Package real: The real numbers

Information

Files

• Package tarball real-1.8.tgz
• Theory file real.thy (included in the package tarball)

Defined Type Operator

• Number
  • Real
    • real

Defined Constants

• Number
  • Real
    • *
    • +
    • -
    • /
    • <
    • ≤
    • >
    • ≥
    • ~
    • abs
    • exp
    • fromNatural
    • inv
    • max
    • min
    • sup

Theorems

⊦ ∀x. x ≤ x

⊦ ∀x. 0 + x = x

⊦ ∀x. ~x + x = 0

⊦ ∀x. 1 * x = x

⊦ ∀x y. x > y ⇔ y < x

⊦ ∀x y. x ≥ y ⇔ y ≤ x

⊦ ∀x y. x * y = y * x

⊦ ∀x y. x + y = y + x

⊦ ∀x y. x ≤ y ∨ y ≤ x

⊦ ∀x y. x < y ⇔ ¬(y ≤ x)

⊦ ∀x y. x - y = x + ~y

⊦ ∀x y. x / y = x * inv y

⊦ ∀m n. fromNatural m = fromNatural n ⇔ m = n

⊦ ∀m n. fromNatural m ≤ fromNatural n ⇔ Natural.≤ m n

⊦ ∀x. abs x = if 0 ≤ x then x else ~x

⊦ ∀m n. fromNatural m * fromNatural n = fromNatural (Natural.* m n)

⊦ ∀m n. fromNatural m + fromNatural n = fromNatural (Natural.+ m n)

⊦ ∀m n. max m n = if m ≤ n then n else m

⊦ ∀m n. min m n = if m ≤ n then m else n

⊦ ∀x y. x ≤ y ∧ y ≤ x ⇔ x = y

⊦ ∀x y z. y ≤ z ⇒ x + y ≤ x + z

⊦ ∀x y z. x * (y * z) = x * y * z

⊦ ∀x y z. x + (y + z) = x + y + z

⊦ ∀x y z. x ≤ y ∧ y ≤ z ⇒ x ≤ z

⊦ ∀x. ¬(x = 0) ⇒ inv x * x = 1

⊦ ∀x y z. x * (y + z) = x * y + x * z

⊦ ∀x y. 0 ≤ x ∧ 0 ≤ y ⇒ 0 ≤ x * y

⊦ (∀x. exp x 0 = 1) ∧ ∀x n. exp x (Natural.suc n) = x * exp x n

⊦ ∀P.
    (∃x. P x) ∧ (∃M. ∀x. P x ⇒ x ≤ M) ⇒
    ∃M. (∀x. P x ⇒ x ≤ M) ∧ ∀M'. (∀x. P x ⇒ x ≤ M') ⇒ M ≤ M'

⊦ ∀s.
    ¬(s = ∅) ∧ (∃m. ∀x. x ∈ s ⇒ x ≤ m) ⇒
    (∀x. x ∈ s ⇒ x ≤ sup s) ∧ ∀m. (∀x. x ∈ s ⇒ x ≤ m) ⇒ sup s ≤ m

Input Type Operators

• →
• bool
• Data
  • Pair
    • Data.Pair.*
• Number
  • Natural
    • Natural.natural
• Set
  • set

Input Constants

• =
• select
• Data
  • Bool
    • ∀
    • ∧
    • ⇒
    • ∃
    • ∨
    • ~
    • cond
    • F
    • T
  • Pair
    • Data.Pair.,
    • Data.Pair.fst
    • Data.Pair.snd
• Function
  • Function.id
• Number
  • Natural
    • Natural.*
    • Natural.+
    • Natural.<
    • Natural.≤
    • Natural.bit0
    • Natural.bit1
    • Natural.distance
    • Natural.div
    • Natural.mod
    • Natural.suc
    • Natural.zero
• Set
  • ∅
  • fromPredicate
  • ∈

Assumptions

⊦ T

⊦ ∀n. Natural.≤ 0 n

⊦ ∀n. Natural.≤ n n

⊦ F ⇔ ∀p. p

⊦ ∀x. ¬(x ∈ ∅)

⊦ ∀x. Function.id x = x

⊦ ∀t. t ∨ ¬t

⊦ ∀n. ¬Natural.< n n

⊦ (~) = λp. p ⇒ F

⊦ (∃) = λP. P ((select) P)

⊦ ∀a. ∃x. x = a

⊦ ∀t. (∀x. t) ⇔ t

⊦ ∀t. (∃x. t) ⇔ t

⊦ ∀t. (λx. t x) = t

⊦ (∀) = λp. p = λx. T

⊦ ∀x. x = x ⇔ T

⊦ ∀n. ¬(Natural.suc n = 0)

