Package natural-mult: Natural number multiplication
Information
| name | natural-mult |
| version | 1.53 |
| description | Natural number multiplication |
| author | Joe Leslie-Hurd <joe@gilith.com> |
| license | MIT |
| requires | bool natural-add natural-def natural-numeral natural-order natural-thm |
| show | Data.Bool Number.Natural |
Files
- Package tarball natural-mult-1.53.tgz
- Theory source file natural-mult.thy (included in the package tarball)
Defined Constant
- Number
- Natural
- *
- Natural
Theorems
⊦ ∀n. n ≤ n * n
⊦ ∀n. 0 * n = 0
⊦ ∀m. m * 0 = 0
⊦ ∀m. m * 1 = m
⊦ ∀m. 1 * m = m
⊦ ∀m n. m * n = n * m
⊦ ∀n. 2 * n = n + n
⊦ ∀m n. m * suc n = m + m * n
⊦ ∀m n. suc m * n = m * n + n
⊦ ∀a b. (∀n. a * n ≤ b) ⇔ a = 0
⊦ ∀m n p. m * (n * p) = n * (m * p)
⊦ ∀m n p. m * (n * p) = m * n * p
⊦ ∀m n. 0 < m * n ⇔ 0 < m ∧ 0 < n
⊦ ∀m n. m * n = 0 ⇔ m = 0 ∨ n = 0
⊦ ∀m n. m = m * n ⇔ m = 0 ∨ n = 1
⊦ ∀m n. m = n * m ⇔ m = 0 ∨ n = 1
⊦ ∀m n. m * n = m ⇔ m = 0 ∨ n = 1
⊦ ∀m n. n * m = m ⇔ m = 0 ∨ n = 1
⊦ ∀m n p. m * (n + p) = m * n + m * p
⊦ ∀m n p. (m + n) * p = m * p + n * p
⊦ ∀a b c. (∀n. a * n ≤ b * n + c) ⇔ a ≤ b
⊦ ∀m n. m * n = 1 ⇔ m = 1 ∧ n = 1
⊦ ∀m n p. m * n = m * p ⇔ m = 0 ∨ n = p
⊦ ∀m n p. m * p = n * p ⇔ m = n ∨ p = 0
⊦ ∀m n p. m * n ≤ m * p ⇔ m = 0 ∨ n ≤ p
⊦ ∀m n p. m * p ≤ n * p ⇔ m ≤ n ∨ p = 0
⊦ ∀m n p. m * n < m * p ⇔ ¬(m = 0) ∧ n < p
⊦ ∀m n p. m * p < n * p ⇔ m < n ∧ ¬(p = 0)
⊦ ∀m n p. ¬(m = 0) ∧ n < p ⇒ m * n < m * p
⊦ ∀m n p q. m < n ∧ p < q ⇒ m * p < n * q
⊦ ∀m n p q. m ≤ n ∧ p ≤ q ⇒ m * p ≤ n * q
⊦ ∀m n p. n ≤ m ⇒ (m - n) * p = m * p - n * p
⊦ ∀m n p. p ≤ n ⇒ m * (n - p) = m * n - m * p
⊦ ∀p. (∃b. ∀n. p n ≤ b) ⇔ ∃a b. ∀n. n * p n ≤ a * n + b
⊦ ∀p a b.
p 0 0 = 0 ∧ (∀m n. p m n ≤ a * (m + n) + b) ⇒
∃c. ∀m n. p m n ≤ c * (m + n)
External Type Operators
- →
- bool
- Number
- Natural
- natural
- Natural
External Constants
- =
- select
- Data
- Bool
- ∀
- ∧
- ⇒
- ∃
- ∃!
