Package natural-prime-thm: Properties of prime natural numbers
Information
| name | natural-prime-thm |
| version | 1.54 |
| description | Properties of prime natural numbers |
| author | Joe Leslie-Hurd <joe@gilith.com> |
| license | MIT |
| provenance | HOL Light theory extracted on 2014-11-01 |
| checksum | fcdf3d8dd9f042fade8f83763add4fe0237c84a1 |
| requires | base natural-divides natural-prime-def |
| show | Data.Bool Number.Natural |
Files
- Package tarball natural-prime-thm-1.54.tgz
- Theory source file natural-prime-thm.thy (included in the package tarball)
Theorems
⊦ ¬prime 0
⊦ ¬prime 1
⊦ prime 2
⊦ prime 3
⊦ ∀n. ∃p. n ≤ p ∧ prime p
⊦ ∀p. prime p ∧ even p ⇒ p = 2
⊦ ∀n. ¬(n = 1) ⇒ ∃p. prime p ∧ divides p n
⊦ ∀p1 p2. prime p1 ∧ prime p2 ∧ divides p1 p2 ⇒ p1 = p2
⊦ ∀p n. prime p ⇒ (gcd p n = 1 ⇔ ¬divides p n)
⊦ ∀p n. prime p ∧ ¬divides p n ⇒ gcd p n = 1
⊦ ∀p m n. prime p ⇒ (divides p (m * n) ⇔ divides p m ∨ divides p n)
⊦ ∀p m n. prime p ∧ ¬divides p m ∧ ¬divides p n ⇒ ¬divides p (m * n)
⊦ ∀n. prime n ⇔ ¬(n = 0) ∧ ¬(n = 1) ∧ ∀p. prime p ∧ p < n ⇒ ¬divides p n
External Type Operators
- →
- bool
- Number
- Natural
- natural
- Natural
External Constants
- =
- Data
- Bool
- ∀
- ∧
- ⇒
- ∃
- ∨
- ¬
- ⊥
- ⊤
- Bool
- Number
- Natural
- *
- +
- <
- ≤
- bit0
- bit1
- distance
- divides
- even
- factorial
- gcd
- prime
- suc
- zero
- Natural
Assumptions
⊦ ⊤
⊦ ¬⊥ ⇔ ⊤
⊦ ¬⊤ ⇔ ⊥
⊦ bit0 0 = 0
⊦ ∀t. t ⇒ t
⊦ ∀a. divides a 0
⊦ ∀a. divides a a
⊦ ⊥ ⇔ ∀p. p
⊦ ∀t. t ∨ ¬t
⊦ (¬) = λp. p ⇒ ⊥
⊦ ∀t. (∀x. t) ⇔ t
⊦ ∀t. (λx. t x) = t
⊦ (∀) = λp. p = λx. ⊤
⊦ ∀t. ¬¬t ⇔ t
⊦ ∀t. (⊤ ⇔ t) ⇔ t
⊦ ∀t. ⊥ ∧ t ⇔ ⊥
⊦ ∀t. ⊤ ∧ t ⇔ t
⊦ ∀t. t ∧ ⊤ ⇔ t
⊦ ∀t. t ∧ t ⇔ t
⊦ ∀t. ⊥ ⇒ t ⇔ ⊤
⊦ ∀t. ⊤ ⇒ t ⇔ t
⊦ ∀t. t ⇒ ⊤ ⇔ ⊤
⊦ ∀t. ⊥ ∨ t ⇔ t
⊦ ∀t. ⊤ ∨ t ⇔ ⊤
⊦ ∀t. t ∨ ⊥ ⇔ t
⊦ ∀t. t ∨ ⊤ ⇔ ⊤
⊦ ∀t. t ∨ t ⇔ t
⊦ ∀n. ¬(factorial n = 0)
⊦ ∀n. ¬(suc n = 0)
⊦ ∀n. 0 + n = n
⊦ ∀m. m + 0 = m
⊦ ∀t. (⊥ ⇔ t) ⇔ ¬t
⊦ ∀t. (t ⇔ ⊥) ⇔ ¬t
⊦ ∀t. t ⇒ ⊥ ⇔ ¬t
⊦ ∀n. bit1 n = suc (bit0 n)
⊦ ∀m. m * 1 = m
⊦ ∀m. 1 * m = m
