Package natural-exp-log-thm: Properties of natural number logarithm
Information
| name | natural-exp-log-thm |
| version | 1.8 |
| description | Properties of natural number logarithm |
| author | Joe Leslie-Hurd <joe@gilith.com> |
| license | MIT |
| provenance | HOL Light theory extracted on 2014-01-27 |
| requires | bool natural-add natural-def natural-div natural-exp-def natural-exp-log-def natural-exp-thm natural-mult natural-numeral natural-order natural-thm |
| show | Data.Bool Number.Natural |
Files
- Package tarball natural-exp-log-thm-1.8.tgz
- Theory source file natural-exp-log-thm.thy (included in the package tarball)
Theorems
⊦ ∀k. 1 < k ⇒ log k 1 = 0
⊦ ∀k m. 1 < k ⇒ log k (k ↑ m) = m
⊦ ∀k n. 1 < k ∧ ¬(n = 0) ⇒ k ↑ log k n ≤ n
⊦ ∀k m n. 1 < k ∧ k ↑ m ≤ n ⇒ m ≤ log k n
⊦ ∀k m. 1 < k ⇒ log k (k ↑ (m + 1) - 1) = m
⊦ ∀k n. 1 < k ∧ ¬(n = 0) ⇒ (log k n = 0 ⇔ n < k)
⊦ ∀k n. 1 < k ∧ ¬(n = 0) ∧ n < k ⇒ log k n = 0
⊦ ∀k n. 1 < k ∧ ¬(n = 0) ⇒ n < k ↑ (log k n + 1)
⊦ ∀k n1 n2. 1 < k ∧ ¬(n1 = 0) ∧ n1 ≤ n2 ⇒ log k n1 ≤ log k n2
⊦ ∀k m n. 1 < k ∧ ¬(n = 0) ∧ n < k ↑ m ⇒ log k n < m
⊦ ∀k n.
1 < k ∧ ¬(n = 0) ⇒ log k n = if n < k then 0 else log k (n div k) + 1
⊦ ∀k n m. 1 < k ∧ ¬(n = 0) ⇒ (log k n = m ⇔ k ↑ m ≤ n ∧ n < k ↑ (m + 1))
⊦ ∀k n1 n2.
1 < k ∧ ¬(n1 = 0) ∧ ¬(n2 = 0) ⇒
log k (n1 * n2) ≤ log k n1 + (log k n2 + 1)
External Type Operators
- →
- bool
- Number
- Natural
- natural
- Natural
External Constants
- =
- Data
- Bool
- ∀
- ∧
- ⇒
- ∃
- ∨
- ¬
- cond
- ⊥
- ⊤
- Bool
- Number
- Natural
- *
- +
- -
- <
- ≤
- ↑
- bit0
- bit1
- div
- log
- minimal
- mod
- suc
- zero
- Natural
Assumptions
⊦ ⊤
⊦ ¬⊥ ⇔ ⊤
⊦ bit0 0 = 0
⊦ ∀n. 0 ≤ n
⊦ ∀n. n ≤ n
⊦ ⊥ ⇔ ∀p. p
⊦ ∀t. t ∨ ¬t
⊦ ∀n. n < suc n
⊦ (¬) = λp. p ⇒ ⊥
⊦ (∀) = λp. p = λx. ⊤
⊦ ∀t. (⊤ ⇔ t) ⇔ t
⊦ ∀t. (t ⇔ ⊤) ⇔ t
⊦ ∀t. ⊥ ∧ t ⇔ ⊥
⊦ ∀t. ⊤ ∧ t ⇔ t
⊦ ∀t. t ∧ ⊤ ⇔ t