⊦ ∀n. Natural.distance 0 n = n

⊦ ∀n. Natural.distance n 0 = n

⊦ ∀n. Natural.distance n n = 0

⊦ ∀n. Natural.bit0 n = Natural.+ n n

⊦ ∀x. (select y. y = x) = x

⊦ ∀m n. Natural.≤ m (Natural.+ m n)

⊦ ∀m n. Natural.≤ n (Natural.+ m n)

⊦ (⇒) = λp q. p ∧ q ⇔ p

⊦ ∀t. (t ⇔ T) ∨ (t ⇔ F)

⊦ ∀n. Natural.bit1 n = Natural.suc (Natural.+ n n)

⊦ ∀m. Natural.suc m = Natural.+ m 1

⊦ ∀x. Data.Pair., (Data.Pair.fst x) (Data.Pair.snd x) = x

⊦ ∀x y. Data.Pair.fst (Data.Pair., x y) = x

⊦ ∀x y. Data.Pair.snd (Data.Pair., x y) = y

⊦ ∀p x. p x ⇒ p ((select) p)

⊦ (¬T ⇔ F) ∧ (¬F ⇔ T)

⊦ ∀f y. (let x ← y ∈ f x) = f y

⊦ ∀x y. x = y ⇔ y = x

⊦ ∀a b. (a ⇔ b) ⇒ a ⇒ b

⊦ ∀m n. Natural.+ m n = Natural.+ n m

⊦ ∀m n. Natural.distance m n = Natural.distance n m

⊦ ∀m n. m = n ⇒ Natural.≤ m n

⊦ ∀m n. Natural.< m n ⇒ Natural.≤ m n

⊦ ∀m n. Natural.≤ m n ∨ Natural.≤ n m

⊦ ∀m n. Natural.≤ (Natural.distance m n) (Natural.+ m n)

⊦ ∀m n. Natural.distance m (Natural.+ m n) = n

⊦ ∀m n. Natural.distance (Natural.+ m n) m = n

⊦ ∀n. Natural.* 2 n = Natural.+ n n

⊦ ∀m n. ¬Natural.< m n ⇔ Natural.≤ n m

⊦ ∀m n. ¬Natural.≤ m n ⇔ Natural.< n m

⊦ ∀m n. Natural.≤ (Natural.suc m) n ⇔ Natural.< m n

⊦ ∀s. (∃x. x ∈ s) ⇔ ¬(s = ∅)

⊦ (∧) = λp q. (λf. f p q) = λf. f T T

⊦ ∀P. ¬(∀x. P x) ⇔ ∃x. ¬P x

⊦ ∀P. ¬(∃x. P x) ⇔ ∀x. ¬P x

⊦ (∃) = λP. ∀q. (∀x. P x ⇒ q) ⇒ q

⊦ ∀m n. Natural.suc m = Natural.suc n ⇔ m = n

⊦ ∀m n. Natural.distance m n = 0 ⇔ m = n

⊦ ∀m n. ¬(n = 0) ⇒ Natural.< (Natural.mod m n) n

⊦ ∀P. (∀p. P p) ⇔ ∀p1 p2. P (Data.Pair., p1 p2)

⊦ ∀m n. Natural.≤ m n ⇔ ∃d. n = Natural.+ m d

⊦ ∀A B. (∀n. Natural.≤ (Natural.* A n) B) ⇔ A = 0

⊦ ∀f g. f = g ⇔ ∀x. f x = g x

⊦ (∨) = λp q. ∀r. (p ⇒ r) ⇒ (q ⇒ r) ⇒ r

⊦ ∀m n. Natural.≤ m n ∧ Natural.≤ n m ⇔ m = n

⊦ ∀P. (∀x y. P x y) ⇔ ∀y x. P x y

⊦ ∀P Q. P ∧ (∃x. Q x) ⇔ ∃x. P ∧ Q x

⊦ ∀P Q. P ⇒ (∃x. Q x) ⇔ ∃x. P ⇒ Q x

⊦ ∀P Q. P ∨ (∃x. Q x) ⇔ ∃x. P ∨ Q x

⊦ ∀P Q. (∀x. P x ∨ Q) ⇔ (∀x. P x) ∨ Q

⊦ ∀P Q. (∃x. P x) ∧ Q ⇔ ∃x. P x ∧ Q

⊦ ∀P Q. (∀x. P x) ∨ Q ⇔ ∀x. P x ∨ Q

⊦ ∀P Q. (∃x. P x) ∨ Q ⇔ ∃x. P x ∨ Q

⊦ ∀t1 t2 t3. t1 ∨ t2 ∨ t3 ⇔ (t1 ∨ t2) ∨ t3

⊦ ∀p q r. p ∧ q ⇒ r ⇔ p ⇒ q ⇒ r

⊦ ∀m n p.
    Natural.≤ (Natural.distance m p)
      (Natural.+ (Natural.distance m n) (Natural.distance n p))