⊦ (⇒) = λp q. p ∧ q ⇔ p
⊦ ∀t. (t ⇔ ⊤) ∨ (t ⇔ ⊥)
⊦ ∀a. divides 0 a ⇔ a = 0
⊦ ∀n. bit0 (suc n) = suc (suc (bit0 n))
⊦ ∀a. divides 2 a ⇔ even a
⊦ ∀x y. x = y ⇒ y = x
⊦ ∀t1 t2. t1 ∨ t2 ⇔ t2 ∨ t1
⊦ ∀m n. m + n = n + m
⊦ ∀m n. m = n ⇒ m ≤ n
⊦ ∀m n. m ≤ n ∨ n ≤ m
⊦ ∀m n. distance m (m + n) = n
⊦ ∀a. divides a 1 ⇔ a = 1
⊦ ∀m n. ¬(m < n) ⇔ n ≤ m
⊦ ∀m n. ¬(m ≤ n) ⇔ n < m
⊦ ∀p. (∀b. p b) ⇔ p ⊤ ∧ p ⊥
⊦ (∧) = λp q. (λf. f p q) = λf. f ⊤ ⊤
⊦ ∀p. ¬(∀x. p x) ⇔ ∃x. ¬p x
⊦ ∀p. ¬(∃x. p x) ⇔ ∀x. ¬p x
⊦ (∃) = λp. ∀q. (∀x. p x ⇒ q) ⇒ q
⊦ ∀t1 t2. ¬(t1 ⇒ t2) ⇔ t1 ∧ ¬t2
⊦ ∀t1 t2. ¬t1 ⇒ ¬t2 ⇔ t2 ⇒ t1
⊦ ∀m n. m + suc n = suc (m + n)
⊦ ∀m n. suc m + n = suc (m + n)
⊦ ∀m n. suc m = suc n ⇔ m = n
⊦ ∀m n. m + n = n ⇔ m = 0
⊦ ∀a b. gcd a b = a ⇔ divides a b
⊦ ∀t1 t2. ¬(t1 ∧ t2) ⇔ ¬t1 ∨ ¬t2
⊦ ∀t1 t2. ¬(t1 ∨ t2) ⇔ ¬t1 ∧ ¬t2
⊦ ∀a b c. divides a b ⇒ divides a (b * c)
⊦ ∀a b c. divides a c ⇒ divides a (b * c)
⊦ ∀a b. divides a b ⇔ ∃c. c * a = b
⊦ (∨) = λp q. ∀r. (p ⇒ r) ⇒ (q ⇒ r) ⇒ r
⊦ ∀m n. m ≤ n ∧ n ≤ m ⇔ m = n
⊦ ∀m n. m < n ⇔ ∃d. n = m + suc d
⊦ ∀p q. p ∧ (∃x. q x) ⇔ ∃x. p ∧ q x
⊦ ∀p q. p ∨ (∀x. q x) ⇔ ∀x. p ∨ q x
⊦ ∀p q. p ∨ (∃x. q x) ⇔ ∃x. p ∨ q x
⊦ ∀m n. m < n ⇔ m ≤ n ∧ ¬(m = n)
⊦ ∀a b. ¬(b = 0) ∧ divides a b ⇒ a ≤ b
⊦ ∀p q. (∃x. p x) ∧ q ⇔ ∃x. p x ∧ q
⊦ ∀p q. (∃x. p x) ∨ q ⇔ ∃x. p x ∨ q
⊦ ∀t1 t2 t3. (t1 ∨ t2) ∨ t3 ⇔ t1 ∨ t2 ∨ t3
⊦ ∀m n p. m + (n + p) = m + n + p
⊦ ∀m n p. m ≤ n ∧ n ≤ p ⇒ m ≤ p
⊦ ∀a b c. divides a b ∧ divides b c ⇒ divides a c
⊦ ∀a b. ¬(b = 0) ∧ b ≤ a ⇒ divides b (factorial a)
⊦ ∀p. p 0 ∧ (∀n. p n ⇒ p (suc n)) ⇒ ∀n. p n
⊦ ∀a b c. divides (gcd a (b * c)) (gcd a b * gcd a c)
⊦ ∀a. divides a 2 ⇔ a = 1 ∨ a = 2
⊦ ∀a. divides a 3 ⇔ a = 1 ∨ a = 3
⊦ ∀p. (∀n. (∀m. m < n ⇒ p m) ⇒ p n) ⇒ ∀n. p n
⊦ ∀p q. (∀x. p x ∧ q x) ⇔ (∀x. p x) ∧ ∀x. q x
⊦ ∀p q. (∃x. p x) ∨ (∃x. q x) ⇔ ∃x. p x ∨ q x
⊦ ∀a b s t. distance (s * a) (t * b) = 1 ⇒ gcd a b = 1
⊦ ∀a b. (∀c. divides c a ∧ divides c b ⇒ c = 1) ⇒ gcd a b = 1
⊦ ∀p. prime p ⇔ ¬(p = 1) ∧ ∀n. divides n p ⇒ n = 1 ∨ n = p