- ∨
- ¬
- ⊥
- ⊤
- Bool
- Number
- Natural
- +
- -
- <
- ≤
- bit0
- bit1
- suc
- zero
- Natural
Assumptions
⊦ ⊤
⊦ ¬⊥ ⇔ ⊤
⊦ ¬⊤ ⇔ ⊥
⊦ bit0 0 = 0
⊦ ∀n. 0 ≤ n
⊦ ∀n. n ≤ n
⊦ ⊥ ⇔ ∀p. p
⊦ ∀t. t ∨ ¬t
⊦ ∀m. ¬(m < 0)
⊦ ∀n. ¬(n < n)
⊦ ∀n. 0 < suc n
⊦ (¬) = λp. p ⇒ ⊥
⊦ (∃) = λp. p ((select) p)
⊦ ∀t. (∀x. t) ⇔ t
⊦ (∀) = λp. p = λx. ⊤
⊦ ∀t. ¬¬t ⇔ t
⊦ ∀t. (⊤ ⇔ t) ⇔ t
⊦ ∀t. (t ⇔ ⊤) ⇔ t
⊦ ∀t. ⊥ ∧ t ⇔ ⊥
⊦ ∀t. ⊤ ∧ t ⇔ t
⊦ ∀t. t ∧ ⊥ ⇔ ⊥
⊦ ∀t. t ∧ ⊤ ⇔ t
⊦ ∀t. t ∧ t ⇔ t
⊦ ∀t. ⊥ ⇒ t ⇔ ⊤
⊦ ∀t. ⊤ ⇒ t ⇔ t
⊦ ∀t. t ⇒ ⊤ ⇔ ⊤
⊦ ∀t. ⊥ ∨ t ⇔ t
⊦ ∀t. ⊤ ∨ t ⇔ ⊤
⊦ ∀t. t ∨ ⊤ ⇔ ⊤
⊦ ∀t. t ∨ t ⇔ t
⊦ ∀n. ¬(suc n = 0)
⊦ ∀n. 0 + n = n
⊦ ∀m. m + 0 = m
⊦ ∀t. (⊥ ⇔ t) ⇔ ¬t
⊦ ∀t. t ⇒ ⊥ ⇔ ¬t
⊦ ∀n. bit1 n = suc (bit0 n)
⊦ ∀m n. m ≤ m + n
⊦ ∀m n. n ≤ m + n
⊦ (⇒) = λp q. p ∧ q ⇔ p
⊦ ∀t. (t ⇔ ⊤) ∨ (t ⇔ ⊥)
⊦ ∀m. m ≤ 0 ⇔ m = 0
⊦ ∀n. bit0 (suc n) = suc (suc (bit0 n))
⊦ ∀x y. x = y ⇔ y = x
⊦ ∀t1 t2. t1 ∧ t2 ⇔ t2 ∧ t1
⊦ ∀t1 t2. t1 ∨ t2 ⇔ t2 ∨ t1
⊦ ∀m n. m + n = n + m
⊦ ∀m n. m < n ⇒ m ≤ n
⊦ ∀m n. m + n - m = n
⊦ ∀m n. ¬(m ≤ n) ⇔ n < m
⊦ ∀m n. m < suc n ⇔ m ≤ n
⊦ (∧) = λp q. (λf. f p q) = λf. f ⊤ ⊤
⊦ (∃) = λp. ∀q. (∀x. p x ⇒ q) ⇒ q
⊦ ∀m n. m + suc n = suc (m + n)
⊦ ∀m n. suc m + n = suc (m + n)
⊦ ∀m n. suc m = suc n ⇔ m = n
⊦ ∀m n. suc m < suc n ⇔ m < n
⊦ ∀m n. suc m ≤ suc n ⇔ m ≤ n
⊦ ∀m n. m ≤ n ⇔ ∃d. n = m + d
⊦ (∨) = λp q. ∀r. (p ⇒ r) ⇒ (q ⇒ r) ⇒ r
⊦ ∀m n. m < n ⇔ ∃d. n = m + suc d
⊦ ∀m n. m < n ⇔ m ≤ n ∧ ¬(m = n)
⊦ ∀m n p. m + (n + p) = m + n + p
⊦ ∀m n p. m + n = m + p ⇔ n = p
⊦ ∀m n p. m + n < m + p ⇔ n < p
⊦ ∀m n p. m + n ≤ m + p ⇔ n ≤ p
⊦ ∀m n p. m ≤ n ∧ n < p ⇒ m < p
⊦ ∀m n p. m ≤ n ∧ n ≤ p ⇒ m ≤ p
⊦ ∀p. (∀x. ∃y. p x y) ⇔ ∃y. ∀x. p x (y x)
⊦ ∀m n. m + n = 0 ⇔ m = 0 ∧ n = 0
⊦ ∀p. p 0 ∧ (∀n. p n ⇒ p (suc n)) ⇒ ∀n. p n
⊦ (∃!) = λp. (∃) p ∧ ∀x y. p x ∧ p y ⇒ x = y
⊦ ∀e f. ∃!fn. fn 0 = e ∧ ∀n. fn (suc n) = f (fn n) n