Package natural-exp: Natural number exponentiation

Information

name	natural-exp
version	1.45
description	Natural number exponentiation
author	Joe Leslie-Hurd <joe@gilith.com>
license	MIT
requires	bool natural-add natural-def natural-div natural-mult natural-numeral natural-order natural-thm
show	Data.Bool Number.Natural

Files

Package tarball natural-exp-1.45.tgz
Theory source file natural-exp.thy (included in the package tarball)

Defined Constants

Number
- Natural
  - ↑
  - log

Theorems

⊦ ∀m. m ↑ 0 = 1

⊦ ∀n. n ↑ 1 = n

⊦ ∀n. n < 2 ↑ n

⊦ ∀n. 1 ↑ n = 1

⊦ ∀n. n ↑ 2 = n * n

⊦ ∀n. 0 ↑ n = if n = 0 then 1 else 0

⊦ ∀k. 1 < k ⇒ log k 1 = 0

⊦ ∀m n. m ↑ suc n = m * m ↑ n

⊦ ∀m n. odd (m ↑ n) ⇔ odd m ∨ n = 0

⊦ ∀k n. 1 < k ⇒ ∃m. n ≤ k ↑ m

⊦ ∀m n. even (m ↑ n) ⇔ even m ∧ ¬(n = 0)

⊦ ∀k m. 1 < k ⇒ log k (k ↑ m) = m

⊦ ∀x y n. x ≤ y ⇒ x ↑ n ≤ y ↑ n

⊦ ∀m n p. m ↑ (n * p) = (m ↑ n) ↑ p

⊦ ∀n x. 0 < x ↑ n ⇔ ¬(x = 0) ∨ n = 0

⊦ ∀m n. m ↑ n = 0 ⇔ m = 0 ∧ ¬(n = 0)

⊦ ∀m n p. m ↑ (n + p) = m ↑ n * m ↑ p

⊦ ∀p m n. (m * n) ↑ p = m ↑ p * n ↑ p

⊦ ∀x n. x ↑ n = 1 ⇔ x = 1 ∨ n = 0

⊦ ∀x y n. x ↑ n = y ↑ n ⇔ x = y ∨ n = 0

⊦ ∀x y n. x ↑ n ≤ y ↑ n ⇔ x ≤ y ∨ n = 0

⊦ ∀k n. 1 < k ∧ ¬(n = 0) ⇒ k ↑ log k n ≤ n

⊦ ∀x y n. x ↑ n < y ↑ n ⇔ x < y ∧ ¬(n = 0)

⊦ ∀x y n. x < y ∧ ¬(n = 0) ⇒ x ↑ n < y ↑ n

⊦ ∀k m n. 1 < k ∧ k ↑ m ≤ n ⇒ m ≤ log k n

⊦ ∀k m. 1 < k ⇒ log k (k ↑ (m + 1) - 1) = m

⊦ ∀n. (∃k m. odd m ∧ n = 2 ↑ k * m) ⇔ ¬(n = 0)

⊦ ∀k n. 1 < k ∧ ¬(n = 0) ⇒ (log k n = 0 ⇔ n < k)

⊦ ∀k n. 1 < k ∧ ¬(n = 0) ∧ n < k ⇒ log k n = 0

⊦ ∀n m p. ¬(n = 0) ⇒ (m mod n) ↑ p mod n = m ↑ p mod n

⊦ ∀k n. 1 < k ∧ ¬(n = 0) ⇒ n < k ↑ (log k n + 1)

