Package natural-mult-order: natural-mult-order

Information

name	natural-mult-order
version	1.9
description	natural-mult-order
author	Joe Hurd <joe@gilith.com>
license	HOLLight
provenance	HOL Light theory extracted on 2011-09-21
show	Data.Bool

Files

Package tarball natural-mult-order-1.9.tgz
Theory file natural-mult-order.thy (included in the package tarball)

Theorems

⊦ ∀n. Number.Natural.≤ n (Number.Natural.* n n)

⊦ ∀A B. (∀n. Number.Natural.≤ (Number.Natural.* A n) B) ⇔ A = 0

⊦ ∀m n.
Number.Natural.< 0 (Number.Natural.* m n) ⇔
Number.Natural.< 0 m ∧ Number.Natural.< 0 n

⊦ ∀A B C.
    (∀n.
       Number.Natural.≤ (Number.Natural.* A n)
         (Number.Natural.+ (Number.Natural.* B n) C)) ⇔
    Number.Natural.≤ A B

⊦ ∀m n p.
Number.Natural.≤ (Number.Natural.* m n) (Number.Natural.* m p) ⇔
m = 0 ∨ Number.Natural.≤ n p

⊦ ∀m n p.
Number.Natural.≤ (Number.Natural.* m p) (Number.Natural.* n p) ⇔
Number.Natural.≤ m n ∨ p = 0

⊦ ∀m n p.
Number.Natural.< (Number.Natural.* m n) (Number.Natural.* m p) ⇔
¬(m = 0) ∧ Number.Natural.< n p

⊦ ∀m n p.
Number.Natural.< (Number.Natural.* m p) (Number.Natural.* n p) ⇔
Number.Natural.< m n ∧ ¬(p = 0)

⊦ ∀m n p.
¬(m = 0) ∧ Number.Natural.< n p ⇒
Number.Natural.< (Number.Natural.* m n) (Number.Natural.* m p)

⊦ ∀m n p q.
Number.Natural.< m n ∧ Number.Natural.< p q ⇒
Number.Natural.< (Number.Natural.* m p) (Number.Natural.* n q)

⊦ ∀m n p q.
Number.Natural.≤ m n ∧ Number.Natural.≤ p q ⇒
Number.Natural.≤ (Number.Natural.* m p) (Number.Natural.* n q)

⊦ ∀P.
    (∃B. ∀n. Number.Natural.≤ (P n) B) ⇔
    ∃A B.
      ∀n.
        Number.Natural.≤ (Number.Natural.* n (P n))
          (Number.Natural.+ (Number.Natural.* A n) B)

⊦ ∀P A B.
    P 0 0 = 0 ∧
    (∀m n.
       Number.Natural.≤ (P m n)
         (Number.Natural.+ (Number.Natural.* A (Number.Natural.+ m n))
            B)) ⇒
    ∃B.
      ∀m n.
        Number.Natural.≤ (P m n)
          (Number.Natural.* B (Number.Natural.+ m n))

Input Type Operators

→
bool
Number
- Natural
  - Number.Natural.natural

Input Constants

=
Data
- Bool
  - ∀
  - ∧
  - ⇒
  - ∃
  - ∨
  - ¬
  - F
  - T
Number
- Natural
  - Number.Natural.*
  - Number.Natural.+
  - Number.Natural.<
  - Number.Natural.≤
  - Number.Natural.bit1
  - Number.Natural.suc
  - Number.Natural.zero

Assumptions

⊦ T

⊦ ∀n. Number.Natural.≤ 0 n

⊦ ∀n. Number.Natural.≤ n n

⊦ F ⇔ ∀p. p

⊦ ∀t. t ∨ ¬t

⊦ ∀n. ¬Number.Natural.< n n

⊦ ∀n. Number.Natural.< 0 (Number.Natural.suc n)

⊦ (¬) = λp. p ⇒ F

⊦ ∀t. (∀x. t) ⇔ t

⊦ (∀) = λp. p = λx. T

⊦ ∀x. x = x ⇔ T

⊦ ∀n. ¬(Number.Natural.suc n = 0)

⊦ ∀m n. Number.Natural.≤ m (Number.Natural.+ m n)

⊦ ∀m n. Number.Natural.≤ n (Number.Natural.+ m n)

⊦ (⇒) = λp q. p ∧ q ⇔ p

⊦ ∀t. (t ⇔ T) ∨ (t ⇔ F)

⊦ (¬T ⇔ F) ∧ (¬F ⇔ T)

⊦ ∀t1 t2. t1 ∧ t2 ⇔ t2 ∧ t1

⊦ ∀t1 t2. t1 ∨ t2 ⇔ t2 ∨ t1

⊦ ∀m n. Number.Natural.* m n = Number.Natural.* n m

⊦ ∀m n. Number.Natural.+ m n = Number.Natural.+ n m

⊦ ∀m n. Number.Natural.< m n ⇒ Number.Natural.≤ m n

⊦ ∀m n. ¬Number.Natural.≤ m n ⇔ Number.Natural.< n m

⊦ ∀m n. Number.Natural.< m (Number.Natural.suc n) ⇔ Number.Natural.≤ m n

⊦ (∧) = λp q. (λf. f p q) = λf. f T T

⊦ (∃) = λP. ∀q. (∀x. P x ⇒ q) ⇒ q

⊦ ∀m n.
Number.Natural.< (Number.Natural.suc m) (Number.Natural.suc n) ⇔
Number.Natural.< m n

