Package relation-well-founded: Well-founded relations

Information

Files

• Package tarball relation-well-founded-1.10.tgz
• Theory file relation-well-founded.thy (included in the package tarball)

Defined Constant

• Relation
  • wellFounded

Theorems

⊦ wellFounded (<)

⊦ wellFounded (λx y. F)

⊦ ∀<< x. wellFounded << ⇒ ¬<< x x

⊦ ∀<< m. wellFounded << ⇒ wellFounded (λx x'. << (m x) (m x'))

⊦ ∀<<. wellFounded << ⇔ ¬∃s. ∀n. << (s (suc n)) (s n)

⊦ ∀<< <<<. (∀x y. << x y ⇒ <<< x y) ∧ wellFounded <<< ⇒ wellFounded <<

⊦ ∀<<. wellFounded << ⇔ ∀P. (∀x. (∀y. << y x ⇒ P y) ⇒ P x) ⇒ ∀x. P x

⊦ ∀<<. wellFounded << ⇔ ∀P. (∃x. P x) ⇔ ∃x. P x ∧ ∀y. << y x ⇒ ¬P y

⊦ ∀<<. wellFounded << ⇔ ∀P. (∃x. P x) ⇒ ∃x. P x ∧ ∀y. << y x ⇒ ¬P y

⊦ ∀H.
    (∀f g n. (∀m. m < n ⇒ f m = g m) ⇒ H f n = H g n) ⇒ ∃f. ∀n. f n = H f n

⊦ ∀<< <<<.
    wellFounded << ∧ wellFounded <<< ⇒
    wellFounded (λ(x1, y1) (x2, y2). << x1 x2 ∧ <<< y1 y2)

⊦ ∀<<.
    wellFounded << ⇒
    ∀H.
      (∀f g x. (∀z. << z x ⇒ f z = g z) ⇒ H f x = H g x) ⇒
      ∃f. ∀x. f x = H f x

⊦ ∀<<.
    wellFounded << ⇒
    ∀H.
      (∀f g x. (∀z. << z x ⇒ f z = g z) ⇒ H f x = H g x) ⇒
      ∃!f. ∀x. f x = H f x

⊦ ∀<<.
    (∀H.
       (∀f g x. (∀z. << z x ⇒ f z = g z) ⇒ H f x = H g x) ⇒
       ∃f. ∀x. f x = H f x) ⇒ wellFounded <<

⊦ ∀R S.
    wellFounded R ∧ wellFounded S ⇒
    wellFounded (λ(r1, s1) (r2, s2). R r1 r2 ∨ r1 = r2 ∧ S s1 s2)

⊦ ∀<<.
    (∀x. ¬<< x x) ∧ (∀x y z. << x y ∧ << y z ⇒ << x z) ∧
    (∀x. Set.finite { y. y | << y x }) ⇒ wellFounded <<

⊦ ∀R S.
    wellFounded R ∧ (∀a. wellFounded (S a)) ⇒
    wellFounded (λ(r1, s1) (r2, s2). R r1 r2 ∨ r1 = r2 ∧ S r1 s1 s2)

⊦ ∀<<.
    wellFounded << ⇒
    ∀H S.
      (∀f g x.
         (∀z. << z x ⇒ f z = g z ∧ S z (f z)) ⇒
         H f x = H g x ∧ S x (H f x)) ⇒ ∃f. ∀x. f x = H f x

⊦ ∀<<.
    wellFounded << ⇒
    ∀H.
      (∀f g x. (∀z. << z x ⇒ f z = g z) ⇒ H f x = H g x) ⇒
      ∀f g. (∀x. f x = H f x) ∧ (∀x. g x = H g x) ⇒ f = g

⊦ ∀<<.
    (∀H.
       (∀f g x. (∀z. << z x ⇒ (f z ⇔ g z)) ⇒ (H f x ⇔ H g x)) ⇒
       ∀f g. (∀x. f x ⇔ H f x) ∧ (∀x. g x ⇔ H g x) ⇒ f = g) ⇒
    wellFounded <<

Input Type Operators

• →
• bool
• Data
  • Pair
    • *
• Number
  • Natural
    • natural
• Set
  • Set.set

