Package set-size: Sizes of finite sets

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• Package tarball set-size-1.9.tgz
• Theory file set-size.thy (included in the package tarball)

Defined Constants

• Set
  • hasSize
  • size

Theorems

⊦ size ∅ = 0

⊦ hasSize universe 2

⊦ ∀x. hasSize (insert x ∅) 1

⊦ ∀x. size (insert x ∅) = 1

⊦ ∀s. finite s ⇔ hasSize s (size s)

⊦ ∀s. hasSize s 0 ⇔ s = ∅

⊦ ∀s. size s = fold (λx n. Number.Natural.suc n) s 0

⊦ ∀s n. hasSize s n ⇒ size s = n

⊦ ∀s. finite s ⇒ (size s = 0 ⇔ s = ∅)

⊦ ∀f s. finite s ⇒ Number.Natural.≤ (size (image f s)) (size s)

⊦ ∀n. hasSize { m. m | Number.Natural.< m n } n

⊦ ∀s n. hasSize s n ⇔ finite s ∧ size s = n

⊦ ∀n. size { m. m | Number.Natural.< m n } = n

⊦ ∀a b. a ⊂ b ∧ finite b ⇒ Number.Natural.< (size a) (size b)

⊦ ∀a b. a ⊆ b ∧ finite b ⇒ Number.Natural.≤ (size a) (size b)

⊦ ∀n. hasSize { m. m | Number.Natural.≤ m n } (Number.Natural.+ n 1)

⊦ ∀n. size { m. m | Number.Natural.≤ m n } = Number.Natural.+ n 1

⊦ ∀f s t. finite t ∧ s ⊆ image f t ⇒ Number.Natural.≤ (size s) (size t)

⊦ ∀s t.
    finite s ∧ finite t ⇒
    Number.Natural.≤ (size (s ∪ t)) (Number.Natural.+ (size s) (size t))

⊦ ∀s t. finite t ∧ s ⊆ t ⇒ (size s = size t ⇔ s = t)

⊦ ∀a b. finite b ∧ a ⊆ b ∧ size a = size b ⇒ a = b

⊦ ∀a b. finite b ∧ a ⊆ b ∧ Number.Natural.≤ (size b) (size a) ⇒ a = b

⊦ ∀s t.
    finite s ∧ finite t ⇒
    size (cross s t) = Number.Natural.* (size s) (size t)

⊦ ∀s n. finite s ∧ Number.Natural.≤ n (size s) ⇒ ∃t. t ⊆ s ∧ hasSize t n

⊦ ∀s n. (finite s ⇒ Number.Natural.≤ n (size s)) ⇒ ∃t. t ⊆ s ∧ hasSize t n

⊦ ∀s t.
    finite s ∧ t ⊆ s ⇒ size (s - t) = Number.Natural.- (size s) (size t)

⊦ ∀s t.
    finite s ∧ finite t ⇒
    size (s ∪ t) = Number.Natural.+ (size s) (size (t - s))

⊦ ∀s t m n.
    hasSize s m ∧ hasSize t n ⇒ hasSize (cross s t) (Number.Natural.* m n)

⊦ ∀x s.
    finite s ⇒
    size (delete s x) =
    if x ∈ s then Number.Natural.- (size s) 1 else size s

⊦ ∀s. finite s ⇒ size { t. t | t ⊆ s } = Number.Natural.exp 2 (size s)

⊦ ∀s n. hasSize s n ⇒ hasSize { t. t | t ⊆ s } (Number.Natural.exp 2 n)

⊦ ∀s t.
    finite s ∧ finite t ⇒
    (size (s ∪ t) = Number.Natural.+ (size s) (size t) ⇔ disjoint s t)

⊦ ∀s t.
    finite s ∧ finite t ∧ disjoint s t ⇒
    size (s ∪ t) = Number.Natural.+ (size s) (size t)

⊦ ∀s n.
    hasSize s (Number.Natural.suc n) ⇔
    ¬(s = ∅) ∧ ∀a. a ∈ s ⇒ hasSize (delete s a) n

⊦ ∀s t.
    finite s ∧ finite t ⇒
    size (s ∪ t) =
    Number.Natural.- (Number.Natural.+ (size s) (size t)) (size (s ∩ t))

