Package natural-order: Definitions and theorems about natural number orderings

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namenatural-order
version1.9
descriptionDefinitions and theorems about natural number orderings
authorJoe Hurd <joe@gilith.com>
licenseMIT
showData.Bool
Number.Natural

Files

Defined Constants

Theorems

n. 0 n

n. n n

n. ¬(n < n)

n. 0 < suc n

n. n < suc n

n. n suc n

n. 0 < n ¬(n = 0)

n m. m > n n < m

n m. m n n m

m n. m = n m n

m n. m < n m n

m n. m < n n m

m n. m n n < m

m n. m n n m

m n. ¬(m < n n < m)

m n. ¬(m < n n m)

m n. ¬(m n n < m)

m n. ¬(m < n) n m

m n. ¬(m n) n < m

m n. m < suc n m n

m n. suc m n m < n

m n. suc m < suc n m < n

m n. suc m suc n m n

m n. m n m < n m = n

m n. m < n n < m m = n

m n. m n n m m = n

m n. m < n m n ¬(m = n)

m n p. m < n n < p m < p

m n p. m < n n p m < p

m n p. m n n < p m < p

m n p. m n n p m p

P. (n. (m. m < n P m) P n) n. P n

P. (n. P n) n. P n m. m < n ¬P m

(m. m < 0 F) m n. m < suc n m = n m < n

(m. m 0 m = 0) m n. m suc n m = suc n m n

P. (x. P x) (M. x. P x x M) m. P m x. P x x m

P. (m n. P m n P n m) (m n. m n P m n) m n. P m n

P.
    (m. P m m) (m n. P m n P n m) (m n. m < n P m n)
    m y. P m y

(n. ¬(n = 0) 0 < n) (n. ¬(n = 0) 1 n)
  (n. 0 < n ¬(n = 0)) (n. 0 < n 1 n) (n. 1 n 0 < n)
  n. 1 n ¬(n = 0)

Input Type Operators

Input Constants

Assumptions

T

F p. p

1 = suc 0

t. t ¬t

(¬) = λp. p F

() = λP. P ((select) P)

t. (x. t) t

t. (λx. t x) = t

() = λp. p = λx. T

x. x = x T

n. ¬(suc n = 0)

() = λp q. p q p

t. (t T) (t F)

(¬T F) (¬F T)

x y. x = y y = x

t1 t2. t1 t2 t2 t1

t1 t2. t1 t2 t2 t1

() = λp q. (λf. f p q) = λf. f T T

P. ¬(x. P x) x. ¬P x

P. ¬(x. P x) x. ¬P x

() = λP. q. (x. P x q) q

m n. suc m = suc n m = n

() = λp q. r. (p r) (q r) r

P Q. P (x. Q x) x. P Q x

P Q. P (x. Q x) x. P Q x

P Q. (x. P x) Q x. P x Q

P Q. (x. P x) Q x. P x Q

P. (x. y. P x y) y. x. P x (y x)

P. P 0 (n. P n P (suc n)) n. P n

(t. ¬¬t t) (¬T F) (¬F T)

P Q. (x. P x Q x) (x. P x) x. Q x

e f. fn. fn 0 = e n. fn (suc n) = f (fn n) n

t. ((T t) t) ((t T) t) ((F t) ¬t) ((t F) ¬t)

t. (T t t) (t T t) (F t F) (t F F) (t t t)

t. (T t T) (t T T) (F t t) (t F t) (t t t)

t. (T t t) (t T T) (F t T) (t t T) (t F ¬t)

p q r.
    (p q q p) ((p q) r p q r) (p q r q p r)
    (p p p) (p p q p q)