Package natural-exp-thm: natural-exp-thm

Information

Files

• Package tarball natural-exp-thm-1.3.tgz
• Theory file natural-exp-thm.thy (included in the package tarball)

Theorems

⊦ ∀n. Number.Natural.exp n 1 = n

⊦ ∀n. Number.Natural.exp 1 n = 1

⊦ ∀n. Number.Natural.exp n 2 = Number.Natural.* n n

⊦ ∀n. Number.Natural.exp 0 n = if n = 0 then 1 else 0

⊦ ∀m n p.
    Number.Natural.exp m (Number.Natural.* n p) =
    Number.Natural.exp (Number.Natural.exp m n) p

⊦ ∀m n. Number.Natural.exp m n = 0 ⇔ m = 0 ∧ ¬(n = 0)

⊦ ∀m n p.
    Number.Natural.exp m (Number.Natural.+ n p) =
    Number.Natural.* (Number.Natural.exp m n) (Number.Natural.exp m p)

⊦ ∀p m n.
    Number.Natural.exp (Number.Natural.* m n) p =
    Number.Natural.* (Number.Natural.exp m p) (Number.Natural.exp n p)

⊦ ∀x n. Number.Natural.exp x n = 1 ⇔ x = 1 ∨ n = 0

Input Type Operators

• →
• bool
• Number
  • Natural
    • Number.Natural.natural

Input Constants

• =
• Data
  • Bool
    • ∀
    • ∧
    • ⇒
    • ∨
    • ~
    • cond
    • F
    • T
• Number
  • Natural
    • Number.Natural.*
    • Number.Natural.+
    • Number.Natural.bit0
    • Number.Natural.bit1
    • Number.Natural.exp
    • Number.Natural.suc
    • Number.Natural.zero

Assumptions

⊦ T

⊦ F ⇔ ∀p. p

⊦ 1 = Number.Natural.suc 0

⊦ (~) = λp. p ⇒ F

⊦ ∀t. (∀x. t) ⇔ t

⊦ (∀) = λp. p = λx. T

⊦ ∀x. x = x ⇔ T

⊦ ∀n. ¬(Number.Natural.suc n = 0)

⊦ ∀n. Number.Natural.bit0 n = Number.Natural.+ n n

⊦ (⇒) = λp q. p ∧ q ⇔ p

⊦ ∀t. (t ⇔ T) ∨ (t ⇔ F)

⊦ ∀n. Number.Natural.bit1 n = Number.Natural.suc (Number.Natural.+ n n)

⊦ (¬T ⇔ F) ∧ (¬F ⇔ T)

⊦ ∀m n. Number.Natural.* m n = Number.Natural.* n m

⊦ (∧) = λp q. (λf. f p q) = λf. f T T

⊦ (∨) = λp q. ∀r. (p ⇒ r) ⇒ (q ⇒ r) ⇒ r

⊦ ∀m n. Number.Natural.+ m n = 0 ⇔ m = 0 ∧ n = 0

⊦ ∀P. P 0 ∧ (∀n. P n ⇒ P (Number.Natural.suc n)) ⇒ ∀n. P n

⊦ ∀m n. Number.Natural.* m n = 1 ⇔ m = 1 ∧ n = 1

⊦ (∀m. Number.Natural.exp m 0 = 1) ∧
  ∀m n.
    Number.Natural.exp m (Number.Natural.suc n) =
    Number.Natural.* m (Number.Natural.exp m n)

⊦ ∀P c x y. P (if c then x else y) ⇔ (c ⇒ P x) ∧ (¬c ⇒ P y)

⊦ ∀t. ((T ⇔ t) ⇔ t) ∧ ((t ⇔ T) ⇔ t) ∧ ((F ⇔ t) ⇔ ¬t) ∧ ((t ⇔ F) ⇔ ¬t)

⊦ ∀t. (T ∧ t ⇔ t) ∧ (t ∧ T ⇔ t) ∧ (F ∧ t ⇔ F) ∧ (t ∧ F ⇔ F) ∧ (t ∧ t ⇔ t)

⊦ ∀t. (T ∨ t ⇔ T) ∧ (t ∨ T ⇔ T) ∧ (F ∨ t ⇔ t) ∧ (t ∨ F ⇔ t) ∧ (t ∨ t ⇔ t)

⊦ ∀m n p.
    Number.Natural.* m n = Number.Natural.* n m ∧
    Number.Natural.* (Number.Natural.* m n) p =
    Number.Natural.* m (Number.Natural.* n p) ∧
    Number.Natural.* m (Number.Natural.* n p) =
    Number.Natural.* n (Number.Natural.* m p)

⊦ (∀n. Number.Natural.+ 0 n = n) ∧ (∀m. Number.Natural.+ m 0 = m) ∧
  (∀m n.
     Number.Natural.+ (Number.Natural.suc m) n =
     Number.Natural.suc (Number.Natural.+ m n)) ∧
  ∀m n.
    Number.Natural.+ m (Number.Natural.suc n) =
    Number.Natural.suc (Number.Natural.+ m n)

⊦ (∀n. Number.Natural.* 0 n = 0) ∧ (∀m. Number.Natural.* m 0 = 0) ∧
  (∀n. Number.Natural.* 1 n = n) ∧ (∀m. Number.Natural.* m 1 = m) ∧
  (∀m n.
     Number.Natural.* (Number.Natural.suc m) n =
     Number.Natural.+ (Number.Natural.* m n) n) ∧
  ∀m n.
    Number.Natural.* m (Number.Natural.suc n) =
    Number.Natural.+ m (Number.Natural.* m n)