⊦ ∀s t.
    finite s ∧ finite t ⇒
    Number.Natural.+ (size (s ∪ t)) (size (s ∩ t)) =
    Number.Natural.+ (size s) (size t)

⊦ ∀s t.
    finite s ∧ finite t ∧
    Number.Natural.< (size (s ∪ t)) (Number.Natural.+ (size s) (size t)) ⇒
    ¬disjoint s t

⊦ ∀s t m n.
    hasSize s m ∧ hasSize t n ∧ disjoint s t ⇒
    hasSize (s ∪ t) (Number.Natural.+ m n)

⊦ ∀s t m n.
    hasSize s m ∧ hasSize t n ∧ t ⊆ s ⇒
    hasSize (s - t) (Number.Natural.- m n)

⊦ size ∅ = 0 ∧
  ∀x s.
    finite s ⇒
    size (insert x s) =
    if x ∈ s then size s else Number.Natural.suc (size s)

⊦ ∀s t u.
    finite u ∧ disjoint s t ∧ s ∪ t = u ⇒
    Number.Natural.+ (size s) (size t) = size u

⊦ ∀s f. finite s ∧ image f s = s ⇒ ∀x y. x ∈ s ∧ y ∈ s ∧ f x = f y ⇒ x = y

⊦ ∀s t.
    finite s ∧ finite t ⇒
    size { x y. Data.Pair., x y | x ∈ s ∧ y ∈ t } =
    Number.Natural.* (size s) (size t)

⊦ ∀s n.
    hasSize s n ⇒
    ∃f.
      (∀m. Number.Natural.< m n ⇒ f m ∈ s) ∧
      ∀x. x ∈ s ⇒ ∃!m. Number.Natural.< m n ∧ f m = x

⊦ ∀f s.
    (∀x y. x ∈ s ∧ y ∈ s ∧ f x = f y ⇒ x = y) ∧ finite s ⇒
    size (image f s) = size s

⊦ ∀P.
    P ∅ ∧ (∀s. finite s ∧ ¬(s = ∅) ⇒ ∃x. x ∈ s ∧ (P (delete s x) ⇒ P s)) ⇒
    ∀s. finite s ⇒ P s

⊦ ∀f s n.
    (∀x y. x ∈ s ∧ y ∈ s ∧ f x = f y ⇒ x = y) ⇒
    (hasSize (image f s) n ⇔ hasSize s n)

⊦ ∀f s n.
    (∀x y. x ∈ s ∧ y ∈ s ∧ f x = f y ⇒ x = y) ∧ hasSize s n ⇒
    hasSize (image f s) n

⊦ (∀s. hasSize s 0 ⇔ s = ∅) ∧
  ∀s n.
    hasSize s (Number.Natural.suc n) ⇔
    ∃a t. hasSize t n ∧ ¬(a ∈ t) ∧ s = insert a t

⊦ ∀s t m n.
    hasSize s m ∧ hasSize t n ⇒
    hasSize { x y. Data.Pair., x y | x ∈ s ∧ y ∈ t } (Number.Natural.* m n)

⊦ ∀f s t.
    finite s ∧ (∀x. x ∈ s ⇒ f x ∈ t) ∧ (∀y. y ∈ t ⇒ ∃!x. x ∈ s ∧ f x = y) ⇒
    size t = size s

⊦ ∀s t f.
    finite s ∧ size s = size t ∧ image f s = t ⇒
    ∀x y. x ∈ s ∧ y ∈ s ∧ f x = f y ⇒ x = y

⊦ ∀s t.
    finite s ∧ finite t ∧ Number.Natural.≤ (size s) (size t) ⇒
    ∃f. image f s ⊆ t ∧ ∀x y. x ∈ s ∧ y ∈ s ∧ f x = f y ⇒ x = y

⊦ ∀s t m n.
    hasSize s m ∧
    (∀x. x ∈ s ⇒ finite (t x) ∧ Number.Natural.≤ (size (t x)) n) ⇒
    Number.Natural.≤ (size (bigUnion { x. t x | x ∈ s }))
      (Number.Natural.* m n)

⊦ ∀s t m n.
    hasSize s m ∧ (∀x. x ∈ s ⇒ hasSize (t x) n) ⇒
    hasSize { x y. Data.Pair., x y | x ∈ s ∧ y ∈ t x }
      (Number.Natural.* m n)

