Package natural-exp-log: Natural number logarithm

Information

name	natural-exp-log
version	1.6
description	Natural number logarithm
author	Joe Leslie-Hurd <joe@gilith.com>
license	MIT
requires	bool natural-add natural-def natural-div natural-exp-def natural-exp-thm natural-mult natural-numeral natural-order natural-thm
show	Data.Bool Number.Natural

Files

Package tarball natural-exp-log-1.6.tgz
Theory source file natural-exp-log.thy (included in the package tarball)

Defined Constant

Number
- Natural
  - log

Theorems

⊦ ∀k. 1 < k ⇒ log k 1 = 0

⊦ ∀k m. 1 < k ⇒ log k (k ↑ m) = m

⊦ ∀k n. 1 < k ∧ ¬(n = 0) ⇒ k ↑ log k n ≤ n

⊦ ∀k m n. 1 < k ∧ k ↑ m ≤ n ⇒ m ≤ log k n

⊦ ∀k m. 1 < k ⇒ log k (k ↑ (m + 1) - 1) = m

⊦ ∀k n. 1 < k ∧ ¬(n = 0) ⇒ (log k n = 0 ⇔ n < k)

⊦ ∀k n. 1 < k ∧ ¬(n = 0) ∧ n < k ⇒ log k n = 0

⊦ ∀k n. 1 < k ∧ ¬(n = 0) ⇒ n < k ↑ (log k n + 1)

⊦ ∀k n m. k ↑ m ≤ n ∧ n < k ↑ (m + 1) ⇒ log k n = m

⊦ ∀k n₁ n₂. 1 < k ∧ ¬(n₁ = 0) ∧ n₁ ≤ n₂ ⇒ log k n₁ ≤ log k n₂

⊦ ∀k m n. 1 < k ∧ ¬(n = 0) ∧ n < k ↑ m ⇒ log k n < m

⊦ ∀k n.
1 < k ∧ ¬(n = 0) ⇒ log k n = if n < k then 0 else log k (n div k) + 1

⊦ ∀k n m. 1 < k ∧ ¬(n = 0) ⇒ (log k n = m ⇔ k ↑ m ≤ n ∧ n < k ↑ (m + 1))

⊦ ∀k n₁ n₂.
1 < k ∧ ¬(n₁ = 0) ∧ ¬(n₂ = 0) ⇒
log k (n₁ * n₂) ≤ log k n₁ + (log k n₂ + 1)

External Type Operators

→
bool
Number
- Natural
  - natural

External Constants

=
Data
- Bool
  - ∀
  - ∧
  - ⇒
  - ∃
  - ∨
  - ¬
  - cond
  - ⊥
  - ⊤
Number
- Natural
  - *
  - +
  - -
  - <
  - ≤
  - ↑
  - bit0
  - bit1
  - div
  - minimal
  - mod
  - suc
  - zero

Assumptions

⊦ ⊤

⊦ ¬⊥ ⇔ ⊤

⊦ bit0 0 = 0

⊦ ∀n. 0 ≤ n

⊦ ∀n. n ≤ n

⊦ ⊥ ⇔ ∀p. p

⊦ ∀t. t ∨ ¬t

⊦ ∀m. ¬(m < 0)

⊦ ∀n. n < suc n

⊦ (¬) = λp. p ⇒ ⊥

⊦ (∀) = λp. p = λx. ⊤

⊦ ∀t. (⊤ ⇔ t) ⇔ t

⊦ ∀t. (t ⇔ ⊤) ⇔ t

⊦ ∀t. ⊥ ∧ t ⇔ ⊥

⊦ ∀t. ⊤ ∧ t ⇔ t

⊦ ∀t. t ∧ ⊤ ⇔ t

⊦ ∀t. ⊥ ⇒ t ⇔ ⊤

⊦ ∀t. ⊤ ⇒ t ⇔ t

⊦ ∀t. ⊥ ∨ t ⇔ t

⊦ ∀t. t ∨ ⊤ ⇔ ⊤

⊦ ∀n. ¬(suc n = 0)

⊦ ∀n. 0 + n = n

⊦ ∀t. (t ⇔ ⊥) ⇔ ¬t

⊦ ∀t. t ⇒ ⊥ ⇔ ¬t

⊦ ∀n. bit1 n = suc (bit0 n)

