Package natural-exp-order: natural-exp-order

Information

Files

• Package tarball natural-exp-order-1.4.tgz
• Theory file natural-exp-order.thy (included in the package tarball)

Theorems

⊦ ∀x y n.
    Number.Natural.≤ x y ⇒
    Number.Natural.≤ (Number.Natural.exp x n) (Number.Natural.exp y n)

⊦ ∀n x. Number.Natural.< 0 (Number.Natural.exp x n) ⇔ ¬(x = 0) ∨ n = 0

⊦ ∀x y n. Number.Natural.exp x n = Number.Natural.exp y n ⇔ x = y ∨ n = 0

⊦ ∀x y n.
    Number.Natural.≤ (Number.Natural.exp x n) (Number.Natural.exp y n) ⇔
    Number.Natural.≤ x y ∨ n = 0

⊦ ∀x y n.
    Number.Natural.< (Number.Natural.exp x n) (Number.Natural.exp y n) ⇔
    Number.Natural.< x y ∧ ¬(n = 0)

⊦ ∀x y n.
    Number.Natural.< x y ∧ ¬(n = 0) ⇒
    Number.Natural.< (Number.Natural.exp x n) (Number.Natural.exp y n)

⊦ ∀x m n.
    Number.Natural.exp x m = Number.Natural.exp x n ⇔
    if x = 0 then m = 0 ⇔ n = 0 else x = 1 ∨ m = n

⊦ ∀x m n.
    Number.Natural.≤ (Number.Natural.exp x m) (Number.Natural.exp x n) ⇔
    if x = 0 then m = 0 ⇒ n = 0 else x = 1 ∨ Number.Natural.≤ m n

⊦ ∀x m n.
    Number.Natural.< (Number.Natural.exp x m) (Number.Natural.exp x n) ⇔
    Number.Natural.≤ 2 x ∧ Number.Natural.< m n ∨ x = 0 ∧ ¬(m = 0) ∧ n = 0

Input Type Operators

• →
• bool
• Number
  • Natural
    • Number.Natural.natural

Input Constants

• =
• Data
  • Bool
    • ∀
    • ∧
    • ⇒
    • ∃
    • ∨
    • ~
    • cond
    • F
    • T
• Number
  • Natural
    • Number.Natural.*
    • Number.Natural.+
    • Number.Natural.<
    • Number.Natural.≤
    • Number.Natural.bit0
    • Number.Natural.bit1
    • Number.Natural.exp
    • Number.Natural.suc
    • Number.Natural.zero

Assumptions

⊦ T

⊦ ∀n. Number.Natural.≤ n n

⊦ F ⇔ ∀p. p

⊦ 1 = Number.Natural.suc 0

⊦ ∀t. t ∨ ¬t

⊦ ∀n. ¬Number.Natural.< n n

⊦ (~) = λp. p ⇒ F

⊦ ∀t. (∀x. t) ⇔ t

⊦ (∀) = λp. p = λx. T

⊦ ∀x. x = x ⇔ T

⊦ ∀n. ¬(Number.Natural.suc n = 0)

⊦ 2 = Number.Natural.suc 1

⊦ (⇒) = λp q. p ∧ q ⇔ p

⊦ ∀t. (t ⇔ T) ∨ (t ⇔ F)

⊦ ∀n. Number.Natural.exp 1 n = 1

⊦ (¬T ⇔ F) ∧ (¬F ⇔ T)

⊦ ∀m n. Number.Natural.< m n ⇒ Number.Natural.≤ m n

⊦ ∀n. Number.Natural.* 2 n = Number.Natural.+ n n

⊦ ∀m n. ¬Number.Natural.< m n ⇔ Number.Natural.≤ n m

⊦ ∀m n. ¬Number.Natural.≤ m n ⇔ Number.Natural.< n m

⊦ (∧) = λp q. (λf. f p q) = λf. f T T

⊦ (∃) = λP. ∀q. (∀x. P x ⇒ q) ⇒ q

⊦ ∀m n. Number.Natural.< m (Number.Natural.+ m n) ⇔ Number.Natural.< 0 n

⊦ ∀m n. Number.Natural.≤ m n ⇔ ∃d. n = Number.Natural.+ m d

⊦ (∨) = λp q. ∀r. (p ⇒ r) ⇒ (q ⇒ r) ⇒ r

⊦ ∀m n. Number.Natural.≤ m n ∧ Number.Natural.≤ n m ⇔ m = n

⊦ ∀m n.
    Number.Natural.< m n ⇔
    ∃d. n = Number.Natural.+ m (Number.Natural.suc d)

⊦ ∀P Q. (∀x. P ⇒ Q x) ⇔ P ⇒ ∀x. Q x

⊦ ∀t1 t2 t3. t1 ∨ t2 ∨ t3 ⇔ (t1 ∨ t2) ∨ t3

⊦ ∀m n p.
    Number.Natural.* m (Number.Natural.* n p) =
    Number.Natural.* (Number.Natural.* m n) p