Input Constants

• =
• select
• Data
  • Bool
    • ∀
    • ∧
    • ⇒
    • ∃
    • ∃!
    • ∨
    • ~
    • cond
    • F
    • T
  • Pair
    • ,
• Function
  • Function.id
• Number
  • Natural
    • <
    • suc
    • zero
• Set
  • Set.finite
  • Set.fromPredicate
  • Set.image
  • Set.∈
  • Set.infinite
  • Set.insert
  • Set.⊆
  • Set.universe

Assumptions

⊦ T

⊦ Set.infinite Set.universe

⊦ ∀x. Set.∈ x Set.universe

⊦ F ⇔ ∀p. p

⊦ ∀x. Function.id x = x

⊦ ∀n. 0 < suc n

⊦ (~) = λp. p ⇒ F

⊦ (∃) = λP. P ((select) P)

⊦ ∀t. (∀x. t) ⇔ t

⊦ ∀t. (λx. t x) = t

⊦ (∀) = λp. p = λx. T

⊦ ∀x. x = x ⇔ T

⊦ ∀s. Set.infinite s ⇔ ¬Set.finite s

⊦ (⇒) = λp q. p ∧ q ⇔ p

⊦ ∀t. (t ⇔ T) ∨ (t ⇔ F)

⊦ ∀p x. p x ⇒ p ((select) p)

⊦ (¬T ⇔ F) ∧ (¬F ⇔ T)

⊦ ∀f y. (let x ← y ∈ f x) = f y

⊦ ∀x y. x = y ⇔ y = x

⊦ ∀s x. Set.finite (Set.insert x s) ⇔ Set.finite s

⊦ (∧) = λp q. (λf. f p q) = λf. f T T

⊦ ∀P. ¬(∀x. P x) ⇔ ∃x. ¬P x

⊦ ∀P. ¬(∃x. P x) ⇔ ∀x. ¬P x

⊦ (∃) = λP. ∀q. (∀x. P x ⇒ q) ⇒ q

⊦ ∀t1 t2. ¬(t1 ⇒ t2) ⇔ t1 ∧ ¬t2

⊦ ∀s t. Set.finite t ∧ Set.⊆ s t ⇒ Set.finite s

⊦ ∀P. (∀p. P p) ⇔ ∀p1 p2. P (p1, p2)

⊦ ∀f g. f = g ⇔ ∀x. f x = g x

⊦ (∨) = λp q. ∀r. (p ⇒ r) ⇒ (q ⇒ r) ⇒ r

⊦ ∀m n. m < n ∨ n < m ∨ m = n

⊦ ∀PAIR'. ∃fn. ∀a0 a1. fn (a0, a1) = PAIR' a0 a1

⊦ ∀P Q. (∀x. P ∨ Q x) ⇔ P ∨ ∀x. Q x

⊦ ∀P Q. (∃x. P ∧ Q x) ⇔ P ∧ ∃x. Q x

⊦ ∀P Q. P ∧ (∀x. Q x) ⇔ ∀x. P ∧ Q x

⊦ ∀P Q. P ∧ (∃x. Q x) ⇔ ∃x. P ∧ Q x

⊦ ∀P Q. P ∨ (∀x. Q x) ⇔ ∀x. P ∨ Q x

⊦ ∀P Q. P ∨ (∃x. Q x) ⇔ ∃x. P ∨ Q x

⊦ ∀P Q. (∀x. P x) ∧ Q ⇔ ∀x. P x ∧ Q

⊦ ∀P Q. (∃x. P x) ∧ Q ⇔ ∃x. P x ∧ Q

⊦ ∀P Q. (∃x. P x) ⇒ Q ⇔ ∀x. P x ⇒ Q

⊦ ∀P Q. (∀x. P x) ∨ Q ⇔ ∀x. P x ∨ Q

⊦ ∀P Q. (∃x. P x) ∨ Q ⇔ ∃x. P x ∨ Q

⊦ ∀t1 t2 t3. t1 ∧ t2 ∧ t3 ⇔ (t1 ∧ t2) ∧ t3

⊦ ∀t1 t2 t3. t1 ∨ t2 ∨ t3 ⇔ (t1 ∨ t2) ∨ t3

⊦ ∀s t. Set.⊆ s t ⇔ ∀x. Set.∈ x s ⇒ Set.∈ x t

⊦ ∀P. (∀x. ∃y. P x y) ⇔ ∃y. ∀x. P x (y x)

