Package natural-sub-thm: natural-sub-thm

Information

Files

• Package tarball natural-sub-thm-1.4.tgz
• Theory file natural-sub-thm.thy (included in the package tarball)

Theorems

⊦ ∀m. Number.Natural.- m 0 = m

⊦ ∀n. Number.Natural.- n n = 0

⊦ ∀n. Number.Natural.- (Number.Natural.suc n) 1 = n

⊦ ∀m n. Number.Natural.- (Number.Natural.+ m n) m = n

⊦ ∀n. ¬(n = 0) ⇒ Number.Natural.pre n = Number.Natural.- n 1

⊦ ∀m n.
    Number.Natural.≤ n m ⇒ Number.Natural.+ n (Number.Natural.- m n) = m

⊦ ∀m n.
    Number.Natural.≤ n m ⇒ Number.Natural.+ (Number.Natural.- m n) n = m

⊦ ∀m n.
    Number.Natural.< n m ⇒
    Number.Natural.- m (Number.Natural.suc n) =
    Number.Natural.pre (Number.Natural.- m n)

⊦ ∀m n.
    Number.Natural.< n m ⇒
    Number.Natural.suc (Number.Natural.- m (Number.Natural.suc n)) =
    Number.Natural.- m n

⊦ ∀m n.
    Number.Natural.≤ n m ⇒
    Number.Natural.suc (Number.Natural.- m n) =
    Number.Natural.- (Number.Natural.suc m) n

⊦ ∀m n. Number.Natural.≤ n m ⇒ (Number.Natural.- m n = 0 ⇔ m = n)

⊦ ∀m n.
    Number.Natural.≤ n m ⇒
    Number.Natural.pre (Number.Natural.- (Number.Natural.suc m) n) =
    Number.Natural.- m n

⊦ ∀m n.
    Number.Natural.≤ n m ⇒
    Number.Natural.- (Number.Natural.suc m) (Number.Natural.suc n) =
    Number.Natural.- m n

⊦ ∀m n.
    Number.Natural.≤ n m ⇒
    (Number.Natural.even (Number.Natural.- m n) ⇔ Number.Natural.even m ⇔
     Number.Natural.even n)

⊦ ∀m n.
    Number.Natural.≤ n m ⇒
    (Number.Natural.odd (Number.Natural.- m n) ⇔
     ¬(Number.Natural.odd m ⇔ Number.Natural.odd n))

⊦ ∀m n p.
    Number.Natural.≤ n m ⇒
    Number.Natural.- (Number.Natural.+ m p) (Number.Natural.+ n p) =
    Number.Natural.- m n

⊦ ∀m n p.
    Number.Natural.≤ p n ⇒
    Number.Natural.- (Number.Natural.+ m n) (Number.Natural.+ m p) =
    Number.Natural.- n p

⊦ ∀m n p.
    Number.Natural.≤ n m ⇒
    Number.Natural.* (Number.Natural.- m n) p =
    Number.Natural.- (Number.Natural.* m p) (Number.Natural.* n p)

⊦ ∀m n p.
    Number.Natural.≤ p n ⇒
    Number.Natural.* m (Number.Natural.- n p) =
    Number.Natural.- (Number.Natural.* m n) (Number.Natural.* m p)

Input Type Operators

• →
• bool
• Number
  • Natural
    • Number.Natural.natural

Input Constants

• =
• Data
  • Bool
    • ∀
    • ∧
    • ⇒
    • ∃
    • ∨
    • ~
    • F
    • T
• Number
  • Natural
    • Number.Natural.*
    • Number.Natural.+
    • Number.Natural.-
    • Number.Natural.<
    • Number.Natural.≤
    • Number.Natural.bit1
    • Number.Natural.even
    • Number.Natural.odd
    • Number.Natural.pre
    • Number.Natural.suc
    • Number.Natural.zero

Assumptions

⊦ T

⊦ F ⇔ ∀p. p

⊦ (~) = λp. p ⇒ F

⊦ ∀t. (∀x. t) ⇔ t

⊦ (∀) = λp. p = λx. T

⊦ ∀x. x = x ⇔ T

⊦ ∀n. ¬(Number.Natural.suc n = 0)

⊦ ∀n. Number.Natural.pre (Number.Natural.suc n) = n

⊦ ∀m. Number.Natural.+ m 0 = m

⊦ ∀n. ¬Number.Natural.even n ⇔ Number.Natural.odd n

⊦ (⇒) = λp q. p ∧ q ⇔ p

⊦ ∀t. (t ⇔ T) ∨ (t ⇔ F)

⊦ ∀m. Number.Natural.suc m = Number.Natural.+ m 1

⊦ (¬T ⇔ F) ∧ (¬F ⇔ T)

⊦ ∀x y. x = y ⇒ y = x

⊦ ∀m n. Number.Natural.* m n = Number.Natural.* n m

⊦ ∀m n. Number.Natural.+ m n = Number.Natural.+ n m

⊦ ∀m n. Number.Natural.< m n ⇒ Number.Natural.≤ m n

⊦ ∀m n. Number.Natural.- (Number.Natural.+ m n) n = m

⊦ ∀m n. Number.Natural.< m (Number.Natural.suc n) ⇔ Number.Natural.≤ m n

⊦ ∀m n. Number.Natural.≤ (Number.Natural.suc m) n ⇔ Number.Natural.< m n

⊦ (∧) = λp q. (λf. f p q) = λf. f T T

⊦ (∃) = λP. ∀q. (∀x. P x ⇒ q) ⇒ q

⊦ ∀m n.
    Number.Natural.< (Number.Natural.suc m) (Number.Natural.suc n) ⇔
    Number.Natural.< m n

⊦ ∀m n. Number.Natural.+ m n = m ⇔ n = 0

⊦ ∀m n.
    Number.Natural.even (Number.Natural.+ m n) ⇔ Number.Natural.even m ⇔
    Number.Natural.even n

⊦ ∀m n. Number.Natural.≤ m n ⇔ ∃d. n = Number.Natural.+ m d

⊦ (∨) = λp q. ∀r. (p ⇒ r) ⇒ (q ⇒ r) ⇒ r

⊦ ∀m n p.
    Number.Natural.+ m (Number.Natural.+ n p) =
    Number.Natural.+ (Number.Natural.+ m n) p

⊦ ∀P. P 0 ∧ (∀n. P n ⇒ P (Number.Natural.suc n)) ⇒ ∀n. P n

⊦ (∀t. ¬¬t ⇔ t) ∧ (¬T ⇔ F) ∧ (¬F ⇔ T)

⊦ ∀m n p.
    Number.Natural.* m (Number.Natural.+ n p) =
    Number.Natural.+ (Number.Natural.* m n) (Number.Natural.* m p)

⊦ (∀n. Number.Natural.+ 0 n = n) ∧
  ∀m n.
    Number.Natural.+ (Number.Natural.suc m) n =
    Number.Natural.suc (Number.Natural.+ m n)

⊦ (∀m. Number.Natural.< m 0 ⇔ F) ∧
  ∀m n.
    Number.Natural.< m (Number.Natural.suc n) ⇔
    m = n ∨ Number.Natural.< m n

⊦ ∀t. ((T ⇔ t) ⇔ t) ∧ ((t ⇔ T) ⇔ t) ∧ ((F ⇔ t) ⇔ ¬t) ∧ ((t ⇔ F) ⇔ ¬t)

⊦ ∀t. (T ⇒ t ⇔ t) ∧ (t ⇒ T ⇔ T) ∧ (F ⇒ t ⇔ T) ∧ (t ⇒ t ⇔ T) ∧ (t ⇒ F ⇔ ¬t)