⊦ ∀d s t.
    finite s ∧ finite t ⇒
    size { f. f | (∀x. x ∈ s ⇒ f x ∈ t) ∧ ∀x. ¬(x ∈ s) ⇒ f x = d } =
    Number.Natural.exp (size t) (size s)

⊦ ∀d s t m n.
    hasSize s m ∧ hasSize t n ⇒
    hasSize { f. f | (∀x. x ∈ s ⇒ f x ∈ t) ∧ ∀x. ¬(x ∈ s) ⇒ f x = d }
      (Number.Natural.exp n m)

⊦ ∀s t f g n.
    (∀x. x ∈ s ⇒ f x ∈ t ∧ g (f x) = x) ∧
    (∀y. y ∈ t ⇒ g y ∈ s ∧ f (g y) = y) ∧ hasSize s n ⇒ hasSize t n

⊦ ∀s t f g.
    (∀x. x ∈ s ⇒ f x ∈ t ∧ g (f x) = x) ∧
    (∀y. y ∈ t ⇒ g y ∈ s ∧ f (g y) = y) ⇒ ∀n. hasSize s n ⇔ hasSize t n

⊦ ∀s f.
    finite s ∧ image f s ⊆ s ⇒
    ((∀y. y ∈ s ⇒ ∃x. x ∈ s ∧ f x = y) ⇔
     ∀x y. x ∈ s ∧ y ∈ s ∧ f x = f y ⇒ x = y)

⊦ ∀s t f g.
    (finite s ∨ finite t) ∧ (∀x. x ∈ s ⇒ f x ∈ t ∧ g (f x) = x) ∧
    (∀y. y ∈ t ⇒ g y ∈ s ∧ f (g y) = y) ⇒ size s = size t

⊦ ∀s t.
    finite s ∧ finite t ∧ size s = size t ⇒
    ∃f g.
      (∀x. x ∈ s ⇒ f x ∈ t ∧ g (f x) = x) ∧
      ∀y. y ∈ t ⇒ g y ∈ s ∧ f (g y) = y

⊦ ∀s t f.
    finite s ∧ finite t ∧ size s = size t ∧ image f s ⊆ t ⇒
    ((∀y. y ∈ t ⇒ ∃x. x ∈ s ∧ f x = y) ⇔
     ∀x y. x ∈ s ∧ y ∈ s ∧ f x = f y ⇒ x = y)

⊦ ∀s t m n.
    hasSize s m ∧ (∀x. x ∈ s ⇒ hasSize (t x) n) ∧
    (∀x y. x ∈ s ∧ y ∈ s ∧ ¬(x = y) ⇒ disjoint (t x) (t y)) ⇒
    hasSize (bigUnion { x. t x | x ∈ s }) (Number.Natural.* m n)

⊦ ∀s t.
    finite s ∧ finite t ∧ size s = size t ⇒
    ∃f.
      (∀x. x ∈ s ⇒ f x ∈ t) ∧ (∀y. y ∈ t ⇒ ∃x. x ∈ s ∧ f x = y) ∧
      ∀x y. x ∈ s ∧ y ∈ s ∧ f x = f y ⇒ x = y

Input Type Operators

• →
• bool
• Data
  • Pair
    • Data.Pair.*
• Number
  • Natural
    • Number.Natural.natural
• Set
  • set

Input Constants

• =
• select
• Data
  • Bool
    • ∀
    • ∧
    • ⇒
    • ∃
    • ∃!
    • ∨
    • ~
    • cond
    • F
    • T
  • Pair
    • Data.Pair.,
• Number
  • Natural
    • Number.Natural.*
    • Number.Natural.+
    • Number.Natural.-
    • Number.Natural.<
    • Number.Natural.≤
    • Number.Natural.bit0
    • Number.Natural.bit1
    • Number.Natural.exp
    • Number.Natural.suc
    • Number.Natural.zero
• Set
  • -
  • ∅
  • bigUnion
  • cross
  • delete
  • disjoint
  • finite
  • fold
  • fromPredicate
  • image
  • ∈
  • insert
  • ∩
  • ⊂
  • ⊆
  • ∪
  • universe