⊦ ∀t. ⊥ ⇒ t ⇔ ⊤
⊦ ∀t. ⊤ ⇒ t ⇔ t
⊦ ∀t. ⊥ ∨ t ⇔ t
⊦ ∀t. t ∨ ⊤ ⇔ ⊤
⊦ ∀n. ¬(suc n = 0)
⊦ ∀n. 0 + n = n
⊦ ∀t. (t ⇔ ⊥) ⇔ ¬t
⊦ ∀t. t ⇒ ⊥ ⇔ ¬t
⊦ ∀n. bit1 n = suc (bit0 n)
⊦ ∀m. m ↑ 0 = 1
⊦ ∀n. n ↑ 1 = n
⊦ ∀m. 1 * m = m
⊦ ∀m n. m ≤ m + n
⊦ (⇒) = λp q. p ∧ q ⇔ p
⊦ ∀m. suc m = m + 1
⊦ ∀m. m ≤ 0 ⇔ m = 0
⊦ ∀n. suc n - 1 = n
⊦ ∀t1 t2. (if ⊥ then t1 else t2) = t2
⊦ ∀t1 t2. (if ⊤ then t1 else t2) = t1
⊦ ∀n. 0 < n ⇔ ¬(n = 0)
⊦ ∀n. bit0 (suc n) = suc (suc (bit0 n))
⊦ ∀m n. m * n = n * m
⊦ ∀m n. m + n = n + m
⊦ ∀m n. m < n ⇒ m ≤ n
⊦ ∀m n. ¬(m < n) ⇔ n ≤ m
⊦ ∀m n. ¬(m ≤ n) ⇔ n < m
⊦ ∀m n. m < suc n ⇔ m ≤ n
⊦ ∀m n. suc m ≤ n ⇔ m < n
⊦ ∀m. m = 0 ∨ ∃n. m = suc n
⊦ (∧) = λp q. (λf. f p q) = λf. f ⊤ ⊤
⊦ (∃) = λp. ∀q. (∀x. p x ⇒ q) ⇒ q
⊦ ∀t1 t2. ¬t1 ⇒ ¬t2 ⇔ t2 ⇒ t1
⊦ ∀m n. m + suc n = suc (m + n)
⊦ ∀m n. suc m + n = suc (m + n)
⊦ ∀m n. suc m ≤ suc n ⇔ m ≤ n
⊦ ∀m n. m * suc n = m + m * n
⊦ ∀m n. m ↑ suc n = m * m ↑ n
⊦ ∀m n. ¬(n = 0) ⇒ m mod n < n
⊦ (∨) = λp q. ∀r. (p ⇒ r) ⇒ (q ⇒ r) ⇒ r
⊦ ∀k n. 1 < k ⇒ ∃m. n ≤ k ↑ m
⊦ ∀m n p. m + (n + p) = m + n + p
⊦ ∀m n p. m + n < m + p ⇔ n < p
⊦ ∀m n p. m + n ≤ m + p ⇔ n ≤ p
⊦ ∀m n p. m < n ∧ n < p ⇒ m < p
⊦ ∀m n p. m < n ∧ n ≤ p ⇒ m < p
⊦ ∀m n p. m ≤ n ∧ n ≤ p ⇒ m ≤ p
⊦ ∀m n. m * n = 0 ⇔ m = 0 ∨ n = 0
⊦ ∀m n. ¬(n = 0) ⇒ (m div n = 0 ⇔ m < n)
⊦ ∀m n. m ↑ n = 0 ⇔ m = 0 ∧ ¬(n = 0)
⊦ ∀m n p. m ↑ (n + p) = m ↑ n * m ↑ p
⊦ ∀m n. ¬(n = 0) ⇒ (m div n) * n + m mod n = m
⊦ ∀m n p. m * n ≤ m * p ⇔ m = 0 ∨ n ≤ p
⊦ ∀m n p. m * p ≤ n * p ⇔ m ≤ n ∨ p = 0
⊦ ∀p. (∃n. p n) ⇔ p ((minimal) p) ∧ ∀m. m < (minimal) p ⇒ ¬p m
⊦ ∀m n p. m * n < m * p ⇔ ¬(m = 0) ∧ n < p
⊦ ∀m n p. m * p < n * p ⇔ m < n ∧ ¬(p = 0)
⊦ ∀k n m. k ↑ m ≤ n ∧ n < k ↑ (m + 1) ⇒ log k n = m
⊦ ∀x m n. x ↑ m ≤ x ↑ n ⇔ if x = 0 then m = 0 ⇒ n = 0 else x = 1 ∨ m ≤ n
⊦ ∀x m n. x ↑ m < x ↑ n ⇔ 2 ≤ x ∧ m < n ∨ x = 0 ∧ ¬(m = 0) ∧ n = 0