Package real: The real numbers

Information

name	real
version	1.24
description	The real numbers
author	Joe Hurd <joe@gilith.com>
license	MIT
requires	bool function pair natural set
show	Data.Bool Data.Pair Function Number.Natural as Natural Number.Real Set

Files

Package tarball real-1.24.tgz
Theory file real.thy (included in the package tarball)

Defined Type Operator

Number
- Real
  - real

Defined Constants

Number
- Real
  - *
  - +
  - -
  - /
  - <
  - ≤
  - >
  - ≥
  - ~
  - abs
  - exp
  - fromNatural
  - inv
  - max
  - min
  - sup

Theorems

⊦ ∀x. x ≤ x

⊦ ∀x. 0 + x = x

⊦ ∀x. exp x 0 = 1

⊦ ∀x. ~x + x = 0

⊦ ∀x. 1 * x = x

⊦ ∀x y. x > y ⇔ y < x

⊦ ∀x y. x ≥ y ⇔ y ≤ x

⊦ ∀x y. x * y = y * x

⊦ ∀x y. x + y = y + x

⊦ ∀x y. x ≤ y ∨ y ≤ x

⊦ ∀x y. x < y ⇔ ¬(y ≤ x)

⊦ ∀x y. x - y = x + ~y

⊦ ∀x y. x / y = x * inv y

⊦ ∀m n. fromNatural m = fromNatural n ⇔ m = n

⊦ ∀m n. fromNatural m ≤ fromNatural n ⇔ Natural.≤ m n

⊦ ∀x. abs x = if 0 ≤ x then x else ~x

⊦ ∀m n. fromNatural m * fromNatural n = fromNatural (Natural.* m n)

⊦ ∀m n. fromNatural m + fromNatural n = fromNatural (Natural.+ m n)

⊦ ∀x n. exp x (Natural.suc n) = x * exp x n

⊦ ∀m n. max m n = if m ≤ n then n else m

⊦ ∀m n. min m n = if m ≤ n then m else n

⊦ ∀x y. x ≤ y ∧ y ≤ x ⇔ x = y

⊦ ∀x y z. y ≤ z ⇒ x + y ≤ x + z

⊦ ∀x y z. x * (y * z) = x * y * z

⊦ ∀x y z. x + (y + z) = x + y + z

⊦ ∀x y z. x ≤ y ∧ y ≤ z ⇒ x ≤ z

⊦ ∀x. ¬(x = 0) ⇒ inv x * x = 1

⊦ ∀x y z. x * (y + z) = x * y + x * z

⊦ ∀x y. 0 ≤ x ∧ 0 ≤ y ⇒ 0 ≤ x * y

⊦ ∀s x. ¬(s = ∅) ∧ (∃m. ∀x. x ∈ s ⇒ x ≤ m) ∧ x ∈ s ⇒ x ≤ sup s

⊦ ∀s m.
¬(s = ∅) ∧ (∃m. ∀x. x ∈ s ⇒ x ≤ m) ∧ (∀x. x ∈ s ⇒ x ≤ m) ⇒ sup s ≤ m

⊦ ∀p.
(∃x. p x) ∧ (∃m. ∀x. p x ⇒ x ≤ m) ⇒
∃s. (∀x. p x ⇒ x ≤ s) ∧ ∀m. (∀x. p x ⇒ x ≤ m) ⇒ s ≤ m

Input Type Operators

→
bool
Data
- Pair
  - ×
Number
- Natural
  - Natural.natural
Set
- set

Input Constants

=
select
Data
- Bool
  - ∀
  - ∧
  - ⇒
  - ∃
  - ∃!
  - ∨
  - ¬
  - cond
  - F
  - T
- Pair
  - ,
  - fst
  - snd
Function
- id
Number
- Natural
  - Natural.*
  - Natural.+
  - Natural.<
  - Natural.≤
  - Natural.bit0
  - Natural.bit1
  - Natural.distance
  - Natural.div
  - Natural.mod
  - Natural.suc
  - Natural.zero
Set
- ∅
- fromPredicate
- ∈

Assumptions

⊦ T

⊦ ¬F ⇔ T

⊦ ¬T ⇔ F

⊦ Natural.bit0 0 = 0

⊦ ∀t. t ⇒ t

⊦ ∀n. Natural.≤ 0 n

⊦ ∀n. Natural.≤ n n

⊦ F ⇔ ∀p. p

⊦ ∀x. id x = x

⊦ ∀t. t ∨ ¬t

⊦ ∀n. ¬Natural.< n n

⊦ (¬) = λp. p ⇒ F

⊦ (∃) = λP. P ((select) P)