Assumptions

⊦ T

⊦ finite ∅

⊦ bigUnion ∅ = ∅

⊦ ∀n. Number.Natural.≤ 0 n

⊦ ∀n. Number.Natural.≤ n n

⊦ ∀s. ∅ ⊆ s

⊦ ∀s. s ⊆ s

⊦ F ⇔ ∀p. p

⊦ 1 = Number.Natural.suc 0

⊦ ∀x. ¬(x ∈ ∅)

⊦ ∀a. finite (insert a ∅)

⊦ ∀t. t ∨ ¬t

⊦ ∀n. ¬Number.Natural.< n n

⊦ ∀n. Number.Natural.< n (Number.Natural.suc n)

⊦ (~) = λp. p ⇒ F

⊦ ∀t. (∀x. t) ⇔ t

⊦ ∀t. (∃x. t) ⇔ t

⊦ ∀t. (λx. t x) = t

⊦ (∀) = λp. p = λx. T

⊦ ∀x. x = x ⇔ T

⊦ ∀n. ¬(Number.Natural.suc n = 0)

⊦ ∀m. Number.Natural.- m 0 = m

⊦ ∀n. Number.Natural.- n n = 0

⊦ universe = insert T (insert F ∅)

⊦ ∀n. Number.Natural.bit0 n = Number.Natural.+ n n

⊦ ∀s t. disjoint s (t - s)

⊦ (⇒) = λp q. p ∧ q ⇔ p

⊦ ∀t. (t ⇔ T) ∨ (t ⇔ F)

⊦ ∀n. Number.Natural.bit1 n = Number.Natural.suc (Number.Natural.+ n n)

⊦ ∀m. Number.Natural.suc m = Number.Natural.+ m 1

⊦ ∀n. Number.Natural.- (Number.Natural.suc n) 1 = n

⊦ ∀x s. ¬(insert x s = ∅)

⊦ ∀p x. p x ⇒ p ((select) p)

⊦ (¬T ⇔ F) ∧ (¬F ⇔ T)

⊦ ∀f y. (let x ← y ∈ f x) = f y

⊦ ∀p. ∃x y. p = Data.Pair., x y

⊦ ∀x y. x = y ⇔ y = x

⊦ ∀x y. x = y ⇒ y = x

⊦ ∀t1 t2. t1 ∧ t2 ⇔ t2 ∧ t1

⊦ ∀m n. Number.Natural.* m n = Number.Natural.* n m

⊦ ∀m n. Number.Natural.+ m n = Number.Natural.+ n m

⊦ ∀m n. m = n ⇒ Number.Natural.≤ m n

⊦ ∀m n. Number.Natural.< m n ⇒ Number.Natural.≤ m n

⊦ ∀m n. Number.Natural.- (Number.Natural.+ m n) n = m

⊦ ∀s x. finite (delete s x) ⇔ finite s

⊦ ∀s x. finite (insert x s) ⇔ finite s

⊦ ∀s t. finite s ⇒ finite (s - t)

⊦ ∀s t. s ∪ t = t ∪ s

⊦ ∀f s. finite s ⇒ finite (image f s)

⊦ ∀p x. x ∈ fromPredicate p ⇔ p x

⊦ ∀m n. ¬Number.Natural.≤ m n ⇔ Number.Natural.< n m

⊦ ∀m n. Number.Natural.< m (Number.Natural.suc n) ⇔ Number.Natural.≤ m n

⊦ ∀m n. Number.Natural.≤ (Number.Natural.suc m) n ⇔ Number.Natural.< m n

⊦ ∀m. m = 0 ∨ ∃n. m = Number.Natural.suc n

⊦ ∀s. (∃x. x ∈ s) ⇔ ¬(s = ∅)

⊦ (∧) = λp q. (λf. f p q) = λf. f T T

⊦ ∀P. ¬(∀x. P x) ⇔ ∃x. ¬P x

⊦ ∀P. ¬(∃x. P x) ⇔ ∀x. ¬P x

⊦ (∃) = λP. ∀q. (∀x. P x ⇒ q) ⇒ q

⊦ ∀m n. Number.Natural.suc m = Number.Natural.suc n ⇔ m = n

⊦ ∀m n.
    Number.Natural.≤ (Number.Natural.suc m) (Number.Natural.suc n) ⇔
    Number.Natural.≤ m n