⊦ ∀m n p.
    Number.Natural.< m n ∧ Number.Natural.≤ n p ⇒ Number.Natural.< m p

⊦ ∀m n p.
    Number.Natural.≤ m n ∧ Number.Natural.< n p ⇒ Number.Natural.< m p

⊦ ∀m n p.
    Number.Natural.≤ m n ∧ Number.Natural.≤ n p ⇒ Number.Natural.≤ m p

⊦ ∀t1 t2. (if T then t1 else t2) = t1 ∧ (if F then t1 else t2) = t2

⊦ ∀P. P 0 ∧ (∀n. P n ⇒ P (Number.Natural.suc n)) ⇒ ∀n. P n

⊦ (∀t. ¬¬t ⇔ t) ∧ (¬T ⇔ F) ∧ (¬F ⇔ T)

⊦ ∀m n. Number.Natural.exp m n = 0 ⇔ m = 0 ∧ ¬(n = 0)

⊦ ∀P Q. (∀x. P x ∧ Q x) ⇔ (∀x. P x) ∧ ∀x. Q x

⊦ ∀m n p.
    Number.Natural.≤ (Number.Natural.* m n) (Number.Natural.* m p) ⇔
    m = 0 ∨ Number.Natural.≤ n p

⊦ ∀m n p.
    Number.Natural.≤ (Number.Natural.* m p) (Number.Natural.* n p) ⇔
    Number.Natural.≤ m n ∨ p = 0

⊦ ∀m n p.
    Number.Natural.< (Number.Natural.* m p) (Number.Natural.* n p) ⇔
    Number.Natural.< m n ∧ ¬(p = 0)

⊦ ∀m n p q.
    Number.Natural.≤ m n ∧ Number.Natural.≤ p q ⇒
    Number.Natural.≤ (Number.Natural.* m p) (Number.Natural.* n q)

⊦ (∀m. Number.Natural.exp m 0 = 1) ∧
  ∀m n.
    Number.Natural.exp m (Number.Natural.suc n) =
    Number.Natural.* m (Number.Natural.exp m n)

⊦ ∀P c x y. P (if c then x else y) ⇔ (c ⇒ P x) ∧ (¬c ⇒ P y)

⊦ (∀m. Number.Natural.< m 0 ⇔ F) ∧
  ∀m n.
    Number.Natural.< m (Number.Natural.suc n) ⇔
    m = n ∨ Number.Natural.< m n

⊦ ∀t1 t2. (¬(t1 ∧ t2) ⇔ ¬t1 ∨ ¬t2) ∧ (¬(t1 ∨ t2) ⇔ ¬t1 ∧ ¬t2)

⊦ (∀m. Number.Natural.≤ m 0 ⇔ m = 0) ∧
  ∀m n.
    Number.Natural.≤ m (Number.Natural.suc n) ⇔
    m = Number.Natural.suc n ∨ Number.Natural.≤ m n

⊦ ∀t. ((T ⇔ t) ⇔ t) ∧ ((t ⇔ T) ⇔ t) ∧ ((F ⇔ t) ⇔ ¬t) ∧ ((t ⇔ F) ⇔ ¬t)

⊦ ∀t. (T ∧ t ⇔ t) ∧ (t ∧ T ⇔ t) ∧ (F ∧ t ⇔ F) ∧ (t ∧ F ⇔ F) ∧ (t ∧ t ⇔ t)

⊦ ∀t. (T ∨ t ⇔ T) ∧ (t ∨ T ⇔ T) ∧ (F ∨ t ⇔ t) ∧ (t ∨ F ⇔ t) ∧ (t ∨ t ⇔ t)

⊦ ∀t. (T ⇒ t ⇔ t) ∧ (t ⇒ T ⇔ T) ∧ (F ⇒ t ⇔ T) ∧ (t ⇒ t ⇔ T) ∧ (t ⇒ F ⇔ ¬t)

⊦ (∀n. Number.Natural.+ 0 n = n) ∧ (∀m. Number.Natural.+ m 0 = m) ∧
  (∀m n.
     Number.Natural.+ (Number.Natural.suc m) n =
     Number.Natural.suc (Number.Natural.+ m n)) ∧
  ∀m n.
    Number.Natural.+ m (Number.Natural.suc n) =
    Number.Natural.suc (Number.Natural.+ m n)

⊦ ∀p q r.
    (p ∨ q ⇔ q ∨ p) ∧ ((p ∨ q) ∨ r ⇔ p ∨ q ∨ r) ∧ (p ∨ q ∨ r ⇔ q ∨ p ∨ r) ∧
    (p ∨ p ⇔ p) ∧ (p ∨ p ∨ q ⇔ p ∨ q)

⊦ (∀n. Number.Natural.* 0 n = 0) ∧ (∀m. Number.Natural.* m 0 = 0) ∧
  (∀n. Number.Natural.* 1 n = n) ∧ (∀m. Number.Natural.* m 1 = m) ∧
  (∀m n.
     Number.Natural.* (Number.Natural.suc m) n =
     Number.Natural.+ (Number.Natural.* m n) n) ∧
  ∀m n.
    Number.Natural.* m (Number.Natural.suc n) =
    Number.Natural.+ m (Number.Natural.* m n)