Package natural-prime: Prime natural numbers

Information

name	natural-prime
version	1.15
description	Prime natural numbers
author	Joe Hurd <joe@gilith.com>
license	MIT
requires	bool natural natural-divides natural-gcd
show	Data.Bool Number.Natural

Files

Package tarball natural-prime-1.15.tgz
Theory file natural-prime.thy (included in the package tarball)

Defined Constant

Number
- Natural
  - prime

Theorems

⊦ ¬prime 0

⊦ ¬prime 1

⊦ prime 2

⊦ prime 3

⊦ ∀n. ∃p. n ≤ p ∧ prime p

⊦ ∀p. prime p ∧ even p ⇒ p = 2

⊦ ∀n. ¬(n = 1) ⇒ ∃p. prime p ∧ divides p n

⊦ ∀p n. prime p ⇒ (gcd p n = 1 ⇔ ¬divides p n)

⊦ ∀p n. prime p ∧ ¬divides p n ⇒ gcd p n = 1

⊦ ∀p m n. prime p ⇒ (divides p (m * n) ⇔ divides p m ∨ divides p n)

⊦ ∀p m n. prime p ∧ ¬divides p m ∧ ¬divides p n ⇒ ¬divides p (m * n)

⊦ ∀p. prime p ⇔ ¬(p = 1) ∧ ∀n. divides n p ⇒ n = 1 ∨ n = p

Input Type Operators

→
bool
Number
- Natural
  - natural

Input Constants

=
Data
- Bool
  - ∀
  - ∧
  - ⇒
  - ∃
  - ∨
  - ¬
  - F
  - T
Number
- Natural
  - *
  - +
  - <
  - ≤
  - bit0
  - bit1
  - distance
  - divides
  - even
  - factorial
  - gcd
  - suc
  - zero

Assumptions

⊦ T

⊦ ¬F ⇔ T

⊦ ¬T ⇔ F

⊦ bit0 0 = 0

⊦ ∀t. t ⇒ t

⊦ ∀n. 0 ≤ n

⊦ ∀a. divides a 0

⊦ ∀a. divides a a

⊦ F ⇔ ∀p. p

⊦ ∀t. t ∨ ¬t

⊦ (¬) = λp. p ⇒ F

⊦ ∀t. (∀x. t) ⇔ t

⊦ ∀t. (λx. t x) = t

⊦ (∀) = λp. p = λx. T

⊦ ∀t. ¬¬t ⇔ t

⊦ ∀t. (T ⇔ t) ⇔ t

⊦ ∀t. (t ⇔ T) ⇔ t

⊦ ∀t. F ∧ t ⇔ F

⊦ ∀t. T ∧ t ⇔ t

⊦ ∀t. t ∧ T ⇔ t

⊦ ∀t. F ⇒ t ⇔ T

⊦ ∀t. T ⇒ t ⇔ t

⊦ ∀t. t ⇒ T ⇔ T

⊦ ∀t. F ∨ t ⇔ t

⊦ ∀t. T ∨ t ⇔ T

⊦ ∀t. t ∨ F ⇔ t

⊦ ∀t. t ∨ t ⇔ t

⊦ ∀n. ¬(factorial n = 0)

⊦ ∀n. ¬(suc n = 0)

⊦ ∀n. 0 + n = n

⊦ ∀t. (F ⇔ t) ⇔ ¬t

⊦ ∀t. (t ⇔ F) ⇔ ¬t

⊦ ∀t. t ⇒ F ⇔ ¬t

⊦ ∀n. bit1 n = suc (bit0 n)

⊦ ∀m. m * 1 = m

⊦ ∀m. 1 * m = m

⊦ (⇒) = λp q. p ∧ q ⇔ p

⊦ ∀t. (t ⇔ T) ∨ (t ⇔ F)

⊦ ∀n. even (suc n) ⇔ ¬even n

⊦ ∀m. m ≤ 0 ⇔ m = 0

⊦ ∀n. bit0 (suc n) = suc (suc (bit0 n))

⊦ ∀a. divides 2 a ⇔ even a

⊦ ∀x y. x = y ⇒ y = x

⊦ ∀t1 t2. t1 ∨ t2 ⇔ t2 ∨ t1

⊦ ∀m n. m ≤ n ∨ n ≤ m

⊦ ∀m n. distance m (m + n) = n

⊦ ∀a. divides a 1 ⇔ a = 1

⊦ ∀n. 2 * n = n + n

⊦ ∀m n. ¬(m < n ∧ n ≤ m)