⊦ ∀m n. Number.Natural.+ m n = m ⇔ n = 0

⊦ ∀s t. disjoint s t ⇔ s ∩ t = ∅

⊦ ∀s t. s ⊆ t ⇔ s ∪ t = t

⊦ ∀s t. s - t = ∅ ⇔ s ⊆ t

⊦ ∀s t. s - t = s ⇔ disjoint s t

⊦ ∀s t. s - t - t = s - t

⊦ ∀s t. s - t ∪ t = s ∪ t

⊦ ∀s t. finite t ∧ s ⊆ t ⇒ finite s

⊦ ∀s u. bigUnion (insert s u) = s ∪ bigUnion u

⊦ { m. m | Number.Natural.< m 0 } = ∅

⊦ ∀x s. delete s x = s ⇔ ¬(x ∈ s)

⊦ ∀m n.
    Number.Natural.* m (Number.Natural.suc n) =
    Number.Natural.+ m (Number.Natural.* m n)

⊦ ∀s t. finite (s ∪ t) ⇔ finite s ∧ finite t

⊦ ∀s t. finite s ∨ finite t ⇒ finite (s ∩ t)

⊦ ∀P. (∀p. P p) ⇔ ∀p1 p2. P (Data.Pair., p1 p2)

⊦ ∀m n. Number.Natural.≤ m n ⇔ ∃d. n = Number.Natural.+ m d

⊦ ∀s t x. s ⊆ t ⇒ s ⊆ insert x t

⊦ ∀f g. f = g ⇔ ∀x. f x = g x

⊦ (∨) = λp q. ∀r. (p ⇒ r) ⇒ (q ⇒ r) ⇒ r

⊦ ∀x s. x ∈ s ⇒ insert x (delete s x) = s

⊦ ∀m n. Number.Natural.≤ m n ∧ Number.Natural.≤ n m ⇔ m = n

⊦ ∀s t. s ∪ (t - s) = t ⇔ s ⊆ t

⊦ ∀s t. s ⊆ t ∧ t ⊆ s ⇒ s = t

⊦ ∀PAIR'. ∃fn. ∀a0 a1. fn (Data.Pair., a0 a1) = PAIR' a0 a1

⊦ (∀s. ∅ ∪ s = s) ∧ ∀s. s ∪ ∅ = s

⊦ ∀f s x. x ∈ s ⇒ f x ∈ image f s

⊦ ∀P. (∀x y. P x y) ⇔ ∀y x. P x y

⊦ ∀P Q. (∀x. P ⇒ Q x) ⇔ P ⇒ ∀x. Q x

⊦ ∀P Q. P ∧ (∃x. Q x) ⇔ ∃x. P ∧ Q x

⊦ ∀P Q. P ∨ (∃x. Q x) ⇔ ∃x. P ∨ Q x

⊦ ∀m n. Number.Natural.< m n ⇔ Number.Natural.≤ m n ∧ ¬(m = n)

⊦ ∀s t. s ⊂ t ⇔ s ⊆ t ∧ ¬(s = t)

⊦ ∀P Q. (∃x. P x) ∧ Q ⇔ ∃x. P x ∧ Q

⊦ ∀P Q. (∃x. P x) ⇒ Q ⇔ ∀x. P x ⇒ Q

⊦ ∀P Q. (∀x. P x) ∨ Q ⇔ ∀x. P x ∨ Q

⊦ ∀P Q. (∃x. P x) ∨ Q ⇔ ∃x. P x ∨ Q

⊦ ∀s. bigUnion s = ∅ ⇔ ∀t. t ∈ s ⇒ t = ∅

⊦ ∀x y z. x = y ∧ y = z ⇒ x = z

⊦ ∀t1 t2 t3. t1 ∧ t2 ∧ t3 ⇔ (t1 ∧ t2) ∧ t3

⊦ ∀t1 t2 t3. t1 ∨ t2 ∨ t3 ⇔ (t1 ∨ t2) ∨ t3

⊦ ∀p q r. p ∧ q ⇒ r ⇔ p ⇒ q ⇒ r

⊦ ∀m n p.
    Number.Natural.+ m (Number.Natural.+ n p) =
    Number.Natural.+ (Number.Natural.+ m n) p