⊦ ∀a. ∃x. x = a

⊦ ∀t. (∀x. t) ⇔ t

⊦ ∀t. (∃x. t) ⇔ t

⊦ ∀t. (λx. t x) = t

⊦ (∀) = λp. p = λx. T

⊦ ∀t. ¬¬t ⇔ t

⊦ ∀t. (T ⇔ t) ⇔ t

⊦ ∀t. (t ⇔ T) ⇔ t

⊦ ∀t. F ∧ t ⇔ F

⊦ ∀t. T ∧ t ⇔ t

⊦ ∀t. t ∧ T ⇔ t

⊦ ∀t. t ∧ t ⇔ t

⊦ ∀t. F ⇒ t ⇔ T

⊦ ∀t. T ⇒ t ⇔ t

⊦ ∀t. t ⇒ T ⇔ T

⊦ ∀t. F ∨ t ⇔ t

⊦ ∀t. T ∨ t ⇔ T

⊦ ∀t. t ∨ F ⇔ t

⊦ ∀t. t ∨ T ⇔ T

⊦ ∀n. ¬(Natural.suc n = 0)

⊦ ∀m. Natural.< m 0 ⇔ F

⊦ ∀n. Natural.* 0 n = 0

⊦ ∀m. Natural.* m 0 = 0

⊦ ∀n. Natural.+ 0 n = n

⊦ ∀m. Natural.+ m 0 = m

⊦ ∀n. Natural.distance 0 n = n

⊦ ∀n. Natural.distance n 0 = n

⊦ ∀n. Natural.distance n n = 0

⊦ ∀t. (F ⇔ t) ⇔ ¬t

⊦ ∀t. t ⇒ F ⇔ ¬t

⊦ ∀n. Natural.bit1 n = Natural.suc (Natural.bit0 n)

⊦ ∀m. Natural.* m 1 = m

⊦ ∀m. Natural.* 1 m = m

⊦ ∀x. (select y. y = x) = x

⊦ ∀m n. Natural.≤ m (Natural.+ m n)

⊦ ∀m n. Natural.≤ n (Natural.+ m n)

⊦ (⇒) = λp q. p ∧ q ⇔ p

⊦ ∀t. (t ⇔ T) ∨ (t ⇔ F)

⊦ ∀m. Natural.suc m = Natural.+ m 1

⊦ ∀m. Natural.≤ m 0 ⇔ m = 0

⊦ ∀x. (fst x, snd x) = x

⊦ ∀t1 t2. (if F then t1 else t2) = t2

⊦ ∀t1 t2. (if T then t1 else t2) = t1

⊦ ∀x y. fst (x, y) = x

⊦ ∀x y. snd (x, y) = y

⊦ ∀p x. p x ⇒ p ((select) p)

⊦ ∀n.
Natural.bit0 (Natural.suc n) =
Natural.suc (Natural.suc (Natural.bit0 n))

⊦ ∀f y. (let x ← y in f x) = f y

⊦ ∀x y. x = y ⇔ y = x

⊦ ∀x y. x = y ⇒ y = x

⊦ ∀t1 t2. t1 ∨ t2 ⇔ t2 ∨ t1

⊦ ∀a b. (a ⇔ b) ⇒ a ⇒ b

⊦ ∀m n. Natural.* m n = Natural.* n m

⊦ ∀m n. Natural.+ m n = Natural.+ n m

⊦ ∀m n. Natural.distance m n = Natural.distance n m

⊦ ∀m n. m = n ⇒ Natural.≤ m n

⊦ ∀m n. Natural.< m n ⇒ Natural.≤ m n

⊦ ∀m n. Natural.≤ m n ∨ Natural.≤ n m

⊦ ∀m n. Natural.≤ (Natural.distance m n) (Natural.+ m n)

⊦ ∀m n. Natural.distance m (Natural.+ m n) = n

⊦ ∀m n. Natural.distance (Natural.+ m n) m = n

⊦ ∀n. Natural.* 2 n = Natural.+ n n

⊦ ∀m n. ¬Natural.< m n ⇔ Natural.≤ n m

⊦ ∀m n. ¬Natural.≤ m n ⇔ Natural.< n m

⊦ ∀m n. Natural.≤ (Natural.suc m) n ⇔ Natural.< m n

⊦ ∀s. (∃x. x ∈ s) ⇔ ¬(s = ∅)

⊦ (∧) = λp q. (λf. f p q) = λf. f T T

⊦ ∀P. ¬(∀x. P x) ⇔ ∃x. ¬P x

⊦ ∀P. ¬(∃x. P x) ⇔ ∀x. ¬P x

⊦ (∃) = λP. ∀q. (∀x. P x ⇒ q) ⇒ q

⊦ ∀m n. Natural.+ m (Natural.suc n) = Natural.suc (Natural.+ m n)

