Package natural-order: Definitions and theorems about natural number orderings
Information
| name | natural-order |
| version | 1.9 |
| description | Definitions and theorems about natural number orderings |
| author | Joe Hurd <joe@gilith.com> |
| license | MIT |
| show | Data.Bool Number.Natural |
Files
- Package tarball natural-order-1.9.tgz
- Theory file natural-order.thy (included in the package tarball)
Defined Constants
- Number
- Natural
- <
- ≤
- >
- ≥
- Natural
Theorems
⊦ ∀n. 0 ≤ n
⊦ ∀n. n ≤ n
⊦ ∀n. ¬(n < n)
⊦ ∀n. 0 < suc n
⊦ ∀n. n < suc n
⊦ ∀n. n ≤ suc n
⊦ ∀n. 0 < n ⇔ ¬(n = 0)
⊦ ∀n m. m > n ⇔ n < m
⊦ ∀n m. m ≥ n ⇔ n ≤ m
⊦ ∀m n. m = n ⇒ m ≤ n
⊦ ∀m n. m < n ⇒ m ≤ n
⊦ ∀m n. m < n ∨ n ≤ m
⊦ ∀m n. m ≤ n ∨ n < m
⊦ ∀m n. m ≤ n ∨ n ≤ m
⊦ ∀m n. ¬(m < n ∧ n < m)
⊦ ∀m n. ¬(m < n ∧ n ≤ m)
⊦ ∀m n. ¬(m ≤ n ∧ n < m)
⊦ ∀m n. ¬(m < n) ⇔ n ≤ m
⊦ ∀m n. ¬(m ≤ n) ⇔ n < m
⊦ ∀m n. m < suc n ⇔ m ≤ n
⊦ ∀m n. suc m ≤ n ⇔ m < n
⊦ ∀m n. suc m < suc n ⇔ m < n
⊦ ∀m n. suc m ≤ suc n ⇔ m ≤ n
⊦ ∀m n. m ≤ n ⇔ m < n ∨ m = n
⊦ ∀m n. m < n ∨ n < m ∨ m = n
⊦ ∀m n. m ≤ n ∧ n ≤ m ⇔ m = n
⊦ ∀m n. m < n ⇔ m ≤ n ∧ ¬(m = n)
⊦ ∀m n p. m < n ∧ n < p ⇒ m < p
⊦ ∀m n p. m < n ∧ n ≤ p ⇒ m < p
⊦ ∀m n p. m ≤ n ∧ n < p ⇒ m < p
⊦ ∀m n p. m ≤ n ∧ n ≤ p ⇒ m ≤ p
⊦ ∀P. (∀n. (∀m. m < n ⇒ P m) ⇒ P n) ⇒ ∀n. P n
⊦ ∀P. (∃n. P n) ⇔ ∃n. P n ∧ ∀m. m < n ⇒ ¬P m
⊦ (∀m. m < 0 ⇔ F) ∧ ∀m n. m < suc n ⇔ m = n ∨ m < n
⊦ (∀m. m ≤ 0 ⇔ m = 0) ∧ ∀m n. m ≤ suc n ⇔ m = suc n ∨ m ≤ n
⊦ ∀P. (∃x. P x) ∧ (∃M. ∀x. P x ⇒ x ≤ M) ⇔ ∃m. P m ∧ ∀x. P x ⇒ x ≤ m
⊦ ∀P. (∀m n. P m n ⇔ P n m) ∧ (∀m n. m ≤ n ⇒ P m n) ⇒ ∀m n. P m n
⊦ ∀P.