⊦ ∀m n p. Natural.* m (Natural.* n p) = Natural.* (Natural.* m n) p

⊦ ∀m n p. Natural.+ m (Natural.+ n p) = Natural.+ (Natural.+ m n) p

⊦ ∀m n p. Natural.+ m n = Natural.+ m p ⇔ n = p

⊦ ∀m n p. Natural.≤ (Natural.+ m n) (Natural.+ m p) ⇔ Natural.≤ n p

⊦ ∀m n p. Natural.≤ (Natural.+ m p) (Natural.+ n p) ⇔ Natural.≤ m n

⊦ ∀m n p.
    Natural.distance (Natural.+ m n) (Natural.+ m p) = Natural.distance n p

⊦ ∀m n p. Natural.≤ m n ∧ Natural.≤ n p ⇒ Natural.≤ m p

⊦ ∀s t. s = t ⇔ ∀x. x ∈ s ⇔ x ∈ t

⊦ ∀P x. (∀y. P y ⇔ y = x) ⇒ (select) P = x

⊦ ∀P. (∀x. ∃y. P x y) ⇔ ∃y. ∀x. P x (y x)

⊦ ∀t1 t2. (if T then t1 else t2) = t1 ∧ (if F then t1 else t2) = t2

⊦ ∀m n. Natural.+ m n = 0 ⇔ m = 0 ∧ n = 0

⊦ ∀P. P 0 ∧ (∀n. P n ⇒ P (Natural.suc n)) ⇒ ∀n. P n

⊦ (∀t. ¬¬t ⇔ t) ∧ (¬T ⇔ F) ∧ (¬F ⇔ T)

⊦ ∀p x. x ∈ { y. y | p y } ⇔ p x

⊦ ∀m n p.
    Natural.* m (Natural.+ n p) = Natural.+ (Natural.* m n) (Natural.* m p)

⊦ ∀m n p.
    Natural.* m (Natural.distance n p) =
    Natural.distance (Natural.* m n) (Natural.* m p)

⊦ ∀m n p.
    Natural.* (Natural.+ m n) p = Natural.+ (Natural.* m p) (Natural.* n p)

⊦ ∀p m n.
    Natural.* (Natural.distance m n) p =
    Natural.distance (Natural.* m p) (Natural.* n p)

⊦ ∀P Q. (∀x. P x ∧ Q x) ⇔ (∀x. P x) ∧ ∀x. Q x

⊦ ∀P Q. (∃x. P x ∨ Q x) ⇔ (∃x. P x) ∨ ∃x. Q x

⊦ ∀P Q. (∀x. P x) ∧ (∀x. Q x) ⇔ ∀x. P x ∧ Q x

⊦ ∀P Q. (∃x. P x) ∨ (∃x. Q x) ⇔ ∃x. P x ∨ Q x

⊦ ∀e f. ∃fn. fn 0 = e ∧ ∀n. fn (Natural.suc n) = f (fn n) n

⊦ ∀A B C.
    (∀n. Natural.≤ (Natural.* A n) (Natural.+ (Natural.* B n) C)) ⇔
    Natural.≤ A B

⊦ ∀m n.
    ¬(n = 0) ⇒
    Natural.+ (Natural.* (Natural.div m n) n) (Natural.mod m n) = m

⊦ ∀m n p. Natural.≤ (Natural.* m n) (Natural.* m p) ⇔ m = 0 ∨ Natural.≤ n p

⊦ ∀m n p. Natural.≤ (Natural.* m p) (Natural.* n p) ⇔ Natural.≤ m n ∨ p = 0

⊦ ∀x y a b. Data.Pair., x y = Data.Pair., a b ⇔ x = a ∧ y = b

⊦ ∀m n p q.
    Natural.≤ (Natural.distance m p)
      (Natural.+ (Natural.distance (Natural.+ m n) (Natural.+ p q))
         (Natural.distance n q))

⊦ ∀m n p q.
    Natural.< m p ∧ Natural.< n q ⇒
    Natural.< (Natural.+ m n) (Natural.+ p q)

⊦ ∀m n p q.
    Natural.≤ m n ∧ Natural.≤ p q ⇒
    Natural.≤ (Natural.* m p) (Natural.* n q)

⊦ ∀m n p q.
    Natural.≤ m p ∧ Natural.≤ n q ⇒
    Natural.≤ (Natural.+ m n) (Natural.+ p q)

⊦ ∀m n p q.
    Natural.≤ (Natural.distance (Natural.+ m n) (Natural.+ p q))
      (Natural.+ (Natural.distance m p) (Natural.distance n q))

⊦ ∀m n p.
    Natural.≤ (Natural.distance m n) p ⇔
    Natural.≤ m (Natural.+ n p) ∧ Natural.≤ n (Natural.+ m p)

