Numeral.bit0 (Number.Numeral.bit1 Number.Numeral.zero))
            k) m) ¬(n = Number.Numeral.zero)

n.
    (Number.Natural.even n
     m.
       n =
       Number.Natural.*
         (Number.Numeral.bit0 (Number.Numeral.bit1 Number.Numeral.zero))
         m)
    (¬Number.Natural.even n
     m.
       n =
       Number.Natural.suc
         (Number.Natural.*
            (Number.Numeral.bit0 (Number.Numeral.bit1 Number.Numeral.zero))
            m))

Input Type Operators

Input Constants

Assumptions

T

F p. p

Number.Numeral.bit1 Number.Numeral.zero =
  Number.Natural.suc Number.Numeral.zero

t. t ¬t

(¬) = λp. p F

t. (x. t) t

t. (x. t) t

t. (λx. t x) = t

() = λP. P = λx. T

x. x = x T

n. ¬(Number.Natural.suc n = Number.Numeral.zero)

Number.Numeral.bit0 (Number.Numeral.bit1 Number.Numeral.zero) =
  Number.Natural.suc (Number.Numeral.bit1 Number.Numeral.zero)

n. Number.Numeral.bit0 n = Number.Natural.+ n n

() = λp q. p q p

t. (t T) (t F)

n. Number.Numeral.bit1 n = Number.Natural.suc (Number.Natural.+ n n)

(¬T F) (¬F T)

t1 t2. t1 t2 t2 t1

n.
    Number.Natural.*
      (Number.Numeral.bit0 (Number.Numeral.bit1 Number.Numeral.zero)) n =
    Number.Natural.+ n n

() = λp q. (λf. f p q) = λf. f T T

P. ¬(x. P x) x. ¬P x

() = λP. q. (x. P x q) q

() = λp q. r. (p r) (q r) r

(Number.Natural.even Number.Numeral.zero T)
  n. Number.Natural.even (Number.Natural.suc n) ¬Number.Natural.even n

(Number.Natural.odd Number.Numeral.zero F)
  n. Number.Natural.odd (Number.Natural.suc n) ¬Number.Natural.odd n

P. (x y. P x y) y x. P x y

P Q. P (x. Q x) x. P Q x

P Q. (x. P x) Q x. P x Q

P Q. (x. P x) Q x. P x Q

m n p.
    Number.Natural.* m (Number.Natural.* n p) =
    Number.Natural.* (Number.Natural.* m n) p

P. (x. y. P x y) y. x. P x (y x)

m n.
    Number.Natural.* m n = Number.Numeral.zero
    m = Number.Numeral.zero n = Number.Numeral.zero

P.
    P Number.Numeral.zero (n. P n P (Number.Natural.suc n)) n. P n

(t. ¬¬t t) (¬T F) (¬F T)

m n.
    Number.Natural.exp m n = Number.Numeral.zero
    m = Number.Numeral.zero ¬(n = Number.Numeral.zero)

P. (n. (m. Number.Natural.< m n P m) P n) n. P n

P Q. (x. P x Q x) (x. P x) x. Q x

P Q. (x. P x Q x) (x. P x) x. Q x

m n p.
    Number.Natural.< (Number.Natural.* m p) (Number.Natural.* n p)
    Number.Natural.< m n ¬(p = Number.Numeral.zero)

(m.
     Number.Natural.exp m Number.Numeral.zero =
     Number.Numeral.bit1 Number.Numeral.zero)
  m n.
    Number.Natural.exp m (Number.Natural.suc n) =
    Number.Natural.* m (Number.Natural.exp m n)

(m. Number.Natural.< m Number.Numeral.zero F)
  m n.
    Number.Natural.< m (Number.Natural.suc n)
    m = n Number.Natural.< m n

t. ((T t) t) ((t T) t) ((F t) ¬t) ((t F) ¬t)

t. (T t t) (t T t) (F t F) (t F F) (t t t)

t. (T t T) (t T T) (F t t) (t F t) (t t t)

t. (T t t) (t T T) (F t T) (t t T) (t F ¬t)

(n. Number.Natural.+ Number.Numeral.zero n = n)
  (m. Number.Natural.+ m Number.Numeral.zero = m)
  (m n.
     Number.Natural.+ (Number.Natural.suc m) n =
     Number.Natural.suc (Number.Natural.+ m n))
  m n.
    Number.Natural.+ m (Number.Natural.suc n) =
    Number.Natural.suc (Number.Natural.+ m n)

p q r.
    (p q q p) ((p q) r p q r) (p q r q p r)
    (p p p) (p p q p q)

(n. Number.Natural.* Number.Numeral.zero n = Number.Numeral.zero)
  (m. Number.Natural.* m Number.Numeral.zero = Number.Numeral.zero)
  (n. Number.Natural.* (Number.Numeral.bit1 Number.Numeral.zero) n = n)
  (m. Number.Natural.* m (Number.Numeral.bit1 Number.Numeral.zero) = m)
  (m n.
     Number.Natural.* (Number.Natural.suc m) n =
     Number.Natural.+ (Number.Natural.* m n) n)
  m n.
    Number.Natural.* m (Number.Natural.suc n) =
    Number.Natural.+ m (Number.Natural.* m n)