Package natural-order: Definitions and theorems about natural number orderings

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• Package tarball natural-order-1.8.tgz
• Theory file natural-order.thy (included in the package tarball)

Defined Constants

• Number
  • Natural
    • <
    • ≤
    • >
    • ≥

Theorems

⊦ ∀n. 0 ≤ n

⊦ ∀n. n ≤ n

⊦ ∀n. ¬(n < n)

⊦ ∀n. 0 < suc n

⊦ ∀n. n < suc n

⊦ ∀n. n ≤ suc n

⊦ ∀n. 0 < n ⇔ ¬(n = 0)

⊦ ∀n m. m > n ⇔ n < m

⊦ ∀n m. m ≥ n ⇔ n ≤ m

⊦ ∀m n. m = n ⇒ m ≤ n

⊦ ∀m n. m < n ⇒ m ≤ n

⊦ ∀m n. m < n ∨ n ≤ m

⊦ ∀m n. m ≤ n ∨ n < m

⊦ ∀m n. m ≤ n ∨ n ≤ m

⊦ ∀m n. ¬(m < n ∧ n < m)

⊦ ∀m n. ¬(m < n ∧ n ≤ m)

⊦ ∀m n. ¬(m ≤ n ∧ n < m)

⊦ ∀m n. ¬(m < n) ⇔ n ≤ m

⊦ ∀m n. ¬(m ≤ n) ⇔ n < m

⊦ ∀m n. m < suc n ⇔ m ≤ n

⊦ ∀m n. suc m ≤ n ⇔ m < n

⊦ ∀m n. suc m < suc n ⇔ m < n

⊦ ∀m n. suc m ≤ suc n ⇔ m ≤ n

⊦ ∀m n. m ≤ n ⇔ m < n ∨ m = n

⊦ ∀m n. m < n ∨ n < m ∨ m = n

⊦ ∀m n. m ≤ n ∧ n ≤ m ⇔ m = n

⊦ ∀m n. m < n ⇔ m ≤ n ∧ ¬(m = n)

⊦ ∀m n p. m < n ∧ n < p ⇒ m < p

⊦ ∀m n p. m < n ∧ n ≤ p ⇒ m < p

⊦ ∀m n p. m ≤ n ∧ n < p ⇒ m < p

⊦ ∀m n p. m ≤ n ∧ n ≤ p ⇒ m ≤ p

⊦ ∀P. (∀n. (∀m. m < n ⇒ P m) ⇒ P n) ⇒ ∀n. P n

⊦ ∀P. (∃n. P n) ⇔ ∃n. P n ∧ ∀m. m < n ⇒ ¬P m

⊦ (∀m. m < 0 ⇔ F) ∧ ∀m n. m < suc n ⇔ m = n ∨ m < n

⊦ (∀m. m ≤ 0 ⇔ m = 0) ∧ ∀m n. m ≤ suc n ⇔ m = suc n ∨ m ≤ n

⊦ ∀P. (∃x. P x) ∧ (∃M. ∀x. P x ⇒ x ≤ M) ⇔ ∃m. P m ∧ ∀x. P x ⇒ x ≤ m

⊦ ∀P. (∀m n. P m n ⇔ P n m) ∧ (∀m n. m ≤ n ⇒ P m n) ⇒ ∀m n. P m n

⊦ ∀P.
    (∀m. P m m) ∧ (∀m n. P m n ⇔ P n m) ∧ (∀m n. m < n ⇒ P m n) ⇒
    ∀m y. P m y

⊦ (∀n. ¬(n = 0) ⇒ 0 < n) ∧ (∀n. ¬(n = 0) ⇒ 1 ≤ n) ∧
  (∀n. 0 < n ⇒ ¬(n = 0)) ∧ (∀n. 0 < n ⇒ 1 ≤ n) ∧ (∀n. 1 ≤ n ⇒ 0 < n) ∧
  ∀n. 1 ≤ n ⇒ ¬(n = 0)

