Package natural-exp: Natural number exponentiation

Information

namenatural-exp
version1.21
descriptionNatural number exponentiation
authorJoe Hurd <joe@gilith.com>
licenseMIT
requiresbool
natural-def
natural-thm
natural-numeral
natural-order
natural-add
natural-mult
showData.Bool
Number.Natural

Files

Defined Constant

Theorems

m. exp m 0 = 1

n. exp n 1 = n

n. exp 1 n = 1

n. exp n 2 = n * n

n. exp 0 n = if n = 0 then 1 else 0

m n. exp m (suc n) = m * exp m n

x y n. x y exp x n exp y n

m n p. exp m (n * p) = exp (exp m n) p

n x. 0 < exp x n ¬(x = 0) n = 0

m n. exp m n = 0 m = 0 ¬(n = 0)

m n p. exp m (n + p) = exp m n * exp m p

p m n. exp (m * n) p = exp m p * exp n p

x n. exp x n = 1 x = 1 n = 0

x y n. exp x n = exp y n x = y n = 0

x y n. exp x n exp y n x y n = 0

x y n. exp x n < exp y n x < y ¬(n = 0)

x y n. x < y ¬(n = 0) exp x n < exp y n

x m n.
    exp x m = exp x n if x = 0 then m = 0 n = 0 else x = 1 m = n

x m n.
    exp x m exp x n if x = 0 then m = 0 n = 0 else x = 1 m n

x m n. exp x m < exp x n 2 x m < n x = 0 ¬(m = 0) n = 0

Input Type Operators

Input Constants

Assumptions

T

¬F T

¬T F

bit0 0 = 0

t. t t

n. n n

F p. p

t. t ¬t

n. ¬(n < n)

(¬) = λp. p F

() = λp. p ((select) p)

t. (x. t) t

() = λp. p = λx. T

t. ¬¬t t

t. (T t) t

t. (t T) t

t. F t F

t. T t t

t. t F F

t. t T t

t. F t T

t. T t t

t. t T T

t. F t t

t. T t T

t. t F t

t. t T T

n. ¬(suc n = 0)

m. m < 0 F

n. 0 * n = 0

m. m * 0 = 0

n. 0 + n = n

m. m + 0 = m

t. (F t) ¬t

t. (t F) ¬t

t. t F ¬t

n. bit1 n = suc (bit0 n)

m. m * 1 = m

m. 1 * m = m

() = λp q. p q p

t. (t T) (t F)

m. m 0 m = 0

t1 t2. (if F then t1 else t2) = t2

t1 t2. (if T then t1 else t2) = t1

n. bit0 (suc n) = suc (suc (bit0 n))

x y. x = y y = x

t1 t2. t1 t2 t2 t1

m n. m * n = n * m

m n. m < n m n

n. 2 * n = n + n

m n. ¬(m < n) n m

m n. ¬(m n) n < m

() = λp q. (λf. f p q) = λf. f T T

() = λp. q. (x. p x q) q

m n. m + suc n = suc (m + n)

m n. suc m + n = suc (m + n)

m n. m < m + n 0 < n

t1 t2. ¬(t1 t2) ¬t1 ¬t2

t1 t2. ¬(t1 t2) ¬t1 ¬t2

m n. m * suc n = m + m * n

m n. suc m * n = m * n + n

m n. m n d. n = m + d

() = λp q. r. (p r) (q r) r

m n. m n n m m = n

m n. m < n d. n = m + suc d

p q. (x. p q x) p x. q x

m n. m < suc n m = n m < n

t1 t2 t3. (t1 t2) t3 t1 t2 t3

m n p. m * (n * p) = n * (m * p)

m n p. m * (n * p) = m * n * p

m n p. m < n n p m < p

m n p. m n n < p m < p

m n p. m n n p m p

p. (x. y. p x y) y. x. p x (y x)

m n. m + n = 0 m = 0 n = 0

P. P 0 (n. P n P (suc n)) n. P n

(∃!) = λp. () p x y. p x p y x = y

p q. (x. p x q x) (x. p x) x. q x

e f. ∃!fn. fn 0 = e n. fn (suc n) = f (fn n) n

m n. m * n = 1 m = 1 n = 1

m n p. m * n m * p m = 0 n p

m n p. m * p n * p m n p = 0

m n p. m * p < n * p m < n ¬(p = 0)

m n p q. m n p q m * p n * q

p c x y. p (if c then x else y) (c p x) (¬c p y)