⊦ ∀k n m. k ↑ m ≤ n ∧ n < k ↑ (m + 1) ⇒ log k n = m

⊦ ∀k n₁ n₂. 1 < k ∧ ¬(n₁ = 0) ∧ n₁ ≤ n₂ ⇒ log k n₁ ≤ log k n₂

⊦ ∀k m n. 1 < k ∧ ¬(n = 0) ∧ n < k ↑ m ⇒ log k n < m

⊦ ∀x p m n. ¬(p = 0) ⇒ x mod p ↑ m mod p ↑ n = x mod p ↑ min m n

⊦ ∀k n.
1 < k ∧ ¬(n = 0) ⇒ log k n = if n < k then 0 else log k (n div k) + 1

⊦ ∀x m n. x ↑ m = x ↑ n ⇔ if x = 0 then m = 0 ⇔ n = 0 else x = 1 ∨ m = n

⊦ ∀x m n. x ↑ m ≤ x ↑ n ⇔ if x = 0 then m = 0 ⇒ n = 0 else x = 1 ∨ m ≤ n

⊦ ∀x m n. x ↑ m < x ↑ n ⇔ 2 ≤ x ∧ m < n ∨ x = 0 ∧ ¬(m = 0) ∧ n = 0

⊦ ∀k n m. 1 < k ∧ ¬(n = 0) ⇒ (log k n = m ⇔ k ↑ m ≤ n ∧ n < k ↑ (m + 1))

⊦ ∀k n₁ n₂.
1 < k ∧ ¬(n₁ = 0) ∧ ¬(n₂ = 0) ⇒
log k (n₁ * n₂) ≤ log k n₁ + (log k n₂ + 1)

External Type Operators

→
bool
Number
- Natural
  - natural

External Constants

=
select
Data
- Bool
  - ∀
  - ∧
  - ⇒
  - ∃
  - ∃!
  - ∨
  - ¬
  - cond
  - ⊥
  - ⊤
Number
- Natural
  - *
  - +
  - -
  - <
  - ≤
  - bit0
  - bit1
  - div
  - even
  - min
  - minimal
  - mod
  - odd
  - suc
  - zero

Assumptions

⊦ ⊤

⊦ even 0

⊦ ¬odd 0

⊦ ¬⊥ ⇔ ⊤

⊦ ¬⊤ ⇔ ⊥

⊦ bit0 0 = 0

⊦ ∀t. t ⇒ t

⊦ ∀n. 0 ≤ n

⊦ ∀n. n ≤ n

⊦ ⊥ ⇔ ∀p. p

⊦ ∀t. t ∨ ¬t

⊦ ∀m. ¬(m < 0)

⊦ ∀n. ¬(n < n)

⊦ ∀n. n < suc n

⊦ (¬) = λp. p ⇒ ⊥

⊦ (∃) = λp. p ((select) p)

⊦ ∀t. (∀x. t) ⇔ t

⊦ ∀t. (∃x. t) ⇔ t

⊦ ∀t. (λx. t x) = t

⊦ (∀) = λp. p = λx. ⊤

⊦ ∀t. ¬¬t ⇔ t

⊦ ∀t. (⊤ ⇔ t) ⇔ t

⊦ ∀t. (t ⇔ ⊤) ⇔ t

⊦ ∀t. ⊥ ∧ t ⇔ ⊥

⊦ ∀t. ⊤ ∧ t ⇔ t

⊦ ∀t. t ∧ ⊥ ⇔ ⊥

⊦ ∀t. t ∧ ⊤ ⇔ t

⊦ ∀t. ⊥ ⇒ t ⇔ ⊤

⊦ ∀t. ⊤ ⇒ t ⇔ t

⊦ ∀t. t ⇒ ⊤ ⇔ ⊤

⊦ ∀t. ⊥ ∨ t ⇔ t

⊦ ∀t. ⊤ ∨ t ⇔ ⊤

⊦ ∀t. t ∨ ⊥ ⇔ t

⊦ ∀t. t ∨ ⊤ ⇔ ⊤

⊦ ∀n. ¬(suc n = 0)

⊦ ∀n. even n ∨ odd n

⊦ ∀n. 0 * n = 0

⊦ ∀m. m * 0 = 0

⊦ ∀n. 0 + n = n

⊦ ∀m. m + 0 = m

⊦ ∀t. (⊥ ⇔ t) ⇔ ¬t

⊦ ∀t. (t ⇔ ⊥) ⇔ ¬t

⊦ ∀t. t ⇒ ⊥ ⇔ ¬t

⊦ ∀n. bit1 n = suc (bit0 n)

