Package natural-exp-thm: Properties of natural number exponentiation
Information
| name | natural-exp-thm |
| version | 1.47 |
| description | Properties of natural number exponentiation |
| author | Joe Leslie-Hurd <joe@gilith.com> |
| license | HOLLight |
| provenance | HOL Light theory exported on 2017-05-25 |
| checksum | a2cadc1fe4d362b8b1759875cf8213674c78a075 |
| requires | bool natural-add natural-def natural-div natural-exp-def natural-mult natural-numeral natural-order natural-thm |
| show | Data.Bool Number.Natural |
Files
- Package tarball natural-exp-thm-1.47.tgz
- Theory source file natural-exp-thm.thy (included in the package tarball)
Theorems
⊦ ∀n. n ↑ 1 = n
⊦ ∀n. n < 2 ↑ n
⊦ ∀n. 1 ↑ n = 1
⊦ ∀n. n ↑ 2 = n * n
⊦ ∀n. 0 ↑ n = if n = 0 then 1 else 0
⊦ ∀m n. odd (m ↑ n) ⇔ odd m ∨ n = 0
⊦ ∀k n. 1 < k ⇒ ∃m. n ≤ k ↑ m
⊦ ∀m n. even (m ↑ n) ⇔ even m ∧ ¬(n = 0)
⊦ ∀x y n. x ≤ y ⇒ x ↑ n ≤ y ↑ n
⊦ ∀m n p. m ↑ (n * p) = (m ↑ n) ↑ p
⊦ ∀n x. 0 < x ↑ n ⇔ ¬(x = 0) ∨ n = 0
⊦ ∀m n. m ↑ n = 0 ⇔ m = 0 ∧ ¬(n = 0)
⊦ ∀m n p. m ↑ (n + p) = m ↑ n * m ↑ p
⊦ ∀p m n. (m * n) ↑ p = m ↑ p * n ↑ p
⊦ ∀x n. x ↑ n = 1 ⇔ x = 1 ∨ n = 0
⊦ ∀x y n. x ↑ n = y ↑ n ⇔ x = y ∨ n = 0
⊦ ∀x y n. x ↑ n ≤ y ↑ n ⇔ x ≤ y ∨ n = 0
⊦ ∀x y n. x ↑ n < y ↑ n ⇔ x < y ∧ ¬(n = 0)
⊦ ∀x y n. x < y ∧ ¬(n = 0) ⇒ x ↑ n < y ↑ n
⊦ ∀n. (∃k m. odd m ∧ n = 2 ↑ k * m) ⇔ ¬(n = 0)
⊦ ∀n m p. ¬(n = 0) ⇒ (m mod n) ↑ p mod n = m ↑ p mod n
⊦ ∀x p m n. ¬(p = 0) ⇒ x mod p ↑ m mod p ↑ n = x mod p ↑ min m n
⊦ ∀m n p. ¬(m = 0) ⇒ m ↑ n mod m ↑ p = if p ≤ n ∨ m = 1 then 0 else m ↑ n
⊦ ∀x m n. x ↑ m = x ↑ n ⇔ if x = 0 then m = 0 ⇔ n = 0 else x = 1 ∨ m = n
⊦ ∀x m n. x ↑ m ≤ x ↑ n ⇔ if x = 0 then m = 0 ⇒ n = 0 else x = 1 ∨ m ≤ n
⊦ ∀m n p.
