Package set-fold-thm: set-fold-thm

Information

Files

• Package tarball set-fold-thm-1.9.tgz
• Theory file set-fold-thm.thy (included in the package tarball)

Theorems

⊦ ∀f b.
    (∀x y s. ¬(x = y) ⇒ f x (f y s) = f y (f x s)) ⇒
    Set.fold f Set.∅ b = b ∧
    ∀x s.
      Set.finite s ⇒
      Set.fold f s b =
      if Set.∈ x s then f x (Set.fold f (Set.delete s x) b)
      else Set.fold f (Set.delete s x) b

⊦ ∀s f g b.
    Set.finite s ∧ (∀x. Set.∈ x s ⇒ f x = g x) ∧
    (∀x y s. ¬(x = y) ⇒ f x (f y s) = f y (f x s)) ∧
    (∀x y s. ¬(x = y) ⇒ g x (g y s) = g y (g x s)) ⇒
    Set.fold f s b = Set.fold g s b

Input Type Operators

• →
• bool
• Set
  • Set.set

Input Constants

• =
• Data
  • Bool
    • ∀
    • ∧
    • ⇒
    • ∨
    • ~
    • cond
    • F
    • T
• Set
  • Set.∅
  • Set.delete
  • Set.finite
  • Set.fold
  • Set.∈
  • Set.insert

Assumptions

⊦ T

⊦ F ⇔ ∀p. p

⊦ ∀t. t ∨ ¬t

⊦ (~) = λp. p ⇒ F

⊦ ∀t. (∀x. t) ⇔ t

⊦ (∀) = λp. p = λx. T

⊦ ∀x. x = x ⇔ T

⊦ (⇒) = λp q. p ∧ q ⇔ p

⊦ ∀t. (t ⇔ T) ∨ (t ⇔ F)

⊦ (¬T ⇔ F) ∧ (¬F ⇔ T)

⊦ ∀x y. x = y ⇒ y = x

⊦ ∀s x. Set.finite s ⇒ Set.finite (Set.delete s x)

⊦ (∧) = λp q. (λf. f p q) = λf. f T T

⊦ ∀x s. Set.delete s x = s ⇔ ¬Set.∈ x s

⊦ (∨) = λp q. ∀r. (p ⇒ r) ⇒ (q ⇒ r) ⇒ r

⊦ ∀x s. Set.∈ x s ⇒ Set.insert x (Set.delete s x) = s

⊦ ∀P Q. (∀x. P ⇒ Q x) ⇔ P ⇒ ∀x. Q x

⊦ ∀p q r. p ∧ q ⇒ r ⇔ p ⇒ q ⇒ r

⊦ ∀t1 t2. (if T then t1 else t2) = t1 ∧ (if F then t1 else t2) = t2

⊦ ∀x y s. Set.∈ x (Set.insert y s) ⇔ x = y ∨ Set.∈ x s

⊦ ∀s x y. Set.∈ x (Set.delete s y) ⇔ Set.∈ x s ∧ ¬(x = y)

⊦ ∀t. ((T ⇔ t) ⇔ t) ∧ ((t ⇔ T) ⇔ t) ∧ ((F ⇔ t) ⇔ ¬t) ∧ ((t ⇔ F) ⇔ ¬t)

⊦ ∀P.
    P Set.∅ ∧
    (∀x s. P s ∧ ¬Set.∈ x s ∧ Set.finite s ⇒ P (Set.insert x s)) ⇒
    ∀s. Set.finite s ⇒ P s

⊦ ∀t. (T ∧ t ⇔ t) ∧ (t ∧ T ⇔ t) ∧ (F ∧ t ⇔ F) ∧ (t ∧ F ⇔ F) ∧ (t ∧ t ⇔ t)

⊦ ∀t. (T ∨ t ⇔ T) ∧ (t ∨ T ⇔ T) ∧ (F ∨ t ⇔ t) ∧ (t ∨ F ⇔ t) ∧ (t ∨ t ⇔ t)

⊦ ∀t. (T ⇒ t ⇔ t) ∧ (t ⇒ T ⇔ T) ∧ (F ⇒ t ⇔ T) ∧ (t ⇒ t ⇔ T) ∧ (t ⇒ F ⇔ ¬t)

⊦ ∀f b.
    (∀x y s. ¬(x = y) ⇒ f x (f y s) = f y (f x s)) ⇒
    Set.fold f Set.∅ b = b ∧
    ∀x s.
      Set.finite s ⇒
      Set.fold f (Set.insert x s) b =
      if Set.∈ x s then Set.fold f s b else f x (Set.fold f s b)