⊦ ∀m. m ↑ 0 = 1

⊦ ∀n. n ↑ 1 = n

⊦ ∀m. 1 * m = m

⊦ ∀m n. m ≤ m + n

⊦ (⇒) = λp q. p ∧ q ⇔ p

⊦ ∀m. suc m = m + 1

⊦ ∀m. m ≤ 0 ⇔ m = 0

⊦ ∀n. suc n - 1 = n

⊦ ∀t₁ t₂. (if ⊥ then t₁ else t₂) = t₂

⊦ ∀t₁ t₂. (if ⊤ then t₁ else t₂) = t₁

⊦ ∀n. 0 < n ⇔ ¬(n = 0)

⊦ ∀n. bit0 (suc n) = suc (suc (bit0 n))

⊦ ∀m n. m * n = n * m

⊦ ∀m n. m + n = n + m

⊦ ∀m n. m < n ⇒ m ≤ n

⊦ ∀m n. ¬(m < n) ⇔ n ≤ m

⊦ ∀m n. ¬(m ≤ n) ⇔ n < m

⊦ ∀m n. m < suc n ⇔ m ≤ n

⊦ ∀m n. suc m ≤ n ⇔ m < n

⊦ ∀m. m = 0 ∨ ∃n. m = suc n

⊦ (∧) = λp q. (λf. f p q) = λf. f ⊤ ⊤

⊦ (∃) = λp. ∀q. (∀x. p x ⇒ q) ⇒ q

⊦ ∀t₁ t₂. ¬t₁ ⇒ ¬t₂ ⇔ t₂ ⇒ t₁

⊦ ∀m n. m + suc n = suc (m + n)

⊦ ∀m n. suc m + n = suc (m + n)

⊦ ∀m n. suc m ≤ suc n ⇔ m ≤ n

⊦ ∀n. 0 ↑ n = if n = 0 then 1 else 0

⊦ ∀m n. m * suc n = m + m * n

⊦ ∀m n. m ↑ suc n = m * m ↑ n

⊦ ∀m n. ¬(n = 0) ⇒ m mod n < n

⊦ (∨) = λp q. ∀r. (p ⇒ r) ⇒ (q ⇒ r) ⇒ r

⊦ ∀k n. 1 < k ⇒ ∃m. n ≤ k ↑ m

⊦ ∀m n p. m + (n + p) = m + n + p

⊦ ∀m n p. m + n < m + p ⇔ n < p

⊦ ∀m n p. m + n ≤ m + p ⇔ n ≤ p

⊦ ∀m n p. m < n ∧ n < p ⇒ m < p

⊦ ∀m n p. m < n ∧ n ≤ p ⇒ m < p

⊦ ∀m n p. m ≤ n ∧ n ≤ p ⇒ m ≤ p

⊦ ∀m n. m * n = 0 ⇔ m = 0 ∨ n = 0

⊦ ∀m n. ¬(n = 0) ⇒ (m div n = 0 ⇔ m < n)

⊦ ∀m n. m ↑ n = 0 ⇔ m = 0 ∧ ¬(n = 0)

⊦ ∀m n p. m ↑ (n + p) = m ↑ n * m ↑ p

⊦ ∀m n. ¬(n = 0) ⇒ (m div n) * n + m mod n = m

⊦ ∀m n p. m * n ≤ m * p ⇔ m = 0 ∨ n ≤ p

⊦ ∀m n p. m * p ≤ n * p ⇔ m ≤ n ∨ p = 0

⊦ ∀p n. p n ∧ (∀m. m < n ⇒ ¬p m) ⇒ (minimal) p = n

⊦ ∀p. (∃n. p n) ⇔ p ((minimal) p) ∧ ∀m. m < (minimal) p ⇒ ¬p m

⊦ ∀m n p. m * n < m * p ⇔ ¬(m = 0) ∧ n < p

⊦ ∀m n p. m * p < n * p ⇔ m < n ∧ ¬(p = 0)

⊦ ∀x m n. x ↑ m ≤ x ↑ n ⇔ if x = 0 then m = 0 ⇒ n = 0 else x = 1 ∨ m ≤ n

⊦ ∀x m n. x ↑ m < x ↑ n ⇔ 2 ≤ x ∧ m < n ∨ x = 0 ∧ ¬(m = 0) ∧ n = 0