⊦ ∀m. m * 1 = m

⊦ ∀m. 1 * m = m

⊦ ∀m n. m ≤ m + n

⊦ (⇒) = λp q. p ∧ q ⇔ p

⊦ ∀t. (t ⇔ ⊤) ∨ (t ⇔ ⊥)

⊦ ∀m. suc m = m + 1

⊦ ∀n. even (suc n) ⇔ ¬even n

⊦ ∀n. odd (suc n) ⇔ ¬odd n

⊦ ∀m. m ≤ 0 ⇔ m = 0

⊦ ∀n. suc n - 1 = n

⊦ ∀t₁ t₂. (if ⊥ then t₁ else t₂) = t₂

⊦ ∀t₁ t₂. (if ⊤ then t₁ else t₂) = t₁

⊦ ∀n. 0 < n ⇔ ¬(n = 0)

⊦ ∀n. bit0 (suc n) = suc (suc (bit0 n))

⊦ ∀x y. x = y ⇒ y = x

⊦ ∀t₁ t₂. t₁ ∨ t₂ ⇔ t₂ ∨ t₁

⊦ ∀m n. m * n = n * m

⊦ ∀m n. m + n = n + m

⊦ ∀m n. m < n ⇒ m ≤ n

⊦ ∀m n. m ≤ n ∨ n ≤ m

⊦ ∀n. 2 * n = n + n

⊦ ∀m n. ¬(m < n) ⇔ n ≤ m

⊦ ∀m n. ¬(m ≤ n) ⇔ n < m

⊦ ∀m n. m < suc n ⇔ m ≤ n

⊦ ∀m n. suc m ≤ n ⇔ m < n

⊦ ∀m. m = 0 ∨ ∃n. m = suc n

⊦ (∧) = λp q. (λf. f p q) = λf. f ⊤ ⊤

⊦ ∀p. ¬(∀x. p x) ⇔ ∃x. ¬p x

⊦ ∀p. ¬(∃x. p x) ⇔ ∀x. ¬p x

⊦ (∃) = λp. ∀q. (∀x. p x ⇒ q) ⇒ q

⊦ ∀t₁ t₂. ¬t₁ ⇒ ¬t₂ ⇔ t₂ ⇒ t₁

⊦ ∀m n. m < n ⇒ m mod n = m

⊦ ∀m n. m + suc n = suc (m + n)

⊦ ∀m n. suc m + n = suc (m + n)

⊦ ∀m n. m < m + n ⇔ 0 < n

⊦ ∀m n. suc m ≤ suc n ⇔ m ≤ n

⊦ ∀t₁ t₂. ¬(t₁ ∧ t₂) ⇔ ¬t₁ ∨ ¬t₂

⊦ ∀t₁ t₂. ¬(t₁ ∨ t₂) ⇔ ¬t₁ ∧ ¬t₂

⊦ ∀m n. min m n = if m ≤ n then m else n

⊦ ∀m n. even (m * n) ⇔ even m ∨ even n

⊦ ∀m n. odd (m * n) ⇔ odd m ∧ odd n

⊦ ∀m n. m * suc n = m + m * n

⊦ ∀m n. suc m * n = m * n + n

⊦ ∀m n. ¬(n = 0) ⇒ m mod n < n

⊦ ∀n. even n ⇔ ∃m. n = 2 * m

⊦ ∀m n. m ≤ n ⇔ ∃d. n = m + d

⊦ (∨) = λp q. ∀r. (p ⇒ r) ⇒ (q ⇒ r) ⇒ r

⊦ ∀m n. m ≤ n ∧ n ≤ m ⇔ m = n

⊦ ∀m n. m < n ⇔ ∃d. n = m + suc d

⊦ ∀p. (∃x y. p x y) ⇔ ∃y x. p x y

⊦ ∀p q. (∀x. p ⇒ q x) ⇔ p ⇒ ∀x. q x

⊦ ∀p q. p ∧ (∃x. q x) ⇔ ∃x. p ∧ q x

⊦ ∀p q. p ∨ (∃x. q x) ⇔ ∃x. p ∨ q x

⊦ ∀m n. m < suc n ⇔ m = n ∨ m < n

⊦ ∀p q. (∃x. p x) ∧ q ⇔ ∃x. p x ∧ q

⊦ ∀p q. (∃x. p x) ∨ q ⇔ ∃x. p x ∨ q

⊦ ∀x y z. x = y ∧ y = z ⇒ x = z

⊦ ∀t₁ t₂ t₃. (t₁ ∨ t₂) ∨ t₃ ⇔ t₁ ∨ t₂ ∨ t₃

⊦ ∀m n p. m * (n * p) = n * (m * p)