Input Type Operators

• →
• bool
• Number
  • Natural
    • natural

Input Constants

• =
• select
• Data
  • Bool
    • ∀
    • ∧
    • ⇒
    • ∃
    • ∨
    • ~
    • F
    • T
• Number
  • Natural
    • bit1
    • suc
    • zero

Assumptions

⊦ T

⊦ F ⇔ ∀p. p

⊦ 1 = suc 0

⊦ ∀t. t ∨ ¬t

⊦ (~) = λp. p ⇒ F

⊦ (∃) = λP. P ((select) P)

⊦ ∀t. (∀x. t) ⇔ t

⊦ ∀t. (λx. t x) = t

⊦ (∀) = λp. p = λx. T

⊦ ∀x. x = x ⇔ T

⊦ ∀n. ¬(suc n = 0)

⊦ (⇒) = λp q. p ∧ q ⇔ p

⊦ ∀t. (t ⇔ T) ∨ (t ⇔ F)

⊦ (¬T ⇔ F) ∧ (¬F ⇔ T)

⊦ ∀x y. x = y ⇔ y = x

⊦ ∀t1 t2. t1 ∧ t2 ⇔ t2 ∧ t1

⊦ ∀t1 t2. t1 ∨ t2 ⇔ t2 ∨ t1

⊦ (∧) = λp q. (λf. f p q) = λf. f T T

⊦ ∀P. ¬(∀x. P x) ⇔ ∃x. ¬P x

⊦ ∀P. ¬(∃x. P x) ⇔ ∀x. ¬P x

⊦ (∃) = λP. ∀q. (∀x. P x ⇒ q) ⇒ q

⊦ ∀m n. suc m = suc n ⇔ m = n

⊦ (∨) = λp q. ∀r. (p ⇒ r) ⇒ (q ⇒ r) ⇒ r

⊦ ∀P Q. P ∧ (∃x. Q x) ⇔ ∃x. P ∧ Q x

⊦ ∀P Q. P ∨ (∃x. Q x) ⇔ ∃x. P ∨ Q x

⊦ ∀P Q. (∃x. P x) ∧ Q ⇔ ∃x. P x ∧ Q

⊦ ∀P Q. (∃x. P x) ∨ Q ⇔ ∃x. P x ∨ Q

⊦ ∀P. (∀x. ∃y. P x y) ⇔ ∃y. ∀x. P x (y x)

⊦ ∀P. P 0 ∧ (∀n. P n ⇒ P (suc n)) ⇒ ∀n. P n

⊦ (∀t. ¬¬t ⇔ t) ∧ (¬T ⇔ F) ∧ (¬F ⇔ T)

⊦ ∀P Q. (∀x. P x ∧ Q x) ⇔ (∀x. P x) ∧ ∀x. Q x

⊦ ∀e f. ∃fn. fn 0 = e ∧ ∀n. fn (suc n) = f (fn n) n

⊦ ∀t. ((T ⇔ t) ⇔ t) ∧ ((t ⇔ T) ⇔ t) ∧ ((F ⇔ t) ⇔ ¬t) ∧ ((t ⇔ F) ⇔ ¬t)

⊦ ∀t. (T ∧ t ⇔ t) ∧ (t ∧ T ⇔ t) ∧ (F ∧ t ⇔ F) ∧ (t ∧ F ⇔ F) ∧ (t ∧ t ⇔ t)

⊦ ∀t. (T ∨ t ⇔ T) ∧ (t ∨ T ⇔ T) ∧ (F ∨ t ⇔ t) ∧ (t ∨ F ⇔ t) ∧ (t ∨ t ⇔ t)

⊦ ∀t. (T ⇒ t ⇔ t) ∧ (t ⇒ T ⇔ T) ∧ (F ⇒ t ⇔ T) ∧ (t ⇒ t ⇔ T) ∧ (t ⇒ F ⇔ ¬t)

⊦ ∀p q r.
    (p ∨ q ⇔ q ∨ p) ∧ ((p ∨ q) ∨ r ⇔ p ∨ q ∨ r) ∧ (p ∨ q ∨ r ⇔ q ∨ p ∨ r) ∧
    (p ∨ p ⇔ p) ∧ (p ∨ p ∨ q ⇔ p ∨ q)