⊦ ∀P c x y. P (if c then x else y) ⇔ (c ⇒ P x) ∧ (¬c ⇒ P y)

⊦ (∀m. Natural.< m 0 ⇔ F) ∧
  ∀m n. Natural.< m (Natural.suc n) ⇔ m = n ∨ Natural.< m n

⊦ ∀t1 t2. (¬(t1 ∧ t2) ⇔ ¬t1 ∨ ¬t2) ∧ (¬(t1 ∨ t2) ⇔ ¬t1 ∧ ¬t2)

⊦ ∀P.
    (∃B. ∀n. Natural.≤ (P n) B) ⇔
    ∃A B. ∀n. Natural.≤ (Natural.* n (P n)) (Natural.+ (Natural.* A n) B)

⊦ (∀m. Natural.≤ m 0 ⇔ m = 0) ∧
  ∀m n. Natural.≤ m (Natural.suc n) ⇔ m = Natural.suc n ∨ Natural.≤ m n

⊦ ∀t. ((T ⇔ t) ⇔ t) ∧ ((t ⇔ T) ⇔ t) ∧ ((F ⇔ t) ⇔ ¬t) ∧ ((t ⇔ F) ⇔ ¬t)

⊦ ∀P.
    (∃x. P x) ∧ (∃M. ∀x. P x ⇒ Natural.≤ x M) ⇔
    ∃m. P m ∧ ∀x. P x ⇒ Natural.≤ x m

⊦ ∀P Q.
    (∃B. ∀i. Natural.≤ (P i) (Natural.+ (Q i) B)) ⇔
    ∃B N. ∀i. Natural.≤ N i ⇒ Natural.≤ (P i) (Natural.+ (Q i) B)

⊦ ∀t. (T ∧ t ⇔ t) ∧ (t ∧ T ⇔ t) ∧ (F ∧ t ⇔ F) ∧ (t ∧ F ⇔ F) ∧ (t ∧ t ⇔ t)

⊦ ∀t. (T ∨ t ⇔ T) ∧ (t ∨ T ⇔ T) ∧ (F ∨ t ⇔ t) ∧ (t ∨ F ⇔ t) ∧ (t ∨ t ⇔ t)

⊦ ∀t. (T ⇒ t ⇔ t) ∧ (t ⇒ T ⇔ T) ∧ (F ⇒ t ⇔ T) ∧ (t ⇒ t ⇔ T) ∧ (t ⇒ F ⇔ ¬t)

⊦ ∀m n p q r s.
    Natural.≤ (Natural.distance m n) r ∧
    Natural.≤ (Natural.distance p q) s ⇒
    Natural.≤ (Natural.distance m p)
      (Natural.+ (Natural.distance n q) (Natural.+ r s))

⊦ ∀m n p.
    Natural.* m n = Natural.* n m ∧
    Natural.* (Natural.* m n) p = Natural.* m (Natural.* n p) ∧
    Natural.* m (Natural.* n p) = Natural.* n (Natural.* m p)

⊦ ∀m n p.
    Natural.+ m n = Natural.+ n m ∧
    Natural.+ (Natural.+ m n) p = Natural.+ m (Natural.+ n p) ∧
    Natural.+ m (Natural.+ n p) = Natural.+ n (Natural.+ m p)

⊦ ∀P A B.
    P 0 0 = 0 ∧
    (∀m n. Natural.≤ (P m n) (Natural.+ (Natural.* A (Natural.+ m n)) B)) ⇒
    ∃B. ∀m n. Natural.≤ (P m n) (Natural.* B (Natural.+ m n))

⊦ (∀n. Natural.+ 0 n = n) ∧ (∀m. Natural.+ m 0 = m) ∧
  (∀m n. Natural.+ (Natural.suc m) n = Natural.suc (Natural.+ m n)) ∧
  ∀m n. Natural.+ m (Natural.suc n) = Natural.suc (Natural.+ m n)

⊦ ∀p q r.
    (p ∨ q ⇔ q ∨ p) ∧ ((p ∨ q) ∨ r ⇔ p ∨ q ∨ r) ∧ (p ∨ q ∨ r ⇔ q ∨ p ∨ r) ∧
    (p ∨ p ⇔ p) ∧ (p ∨ p ∨ q ⇔ p ∨ q)

⊦ (∀n. Natural.* 0 n = 0) ∧ (∀m. Natural.* m 0 = 0) ∧
  (∀n. Natural.* 1 n = n) ∧ (∀m. Natural.* m 1 = m) ∧
  (∀m n. Natural.* (Natural.suc m) n = Natural.+ (Natural.* m n) n) ∧
  ∀m n. Natural.* m (Natural.suc n) = Natural.+ m (Natural.* m n)