⊦ ∀m n. Natural.+ (Natural.suc m) n = Natural.suc (Natural.+ m n)

⊦ ∀m n. Natural.suc m = Natural.suc n ⇔ m = n

⊦ ∀m n. Natural.distance m n = 0 ⇔ m = n

⊦ ∀t1 t2. ¬(t1 ∨ t2) ⇔ ¬t1 ∧ ¬t2

⊦ ∀m n. Natural.* m (Natural.suc n) = Natural.+ m (Natural.* m n)

⊦ ∀m n. Natural.* (Natural.suc m) n = Natural.+ (Natural.* m n) n

⊦ ∀m n. ¬(n = 0) ⇒ Natural.< (Natural.mod m n) n

⊦ ∀P. (∀p. P p) ⇔ ∀p1 p2. P (p1, p2)

⊦ ∀m n. Natural.≤ m n ⇔ ∃d. n = Natural.+ m d

⊦ ∀A B. (∀n. Natural.≤ (Natural.* A n) B) ⇔ A = 0

⊦ ∀f g. (∀x. f x = g x) ⇔ f = g

⊦ (∨) = λp q. ∀r. (p ⇒ r) ⇒ (q ⇒ r) ⇒ r

⊦ ∀P. (∀x y. P x y) ⇔ ∀y x. P x y

⊦ ∀P Q. P ∧ (∃x. Q x) ⇔ ∃x. P ∧ Q x

⊦ ∀P Q. P ⇒ (∀x. Q x) ⇔ ∀x. P ⇒ Q x

⊦ ∀P Q. P ⇒ (∃x. Q x) ⇔ ∃x. P ⇒ Q x

⊦ ∀P Q. P ∨ (∃x. Q x) ⇔ ∃x. P ∨ Q x

⊦ ∀m n. Natural.< m (Natural.suc n) ⇔ m = n ∨ Natural.< m n

⊦ ∀P Q. (∀x. P x ∨ Q) ⇔ (∀x. P x) ∨ Q

⊦ ∀P Q. (∃x. P x) ∧ Q ⇔ ∃x. P x ∧ Q

⊦ ∀P Q. (∀x. P x) ∨ Q ⇔ ∀x. P x ∨ Q

⊦ ∀P Q. (∃x. P x) ∨ Q ⇔ ∃x. P x ∨ Q

⊦ ∀p q r. p ⇒ q ⇒ r ⇔ p ∧ q ⇒ r

⊦ ∀t1 t2 t3. (t1 ∧ t2) ∧ t3 ⇔ t1 ∧ t2 ∧ t3

⊦ ∀t1 t2 t3. (t1 ∨ t2) ∨ t3 ⇔ t1 ∨ t2 ∨ t3

⊦ ∀m n p.
Natural.≤ (Natural.distance m p)
(Natural.+ (Natural.distance m n) (Natural.distance n p))

⊦ ∀m n p. Natural.* m (Natural.* n p) = Natural.* n (Natural.* m p)

⊦ ∀m n p. Natural.* m (Natural.* n p) = Natural.* (Natural.* m n) p

⊦ ∀m n p. Natural.+ m (Natural.+ n p) = Natural.+ (Natural.+ m n) p

⊦ ∀m n p. Natural.+ m n = Natural.+ m p ⇔ n = p

⊦ ∀m n p. Natural.≤ (Natural.+ m n) (Natural.+ m p) ⇔ Natural.≤ n p

⊦ ∀m n p. Natural.≤ (Natural.+ m p) (Natural.+ n p) ⇔ Natural.≤ m n

⊦ ∀m n p.
Natural.distance (Natural.+ m n) (Natural.+ m p) = Natural.distance n p

⊦ ∀m n p. Natural.≤ m n ∧ Natural.≤ n p ⇒ Natural.≤ m p

⊦ ∀P x. (∀y. P y ⇔ y = x) ⇒ (select) P = x

⊦ ∀P. (∀x. ∃y. P x y) ⇔ ∃y. ∀x. P x (y x)

⊦ ∀m n. Natural.≤ m (Natural.suc n) ⇔ m = Natural.suc n ∨ Natural.≤ m n

⊦ ∀m n. Natural.+ m n = 0 ⇔ m = 0 ∧ n = 0

⊦ ∀P. P 0 ∧ (∀n. P n ⇒ P (Natural.suc n)) ⇒ ∀n. P n

⊦ ∀p x. x ∈ { y. y | p y } ⇔ p x

⊦ ∀p q r. p ⇒ q ∧ r ⇔ (p ⇒ q) ∧ (p ⇒ r)

