Package natural-mult-thm: natural-mult-thm

Information

Files

• Package tarball natural-mult-thm-1.3.tgz
• Theory file natural-mult-thm.thy (included in the package tarball)

Theorems

⊦ ∀m. Number.Natural.* m 0 = 0

⊦ ∀m n. Number.Natural.* m n = Number.Natural.* n m

⊦ ∀n. Number.Natural.* 2 n = Number.Natural.+ n n

⊦ ∀m n.
    Number.Natural.* m (Number.Natural.suc n) =
    Number.Natural.+ m (Number.Natural.* m n)

⊦ ∀m n p.
    Number.Natural.* m (Number.Natural.* n p) =
    Number.Natural.* (Number.Natural.* m n) p

⊦ ∀m n. Number.Natural.* m n = 0 ⇔ m = 0 ∨ n = 0

⊦ ∀m n p.
    Number.Natural.* m (Number.Natural.+ n p) =
    Number.Natural.+ (Number.Natural.* m n) (Number.Natural.* m p)

⊦ ∀m n p.
    Number.Natural.* (Number.Natural.+ m n) p =
    Number.Natural.+ (Number.Natural.* m p) (Number.Natural.* n p)

⊦ ∀m n. Number.Natural.* m n = 1 ⇔ m = 1 ∧ n = 1

⊦ ∀m n p. Number.Natural.* m n = Number.Natural.* m p ⇔ m = 0 ∨ n = p

⊦ ∀m n p. Number.Natural.* m p = Number.Natural.* n p ⇔ m = n ∨ p = 0

⊦ ∀m n p.
    Number.Natural.* m n = Number.Natural.* n m ∧
    Number.Natural.* (Number.Natural.* m n) p =
    Number.Natural.* m (Number.Natural.* n p) ∧
    Number.Natural.* m (Number.Natural.* n p) =
    Number.Natural.* n (Number.Natural.* m p)

⊦ (∀n. Number.Natural.* 0 n = 0) ∧ (∀m. Number.Natural.* m 0 = 0) ∧
  (∀n. Number.Natural.* 1 n = n) ∧ (∀m. Number.Natural.* m 1 = m) ∧
  (∀m n.
     Number.Natural.* (Number.Natural.suc m) n =
     Number.Natural.+ (Number.Natural.* m n) n) ∧
  ∀m n.
    Number.Natural.* m (Number.Natural.suc n) =
    Number.Natural.+ m (Number.Natural.* m n)

Input Type Operators

• →
• bool
• Number
  • Natural
    • Number.Natural.natural

Input Constants

• =
• Data
  • Bool
    • ∀
    • ∧
    • ⇒
    • ∃
    • ∨
    • ~
    • F
    • T
• Number
  • Natural
    • Number.Natural.*
    • Number.Natural.+
    • Number.Natural.bit0
    • Number.Natural.bit1
    • Number.Natural.suc
    • Number.Natural.zero

Assumptions

⊦ T

⊦ F ⇔ ∀p. p

⊦ ∀t. t ∨ ¬t

⊦ (~) = λp. p ⇒ F

⊦ ∀t. (∀x. t) ⇔ t

⊦ ∀t. (λx. t x) = t

⊦ (∀) = λp. p = λx. T

⊦ ∀x. x = x ⇔ T

⊦ ∀n. ¬(Number.Natural.suc n = 0)

⊦ ∀n. Number.Natural.bit0 n = Number.Natural.+ n n

⊦ (⇒) = λp q. p ∧ q ⇔ p

⊦ ∀t. (t ⇔ T) ∨ (t ⇔ F)

⊦ ∀n. Number.Natural.bit1 n = Number.Natural.suc (Number.Natural.+ n n)

⊦ (¬T ⇔ F) ∧ (¬F ⇔ T)

⊦ ∀t1 t2. t1 ∨ t2 ⇔ t2 ∨ t1

⊦ ∀m n. Number.Natural.+ m n = Number.Natural.+ n m

⊦ (∧) = λp q. (λf. f p q) = λf. f T T

⊦ ∀P. ¬(∀x. P x) ⇔ ∃x. ¬P x

⊦ (∃) = λP. ∀q. (∀x. P x ⇒ q) ⇒ q

⊦ ∀m n. Number.Natural.suc m = Number.Natural.suc n ⇔ m = n

⊦ (∨) = λp q. ∀r. (p ⇒ r) ⇒ (q ⇒ r) ⇒ r

⊦ ∀P Q. P ∨ (∃x. Q x) ⇔ ∃x. P ∨ Q x

⊦ ∀m n p.
    Number.Natural.+ m (Number.Natural.+ n p) =
    Number.Natural.+ (Number.Natural.+ m n) p

⊦ ∀m n p. Number.Natural.+ m n = Number.Natural.+ m p ⇔ n = p

⊦ ∀m n. Number.Natural.+ m n = 0 ⇔ m = 0 ∧ n = 0

⊦ ∀P. P 0 ∧ (∀n. P n ⇒ P (Number.Natural.suc n)) ⇒ ∀n. P n

⊦ (∀t. ¬¬t ⇔ t) ∧ (¬T ⇔ F) ∧ (¬F ⇔ T)

⊦ ∀P Q. (∀x. P x ∧ Q x) ⇔ (∀x. P x) ∧ ∀x. Q x

⊦ ∀P Q. (∃x. P x) ∨ (∃x. Q x) ⇔ ∃x. P x ∨ Q x

⊦ (∀n. Number.Natural.* 0 n = 0) ∧
  ∀m n.
    Number.Natural.* (Number.Natural.suc m) n =
    Number.Natural.+ (Number.Natural.* m n) n

⊦ ∀t. ((T ⇔ t) ⇔ t) ∧ ((t ⇔ T) ⇔ t) ∧ ((F ⇔ t) ⇔ ¬t) ∧ ((t ⇔ F) ⇔ ¬t)

⊦ ∀t. (T ∧ t ⇔ t) ∧ (t ∧ T ⇔ t) ∧ (F ∧ t ⇔ F) ∧ (t ∧ F ⇔ F) ∧ (t ∧ t ⇔ t)

⊦ ∀t. (T ∨ t ⇔ T) ∧ (t ∨ T ⇔ T) ∧ (F ∨ t ⇔ t) ∧ (t ∨ F ⇔ t) ∧ (t ∨ t ⇔ t)

⊦ ∀t. (T ⇒ t ⇔ t) ∧ (t ⇒ T ⇔ T) ∧ (F ⇒ t ⇔ T) ∧ (t ⇒ t ⇔ T) ∧ (t ⇒ F ⇔ ¬t)

⊦ (∀n. Number.Natural.+ 0 n = n) ∧ (∀m. Number.Natural.+ m 0 = m) ∧
  (∀m n.
     Number.Natural.+ (Number.Natural.suc m) n =
     Number.Natural.suc (Number.Natural.+ m n)) ∧
  ∀m n.
    Number.Natural.+ m (Number.Natural.suc n) =
    Number.Natural.suc (Number.Natural.+ m n)

⊦ ∀p q r.
    (p ∨ q ⇔ q ∨ p) ∧ ((p ∨ q) ∨ r ⇔ p ∨ q ∨ r) ∧ (p ∨ q ∨ r ⇔ q ∨ p ∨ r) ∧
    (p ∨ p ⇔ p) ∧ (p ∨ p ∨ q ⇔ p ∨ q)