⊦ ∀m n. ¬(m ≤ n ∧ n < m)

⊦ ∀m n. suc m ≤ n ⇔ m < n

⊦ ∀p. (∀b. p b) ⇔ p T ∧ p F

⊦ (∧) = λp q. (λf. f p q) = λf. f T T

⊦ ∀p. ¬(∀x. p x) ⇔ ∃x. ¬p x

⊦ (∃) = λp. ∀q. (∀x. p x ⇒ q) ⇒ q

⊦ ∀t1 t2. ¬(t1 ⇒ t2) ⇔ t1 ∧ ¬t2

⊦ ∀t1 t2. ¬t1 ⇒ ¬t2 ⇔ t2 ⇒ t1

⊦ ∀m n. m + suc n = suc (m + n)

⊦ ∀m n. suc m + n = suc (m + n)

⊦ ∀m n. suc m = suc n ⇔ m = n

⊦ ∀m n. m + n = n ⇔ m = 0

⊦ ∀a b. gcd a b = a ⇔ divides a b

⊦ ∀t1 t2. ¬(t1 ∧ t2) ⇔ ¬t1 ∨ ¬t2

⊦ ∀t1 t2. ¬(t1 ∨ t2) ⇔ ¬t1 ∧ ¬t2

⊦ ∀m n. even (m * n) ⇔ even m ∨ even n

⊦ ∀m n. even (m + n) ⇔ even m ⇔ even n

⊦ ∀a b c. divides a b ⇒ divides a (b * c)

⊦ ∀a b c. divides a c ⇒ divides a (b * c)

⊦ ∀a b. divides a b ⇔ ∃c. c * a = b

⊦ (∨) = λp q. ∀r. (p ⇒ r) ⇒ (q ⇒ r) ⇒ r

⊦ ∀m n. m ≤ n ⇔ m < n ∨ m = n

⊦ ∀m n. m ≤ n ∧ n ≤ m ⇔ m = n

⊦ ∀p q. p ∧ (∃x. q x) ⇔ ∃x. p ∧ q x

⊦ ∀p q. p ∨ (∀x. q x) ⇔ ∀x. p ∨ q x

⊦ ∀p q. p ∨ (∃x. q x) ⇔ ∃x. p ∨ q x

⊦ ∀m n. m < n ⇔ m ≤ n ∧ ¬(m = n)

⊦ ∀a b. ¬(b = 0) ∧ divides a b ⇒ a ≤ b

⊦ ∀p q. (∃x. p x) ∧ q ⇔ ∃x. p x ∧ q

⊦ ∀p q. (∃x. p x) ∨ q ⇔ ∃x. p x ∨ q

⊦ ∀a b c. divides a b ∧ divides b c ⇒ divides a c

⊦ ∀m n. m ≤ suc n ⇔ m = suc n ∨ m ≤ n

⊦ ∀m n. m * n = 0 ⇔ m = 0 ∨ n = 0

⊦ ∀a b. ¬(b = 0) ∧ b ≤ a ⇒ divides b (factorial a)

⊦ ∀P. P 0 ∧ (∀n. P n ⇒ P (suc n)) ⇒ ∀n. P n

⊦ ∀a b c. divides (gcd a (b * c)) (gcd a b * gcd a c)

⊦ ∀a. divides a 2 ⇔ a = 1 ∨ a = 2

⊦ ∀a. divides a 3 ⇔ a = 1 ∨ a = 3

⊦ ∀P. (∀n. (∀m. m < n ⇒ P m) ⇒ P n) ⇒ ∀n. P n

⊦ ∀p q. (∃x. p x) ∨ (∃x. q x) ⇔ ∃x. p x ∨ q x

⊦ ∀m n p. m * n = m * p ⇔ m = 0 ∨ n = p

⊦ ∀m n p. m * n ≤ m * p ⇔ m = 0 ∨ n ≤ p

⊦ ∀m n p. m * n < m * p ⇔ ¬(m = 0) ∧ n < p

⊦ ∀a b s t. distance (s * a) (t * b) = 1 ⇒ gcd a b = 1

⊦ ∀a b. (∀c. divides c a ∧ divides c b ⇒ c = 1) ⇒ gcd a b = 1