¬(m = 0) ⇒
m ↑ n div m ↑ p = if p ≤ n then m ↑ (n - p) else if m = 1 then 1 else 0
⊦ ∀x m n. x ↑ m < x ↑ n ⇔ 2 ≤ x ∧ m < n ∨ x = 0 ∧ ¬(m = 0) ∧ n = 0
External Type Operators
- →
- bool
- Number
- Natural
- natural
- Natural
External Constants
- =
- Data
- Bool
- ∀
- ∧
- ⇒
- ∃
- ∨
- ¬
- cond
- ⊥
- ⊤
- Bool
- Number
- Natural
- *
- +
- -
- <
- ≤
- ↑
- bit0
- bit1
- div
- even
- min
- mod
- odd
- suc
- zero
- Natural
Assumptions
⊦ ⊤
⊦ even 0
⊦ ¬odd 0
⊦ ¬⊥ ⇔ ⊤
⊦ ¬⊤ ⇔ ⊥
⊦ bit0 0 = 0
⊦ ∀t. t ⇒ t
⊦ ∀n. 0 ≤ n
⊦ ∀n. n ≤ n
⊦ ⊥ ⇔ ∀p. p
⊦ ∀t. t ∨ ¬t
⊦ ∀m. ¬(m < 0)
⊦ ∀n. ¬(n < n)
⊦ (¬) = λp. p ⇒ ⊥
⊦ ∀t. (∀x. t) ⇔ t
⊦ ∀t. (∃x. t) ⇔ t
⊦ ∀t. (λx. t x) = t
⊦ (∀) = λp. p = λx. ⊤
⊦ ∀t. ¬¬t ⇔ t
⊦ ∀t. (⊤ ⇔ t) ⇔ t
⊦ ∀t. (t ⇔ ⊤) ⇔ t
⊦ ∀t. ⊥ ∧ t ⇔ ⊥
⊦ ∀t. ⊤ ∧ t ⇔ t
⊦ ∀t. t ∧ ⊥ ⇔ ⊥
⊦ ∀t. t ∧ ⊤ ⇔ t
⊦ ∀t. ⊥ ⇒ t ⇔ ⊤
⊦ ∀t. ⊤ ⇒ t ⇔ t
⊦ ∀t. t ⇒ ⊤ ⇔ ⊤
⊦ ∀t. ⊥ ∨ t ⇔ t
⊦ ∀t. ⊤ ∨ t ⇔ ⊤
⊦ ∀t. t ∨ ⊥ ⇔ t
⊦ ∀t. t ∨ ⊤ ⇔ ⊤
⊦ ∀n. ¬(suc n = 0)
⊦ ∀n. even n ∨ odd n
⊦ ∀n. 0 * n = 0
⊦ ∀m. m * 0 = 0
⊦ ∀n. 0 + n = n
⊦ ∀m. m + 0 = m
⊦ ∀t. (⊥ ⇔ t) ⇔ ¬t
⊦ ∀t. (t ⇔ ⊥) ⇔ ¬t
⊦ ∀t. t ⇒ ⊥ ⇔ ¬t
⊦ ∀n. bit1 n = suc (bit0 n)
⊦ ∀m. m ↑ 0 = 1
⊦ ∀m. m * 1 = m
⊦ ∀m. 1 * m = m
⊦ ∀m n. m ≤ m + n
⊦ (⇒) = λp q. p ∧ q ⇔ p
⊦ ∀t. (t ⇔ ⊤) ∨ (t ⇔ ⊥)
⊦ ∀m. suc m = m + 1
⊦ ∀n. even (suc n) ⇔ ¬even n
⊦ ∀n. odd (suc n) ⇔ ¬odd n
⊦ ∀m. m ≤ 0 ⇔ m = 0
⊦ ∀t1 t2. (if ⊥ then t1 else t2) = t2
⊦ ∀t1 t2. (if ⊤ then t1 else t2) = t1
⊦ ∀n. 0 < n ⇔ ¬(n = 0)
⊦ ∀n. bit0 (suc n) = suc (suc (bit0 n))
⊦ ∀x y. x = y ⇒ y = x
⊦ ∀t1 t2. t1 ∨ t2 ⇔ t2 ∨ t1
⊦ ∀m n. m * n = n * m
⊦ ∀m n. m + n = n + m
⊦ ∀m n. m < n ⇒ m ≤ n
⊦ ∀m n. m ≤ n ∨ n ≤ m
⊦ ∀n. 2 * n = n + n
⊦ ∀m n. ¬(m < n) ⇔ n ≤ m
⊦ ∀m n. ¬(m ≤ n) ⇔ n < m
⊦ ∀m n. suc m ≤ n ⇔ m < n
⊦ ∀m. m = 0 ∨ ∃n. m = suc n
⊦ (∧) = λp q. (λf. f p q) = λf. f ⊤ ⊤
⊦ ∀p. ¬(∀x. p x) ⇔ ∃x. ¬p x
⊦ ∀p. ¬(∃x. p x) ⇔ ∀x. ¬p x
⊦ (∃) = λp. ∀q. (∀x. p x ⇒ q) ⇒ q
⊦ ∀m n. m < n ⇒ m mod n = m
⊦ ∀m n. m + suc n = suc (m + n)
⊦ ∀m n. suc m + n = suc (m + n)
⊦ ∀m n. m < m + n ⇔ 0 < n
⊦ ∀t1 t2. ¬(t1 ∧ t2) ⇔ ¬t1 ∨ ¬t2