(∀m. P m m) ∧ (∀m n. P m n ⇔ P n m) ∧ (∀m n. m < n ⇒ P m n) ⇒
∀m y. P m y
⊦ (∀n. ¬(n = 0) ⇒ 0 < n) ∧ (∀n. ¬(n = 0) ⇒ 1 ≤ n) ∧
(∀n. 0 < n ⇒ ¬(n = 0)) ∧ (∀n. 0 < n ⇒ 1 ≤ n) ∧ (∀n. 1 ≤ n ⇒ 0 < n) ∧
∀n. 1 ≤ n ⇒ ¬(n = 0)
Input Type Operators
- →
- bool
- Number
- Natural
- natural
- Natural
Input Constants
- =
- select
- Data
- Bool
- ∀
- ∧
- ⇒
- ∃
- ∨
- ¬
- F
- T
- Bool
- Number
- Natural
- bit1
- suc
- zero
- Natural
Assumptions
⊦ T
⊦ F ⇔ ∀p. p
⊦ 1 = suc 0
⊦ ∀t. t ∨ ¬t
⊦ (¬) = λp. p ⇒ F
⊦ (∃) = λP. P ((select) P)
⊦ ∀t. (∀x. t) ⇔ t
⊦ ∀t. (λx. t x) = t
⊦ (∀) = λp. p = λx. T
⊦ ∀x. x = x ⇔ T
⊦ ∀n. ¬(suc n = 0)
⊦ (⇒) = λp q. p ∧ q ⇔ p
⊦ ∀t. (t ⇔ T) ∨ (t ⇔ F)
⊦ (¬T ⇔ F) ∧ (¬F ⇔ T)
⊦ ∀x y. x = y ⇔ y = x
⊦ ∀t1 t2. t1 ∧ t2 ⇔ t2 ∧ t1
⊦ ∀t1 t2. t1 ∨ t2 ⇔ t2 ∨ t1
⊦ (∧) = λp q. (λf. f p q) = λf. f T T
⊦ ∀P. ¬(∀x. P x) ⇔ ∃x. ¬P x
⊦ ∀P. ¬(∃x. P x) ⇔ ∀x. ¬P x
⊦ (∃) = λP. ∀q. (∀x. P x ⇒ q) ⇒ q
⊦ ∀m n. suc m = suc n ⇔ m = n
⊦ (∨) = λp q. ∀r. (p ⇒ r) ⇒ (q ⇒ r) ⇒ r
⊦ ∀P Q. P ∧ (∃x. Q x) ⇔ ∃x. P ∧ Q x
⊦ ∀P Q. P ∨ (∃x. Q x) ⇔ ∃x. P ∨ Q x
⊦ ∀P Q. (∃x. P x) ∧ Q ⇔ ∃x. P x ∧ Q
⊦ ∀P Q. (∃x. P x) ∨ Q ⇔ ∃x. P x ∨ Q
⊦ ∀P. (∀x. ∃y. P x y) ⇔ ∃y. ∀x. P x (y x)
⊦ ∀P. P 0 ∧ (∀n. P n ⇒ P (suc n)) ⇒ ∀n. P n
⊦ (∀t. ¬¬t ⇔ t) ∧ (¬T ⇔ F) ∧ (¬F ⇔ T)
⊦ ∀P Q. (∀x. P x ∧ Q x) ⇔ (∀x. P x) ∧ ∀x. Q x
⊦ ∀e f. ∃fn. fn 0 = e ∧ ∀n. fn (suc n) = f (fn n) n
⊦ ∀t. ((T ⇔ t) ⇔ t) ∧ ((t ⇔ T) ⇔ t) ∧ ((F ⇔ t) ⇔ ¬t) ∧ ((t ⇔ F) ⇔ ¬t)
⊦ ∀t. (T ∧ t ⇔ t) ∧ (t ∧ T ⇔ t) ∧ (F ∧ t ⇔ F) ∧ (t ∧ F ⇔ F) ∧ (t ∧ t ⇔ t)
⊦ ∀t. (T ∨ t ⇔ T) ∧ (t ∨ T ⇔ T) ∧ (F ∨ t ⇔ t) ∧ (t ∨ F ⇔ t) ∧ (t ∨ t ⇔ t)
⊦ ∀t. (T ⇒ t ⇔ t) ∧ (t ⇒ T ⇔ T) ∧ (F ⇒ t ⇔ T) ∧ (t ⇒ t ⇔ T) ∧ (t ⇒ F ⇔ ¬t)
⊦ ∀p q r.
(p ∨ q ⇔ q ∨ p) ∧ ((p ∨ q) ∨ r ⇔ p ∨ q ∨ r) ∧ (p ∨ q ∨ r ⇔ q ∨ p ∨ r) ∧
(p ∨ p ⇔ p) ∧ (p ∨ p ∨ q ⇔ p ∨ q)