⊦ ∀t1 t2. (if T then t1 else t2) = t1 ∧ (if F then t1 else t2) = t2

⊦ ∀P. P 0 ∧ (∀n. P n ⇒ P (suc n)) ⇒ ∀n. P n

⊦ (∀t. ¬¬t ⇔ t) ∧ (¬T ⇔ F) ∧ (¬F ⇔ T)

⊦ ∀p x. Set.∈ x { y. y | p y } ⇔ p x

⊦ ∀x y s. Set.∈ x (Set.insert y s) ⇔ x = y ∨ Set.∈ x s

⊦ (∃!) = λP. (∃) P ∧ ∀x y. P x ∧ P y ⇒ x = y

⊦ ∀P. (∀n. (∀m. m < n ⇒ P m) ⇒ P n) ⇒ ∀n. P n

⊦ ∀P Q. (∀x. P x ∧ Q x) ⇔ (∀x. P x) ∧ ∀x. Q x

⊦ ∀P Q. (∃x. P x ∨ Q x) ⇔ (∃x. P x) ∨ ∃x. Q x

⊦ ∀P Q. (∀x. P x ⇒ Q x) ⇒ (∀x. P x) ⇒ ∀x. Q x

⊦ ∀P Q. (∀x. P x ⇒ Q x) ⇒ (∃x. P x) ⇒ ∃x. Q x

⊦ ∀P Q. (∃x. P x) ∨ (∃x. Q x) ⇔ ∃x. P x ∨ Q x

⊦ ∀e f. ∃fn. fn 0 = e ∧ ∀n. fn (suc n) = f (fn n) n

⊦ ∀P. (∃n. P n) ⇔ ∃n. P n ∧ ∀m. m < n ⇒ ¬P m

⊦ ∀A B C D. (A ⇒ B) ∧ (C ⇒ D) ⇒ A ∧ C ⇒ B ∧ D

⊦ ∀A B C D. (B ⇒ A) ∧ (C ⇒ D) ⇒ (A ⇒ C) ⇒ B ⇒ D

⊦ ∀P c x y. P (if c then x else y) ⇔ (c ⇒ P x) ∧ (¬c ⇒ P y)

⊦ (∀m. m < 0 ⇔ F) ∧ ∀m n. m < suc n ⇔ m = n ∨ m < n

⊦ ∀f s.
    (∀x y. f x = f y ⇒ x = y) ∧ Set.infinite s ⇒
    Set.infinite (Set.image f s)

⊦ ∀P f s. (∀y. Set.∈ y (Set.image f s) ⇒ P y) ⇔ ∀x. Set.∈ x s ⇒ P (f x)

⊦ ∀t1 t2. (¬(t1 ∧ t2) ⇔ ¬t1 ∨ ¬t2) ∧ (¬(t1 ∨ t2) ⇔ ¬t1 ∧ ¬t2)

⊦ ∀t. ((T ⇔ t) ⇔ t) ∧ ((t ⇔ T) ⇔ t) ∧ ((F ⇔ t) ⇔ ¬t) ∧ ((t ⇔ F) ⇔ ¬t)

⊦ ∀t. (T ∧ t ⇔ t) ∧ (t ∧ T ⇔ t) ∧ (F ∧ t ⇔ F) ∧ (t ∧ F ⇔ F) ∧ (t ∧ t ⇔ t)

⊦ ∀t. (T ∨ t ⇔ T) ∧ (t ∨ T ⇔ T) ∧ (F ∨ t ⇔ t) ∧ (t ∨ F ⇔ t) ∧ (t ∨ t ⇔ t)

⊦ ∀t. (T ⇒ t ⇔ t) ∧ (t ⇒ T ⇔ T) ∧ (F ⇒ t ⇔ T) ∧ (t ⇒ t ⇔ T) ∧ (t ⇒ F ⇔ ¬t)

⊦ ∀R.
    (∀x y z. R x y ∧ R y z ⇒ R x z) ∧ (∀n. R n (suc n)) ⇒
    ∀m n. m < n ⇒ R m n

⊦ ∀p q r.
    (p ∨ q ⇔ q ∨ p) ∧ ((p ∨ q) ∨ r ⇔ p ∨ q ∨ r) ∧ (p ∨ q ∨ r ⇔ q ∨ p ∨ r) ∧
    (p ∨ p ⇔ p) ∧ (p ∨ p ∨ q ⇔ p ∨ q)