⊦ ∀m n p. m * (n * p) = m * n * p

⊦ ∀m n p. m + (n + p) = m + n + p

⊦ ∀m n p. m + n < m + p ⇔ n < p

⊦ ∀m n p. m + n ≤ m + p ⇔ n ≤ p

⊦ ∀m n p. m < n ∧ n < p ⇒ m < p

⊦ ∀m n p. m < n ∧ n ≤ p ⇒ m < p

⊦ ∀m n p. m ≤ n ∧ n < p ⇒ m < p

⊦ ∀m n p. m ≤ n ∧ n ≤ p ⇒ m ≤ p

⊦ ∀r. (∀x. ∃y. r x y) ⇔ ∃f. ∀x. r x (f x)

⊦ ∀m n. m * n = 0 ⇔ m = 0 ∨ n = 0

⊦ ∀m n. m + n = 0 ⇔ m = 0 ∧ n = 0

⊦ ∀p. p 0 ∧ (∀n. p n ⇒ p (suc n)) ⇒ ∀n. p n

⊦ ∀m n. ¬(n = 0) ⇒ (m div n = 0 ⇔ m < n)

⊦ (∃!) = λp. (∃) p ∧ ∀x y. p x ∧ p y ⇒ x = y

⊦ ∀p. (∀n. (∀m. m < n ⇒ p m) ⇒ p n) ⇒ ∀n. p n

⊦ ∀p q. (∀x. p x ∧ q x) ⇔ (∀x. p x) ∧ ∀x. q x

⊦ ∀p q. (∀x. p x ⇒ q x) ⇒ (∃x. p x) ⇒ ∃x. q x

⊦ ∀e f. ∃!fn. fn 0 = e ∧ ∀n. fn (suc n) = f (fn n) n

⊦ ∀m n. ¬(n = 0) ⇒ (m div n) * n + m mod n = m

⊦ ∀m n. m * n = 1 ⇔ m = 1 ∧ n = 1

⊦ ∀m n p. m * n ≤ m * p ⇔ m = 0 ∨ n ≤ p

⊦ ∀m n p. m * p ≤ n * p ⇔ m ≤ n ∨ p = 0

⊦ ∀p n. p n ∧ (∀m. m < n ⇒ ¬p m) ⇒ (minimal) p = n

⊦ ∀p. (∃n. p n) ⇔ p ((minimal) p) ∧ ∀m. m < (minimal) p ⇒ ¬p m

⊦ ∀m n p. m * n < m * p ⇔ ¬(m = 0) ∧ n < p

⊦ ∀m n p. m * p < n * p ⇔ m < n ∧ ¬(p = 0)

⊦ ∀m n p q. m < p ∧ n ≤ q ⇒ m + n < p + q

⊦ ∀m n p q. m ≤ n ∧ p ≤ q ⇒ m * p ≤ n * q

⊦ ∀p c x y. p (if c then x else y) ⇔ (c ⇒ p x) ∧ (¬c ⇒ p y)

⊦ ∀n m p. ¬(n = 0) ⇒ m * (p mod n) mod n = m * p mod n

⊦ ∀n m p. ¬(n = 0) ⇒ (m mod n) * p mod n = m * p mod n

⊦ ∀m n p. ¬(n * p = 0) ⇒ m mod n * p mod n = m mod n

⊦ ∀k p. 1 < k ∧ p 0 ∧ (∀n. ¬(n = 0) ∧ p (n div k) ⇒ p n) ⇒ ∀n. p n