⊦ ∀m n p.
Natural.* m (Natural.+ n p) = Natural.+ (Natural.* m n) (Natural.* m p)

⊦ ∀m n p.
Natural.* m (Natural.distance n p) =
Natural.distance (Natural.* m n) (Natural.* m p)

⊦ ∀m n p.
Natural.* (Natural.+ m n) p = Natural.+ (Natural.* m p) (Natural.* n p)

⊦ ∀p m n.
Natural.* (Natural.distance m n) p =
Natural.distance (Natural.* m p) (Natural.* n p)

⊦ (∃!) = λP. (∃) P ∧ ∀x y. P x ∧ P y ⇒ x = y

⊦ ∀P Q. (∀x. P x ∧ Q x) ⇔ (∀x. P x) ∧ ∀x. Q x

⊦ ∀P Q. (∃x. P x ∨ Q x) ⇔ (∃x. P x) ∨ ∃x. Q x

⊦ ∀P Q. (∀x. P x) ∧ (∀x. Q x) ⇔ ∀x. P x ∧ Q x

⊦ ∀P Q. (∃x. P x) ∨ (∃x. Q x) ⇔ ∃x. P x ∨ Q x

⊦ ∀e f. ∃!fn. fn 0 = e ∧ ∀n. fn (Natural.suc n) = f (fn n) n

⊦ ∀A B C.
(∀n. Natural.≤ (Natural.* A n) (Natural.+ (Natural.* B n) C)) ⇔
Natural.≤ A B

⊦ ∀m n.
¬(n = 0) ⇒
Natural.+ (Natural.* (Natural.div m n) n) (Natural.mod m n) = m

⊦ ∀m n p. Natural.≤ (Natural.* m n) (Natural.* m p) ⇔ m = 0 ∨ Natural.≤ n p

⊦ ∀m n p. Natural.≤ (Natural.* m p) (Natural.* n p) ⇔ Natural.≤ m n ∨ p = 0

⊦ ∀x y a b. (x, y) = (a, b) ⇔ x = a ∧ y = b

⊦ ∀m n p q.
    Natural.≤ (Natural.distance m p)
      (Natural.+ (Natural.distance (Natural.+ m n) (Natural.+ p q))
         (Natural.distance n q))

⊦ ∀m n p q.
Natural.< m p ∧ Natural.< n q ⇒
Natural.< (Natural.+ m n) (Natural.+ p q)

⊦ ∀m n p q.
Natural.≤ m n ∧ Natural.≤ p q ⇒
Natural.≤ (Natural.* m p) (Natural.* n q)

⊦ ∀m n p q.
Natural.≤ m p ∧ Natural.≤ n q ⇒
Natural.≤ (Natural.+ m n) (Natural.+ p q)

⊦ ∀m n p q.
Natural.≤ (Natural.distance (Natural.+ m n) (Natural.+ p q))
(Natural.+ (Natural.distance m p) (Natural.distance n q))

⊦ ∀m n p.
Natural.≤ (Natural.distance m n) p ⇔
Natural.≤ m (Natural.+ n p) ∧ Natural.≤ n (Natural.+ m p)

⊦ ∀P c x y. P (if c then x else y) ⇔ (c ⇒ P x) ∧ (¬c ⇒ P y)

⊦ ∀P.
(∃B. ∀n. Natural.≤ (P n) B) ⇔
∃A B. ∀n. Natural.≤ (Natural.* n (P n)) (Natural.+ (Natural.* A n) B)

⊦ ∀P.
(∃x. P x) ∧ (∃M. ∀x. P x ⇒ Natural.≤ x M) ⇔
∃m. P m ∧ ∀x. P x ⇒ Natural.≤ x m

⊦ ∀P Q.
(∃B. ∀i. Natural.≤ (P i) (Natural.+ (Q i) B)) ⇔
∃B N. ∀i. Natural.≤ N i ⇒ Natural.≤ (P i) (Natural.+ (Q i) B)

⊦ ∀m n p q r s.
    Natural.≤ (Natural.distance m n) r ∧
    Natural.≤ (Natural.distance p q) s ⇒
    Natural.≤ (Natural.distance m p)
      (Natural.+ (Natural.distance n q) (Natural.+ r s))

⊦ ∀P A B.
    P 0 0 = 0 ∧
    (∀m n. Natural.≤ (P m n) (Natural.+ (Natural.* A (Natural.+ m n)) B)) ⇒
    ∃B. ∀m n. Natural.≤ (P m n) (Natural.* B (Natural.+ m n))