⊦ ∀m n.
Number.Natural.≤ (Number.Natural.suc m) (Number.Natural.suc n) ⇔
Number.Natural.≤ m n

⊦ ∀m n. Number.Natural.≤ m n ⇔ ∃d. n = Number.Natural.+ m d

⊦ (∨) = λp q. ∀r. (p ⇒ r) ⇒ (q ⇒ r) ⇒ r

⊦ ∀m n.
Number.Natural.< m n ⇔
∃d. n = Number.Natural.+ m (Number.Natural.suc d)

⊦ ∀m n. Number.Natural.< m n ⇔ Number.Natural.≤ m n ∧ ¬(m = n)

⊦ ∀m n p.
Number.Natural.+ m (Number.Natural.+ n p) =
Number.Natural.+ (Number.Natural.+ m n) p

⊦ ∀m n p.
Number.Natural.< (Number.Natural.+ m n) (Number.Natural.+ m p) ⇔
Number.Natural.< n p

⊦ ∀m n p.
Number.Natural.≤ (Number.Natural.+ m n) (Number.Natural.+ m p) ⇔
Number.Natural.≤ n p

⊦ ∀m n p.
Number.Natural.≤ m n ∧ Number.Natural.< n p ⇒ Number.Natural.< m p

⊦ ∀m n p.
Number.Natural.≤ m n ∧ Number.Natural.≤ n p ⇒ Number.Natural.≤ m p

⊦ ∀m n. Number.Natural.+ m n = 0 ⇔ m = 0 ∧ n = 0

⊦ ∀P. P 0 ∧ (∀n. P n ⇒ P (Number.Natural.suc n)) ⇒ ∀n. P n

⊦ (∀t. ¬¬t ⇔ t) ∧ (¬T ⇔ F) ∧ (¬F ⇔ T)

⊦ ∀m n p.
Number.Natural.* m (Number.Natural.+ n p) =
Number.Natural.+ (Number.Natural.* m n) (Number.Natural.* m p)

⊦ ∀m n p.
Number.Natural.* (Number.Natural.+ m n) p =
Number.Natural.+ (Number.Natural.* m p) (Number.Natural.* n p)

⊦ ∀m n p. Number.Natural.* m n = Number.Natural.* m p ⇔ m = 0 ∨ n = p

⊦ (∀m. Number.Natural.< m 0 ⇔ F) ∧
  ∀m n.
    Number.Natural.< m (Number.Natural.suc n) ⇔
    m = n ∨ Number.Natural.< m n

⊦ (∀m. Number.Natural.≤ m 0 ⇔ m = 0) ∧
  ∀m n.
    Number.Natural.≤ m (Number.Natural.suc n) ⇔
    m = Number.Natural.suc n ∨ Number.Natural.≤ m n

⊦ ∀t. ((T ⇔ t) ⇔ t) ∧ ((t ⇔ T) ⇔ t) ∧ ((F ⇔ t) ⇔ ¬t) ∧ ((t ⇔ F) ⇔ ¬t)

⊦ ∀t. (T ∧ t ⇔ t) ∧ (t ∧ T ⇔ t) ∧ (F ∧ t ⇔ F) ∧ (t ∧ F ⇔ F) ∧ (t ∧ t ⇔ t)

⊦ ∀t. (T ∨ t ⇔ T) ∧ (t ∨ T ⇔ T) ∧ (F ∨ t ⇔ t) ∧ (t ∨ F ⇔ t) ∧ (t ∨ t ⇔ t)

⊦ ∀t. (T ⇒ t ⇔ t) ∧ (t ⇒ T ⇔ T) ∧ (F ⇒ t ⇔ T) ∧ (t ⇒ t ⇔ T) ∧ (t ⇒ F ⇔ ¬t)

⊦ (∀n. Number.Natural.+ 0 n = n) ∧ (∀m. Number.Natural.+ m 0 = m) ∧
  (∀m n.
     Number.Natural.+ (Number.Natural.suc m) n =
     Number.Natural.suc (Number.Natural.+ m n)) ∧
  ∀m n.
    Number.Natural.+ m (Number.Natural.suc n) =
    Number.Natural.suc (Number.Natural.+ m n)

⊦ (∀n. Number.Natural.* 0 n = 0) ∧ (∀m. Number.Natural.* m 0 = 0) ∧
  (∀n. Number.Natural.* 1 n = n) ∧ (∀m. Number.Natural.* m 1 = m) ∧
  (∀m n.
     Number.Natural.* (Number.Natural.suc m) n =
     Number.Natural.+ (Number.Natural.* m n) n) ∧
  ∀m n.
    Number.Natural.* m (Number.Natural.suc n) =
    Number.Natural.+ m (Number.Natural.* m n)