⊦ ∀t1 t2. ¬(t1 ∨ t2) ⇔ ¬t1 ∧ ¬t2
⊦ ∀m n. min m n = if m ≤ n then m else n
⊦ ∀m n. even (m * n) ⇔ even m ∨ even n
⊦ ∀m n. odd (m * n) ⇔ odd m ∧ odd n
⊦ ∀m n. m * suc n = m + m * n
⊦ ∀m n. m ↑ suc n = m * m ↑ n
⊦ ∀m n. suc m * n = m * n + n
⊦ ∀m n. ¬(n = 0) ⇒ m mod n < n
⊦ ∀n. even n ⇔ ∃m. n = 2 * m
⊦ ∀m n. m ≤ n ⇔ ∃d. n = m + d
⊦ (∨) = λp q. ∀r. (p ⇒ r) ⇒ (q ⇒ r) ⇒ r
⊦ ∀m n. n ≤ m ⇒ m - n + n = m
⊦ ∀m n. m ≤ n ∧ n ≤ m ⇔ m = n
⊦ ∀m n. m < n ⇔ ∃d. n = m + suc d
⊦ ∀p. (∃x y. p x y) ⇔ ∃y x. p x y
⊦ ∀p q. (∀x. p ⇒ q x) ⇔ p ⇒ ∀x. q x
⊦ ∀p q. p ∧ (∃x. q x) ⇔ ∃x. p ∧ q x
⊦ ∀p q. p ∨ (∃x. q x) ⇔ ∃x. p ∨ q x
⊦ ∀m n. m < suc n ⇔ m = n ∨ m < n
⊦ ∀p q. (∃x. p x) ∧ q ⇔ ∃x. p x ∧ q
⊦ ∀p q. (∃x. p x) ∨ q ⇔ ∃x. p x ∨ q
⊦ ∀x y z. x = y ∧ y = z ⇒ x = z
⊦ ∀t1 t2 t3. (t1 ∨ t2) ∨ t3 ⇔ t1 ∨ t2 ∨ t3
⊦ ∀m n p. m * (n * p) = n * (m * p)
⊦ ∀m n p. m * (n * p) = m * n * p
⊦ ∀m n p. m + n < m + p ⇔ n < p
⊦ ∀m n p. m < n ∧ n ≤ p ⇒ m < p
⊦ ∀m n p. m ≤ n ∧ n < p ⇒ m < p
⊦ ∀m n p. m ≤ n ∧ n ≤ p ⇒ m ≤ p
⊦ ∀r. (∀x. ∃y. r x y) ⇔ ∃f. ∀x. r x (f x)
⊦ ∀m n. m * n = 0 ⇔ m = 0 ∨ n = 0
⊦ ∀m n. m + n = 0 ⇔ m = 0 ∧ n = 0
⊦ ∀p. p 0 ∧ (∀n. p n ⇒ p (suc n)) ⇒ ∀n. p n
⊦ ∀p. (∀n. (∀m. m < n ⇒ p m) ⇒ p n) ⇒ ∀n. p n
⊦ ∀p q. (∀x. p x ∧ q x) ⇔ (∀x. p x) ∧ ∀x. q x
⊦ ∀p q. (∀x. p x ⇒ q x) ⇒ (∃x. p x) ⇒ ∃x. q x
⊦ ∀p q. (∀x. p x) ∧ (∀x. q x) ⇔ ∀x. p x ∧ q x
⊦ ∀m n. ¬(n = 0) ⇒ (m div n) * n + m mod n = m
⊦ ∀m n. m * n = 1 ⇔ m = 1 ∧ n = 1
⊦ ∀m n p. m * n ≤ m * p ⇔ m = 0 ∨ n ≤ p
⊦ ∀m n p. m * p ≤ n * p ⇔ m ≤ n ∨ p = 0
⊦ ∀m n p. m * p < n * p ⇔ m < n ∧ ¬(p = 0)
⊦ ∀m n p q. m < p ∧ n ≤ q ⇒ m + n < p + q
⊦ ∀m n p q. m ≤ n ∧ p ≤ q ⇒ m * p ≤ n * q
⊦ ∀p c x y. p (if c then x else y) ⇔ (c ⇒ p x) ∧ (¬c ⇒ p y)
⊦ ∀n m p. ¬(n = 0) ⇒ m * (p mod n) mod n = m * p mod n
⊦ ∀n m p. ¬(n = 0) ⇒ (m mod n) * p mod n = m * p mod n
⊦ ∀m n p. ¬(n * p = 0) ⇒ m mod n * p mod n = m mod n
⊦ ∀m n q r. m = q * n + r ∧ r < n ⇒ m div n = q
⊦ ∀m n q r. m = q * n + r ∧ r < n ⇒ m mod n = r
⊦ ∀k p. 1 < k ∧ p 0 ∧ (∀n. ¬(n = 0) ∧ p (n div k) ⇒ p n) ⇒ ∀n. p n