⊦ ∀m n p. Number.Natural.+ m n = Number.Natural.+ m p ⇔ n = p

⊦ ∀m n p.
    Number.Natural.< m n ∧ Number.Natural.< n p ⇒ Number.Natural.< m p

⊦ ∀m n p.
    Number.Natural.≤ m n ∧ Number.Natural.< n p ⇒ Number.Natural.< m p

⊦ ∀m n p.
    Number.Natural.≤ m n ∧ Number.Natural.≤ n p ⇒ Number.Natural.≤ m p

⊦ ∀s t. s = t ⇔ ∀x. x ∈ s ⇔ x ∈ t

⊦ ∀s t. s ⊆ t ⇔ ∀x. x ∈ s ⇒ x ∈ t

⊦ ∀t1 t2. (if T then t1 else t2) = t1 ∧ (if F then t1 else t2) = t2

⊦ ∀m n.
    Number.Natural.< n m ⇒
    Number.Natural.suc (Number.Natural.- m (Number.Natural.suc n)) =
    Number.Natural.- m n

⊦ ∀s. finite s ⇒ (finite (bigUnion s) ⇔ ∀t. t ∈ s ⇒ finite t)

⊦ ∀s t. disjoint s (bigUnion t) ⇔ ∀x. x ∈ t ⇒ disjoint s x

⊦ ∀P. P 0 ∧ (∀n. P n ⇒ P (Number.Natural.suc n)) ⇒ ∀n. P n

⊦ (∀t. ¬¬t ⇔ t) ∧ (¬T ⇔ F) ∧ (¬F ⇔ T)

⊦ ∀p x. x ∈ { y. y | p y } ⇔ p x

⊦ ∀x y s. x ∈ insert y s ⇔ x = y ∨ x ∈ s

⊦ ∀x s t. insert x s ⊆ t ⇔ x ∈ t ∧ s ⊆ t

⊦ ∀s t x. x ∈ s ∩ t ⇔ x ∈ s ∧ x ∈ t

⊦ ∀s t x. x ∈ s ∪ t ⇔ x ∈ s ∨ x ∈ t

⊦ (∃!) = λP. (∃) P ∧ ∀x y. P x ∧ P y ⇒ x = y

⊦ ∀f s. { x. f x | x ∈ s } = image f s

⊦ ∀x s t. disjoint (insert x s) t ⇔ ¬(x ∈ t) ∧ disjoint s t

⊦ ∀s x y. x ∈ delete s y ⇔ x ∈ s ∧ ¬(x = y)

⊦ ∀s t x. x ∈ s - t ⇔ x ∈ s ∧ ¬(x ∈ t)

⊦ ∀s. s = ∅ ∨ ∃x t. s = insert x t ∧ ¬(x ∈ t)

⊦ ∀P Q. (∀x. P x ∧ Q x) ⇔ (∀x. P x) ∧ ∀x. Q x

⊦ ∀P Q. (∃x. P x ∨ Q x) ⇔ (∃x. P x) ∨ ∃x. Q x

⊦ ∀P Q. (∀x. P x ⇒ Q x) ⇒ (∀x. P x) ⇒ ∀x. Q x

⊦ ∀P Q. (∀x. P x ⇒ Q x) ⇒ (∃x. P x) ⇒ ∃x. Q x

⊦ ∀P Q. (∃x. P x) ∨ (∃x. Q x) ⇔ ∃x. P x ∨ Q x

⊦ (∀n. Number.Natural.+ 0 n = n) ∧
  ∀m n.
    Number.Natural.+ (Number.Natural.suc m) n =
    Number.Natural.suc (Number.Natural.+ m n)

⊦ ∀y s f. y ∈ image f s ⇔ ∃x. y = f x ∧ x ∈ s

⊦ (∀n. Number.Natural.* 0 n = 0) ∧
  ∀m n.
    Number.Natural.* (Number.Natural.suc m) n =
    Number.Natural.+ (Number.Natural.* m n) n

⊦ ∀x y a b. Data.Pair., x y = Data.Pair., a b ⇔ x = a ∧ y = b

⊦ ∀x y s t. Data.Pair., x y ∈ cross s t ⇔ x ∈ s ∧ y ∈ t

⊦ ∀m n p q.
    Number.Natural.≤ m p ∧ Number.Natural.≤ n q ⇒
    Number.Natural.≤ (Number.Natural.+ m n) (Number.Natural.+ p q)

⊦ (∀m. Number.Natural.exp m 0 = 1) ∧
  ∀m n.
    Number.Natural.exp m (Number.Natural.suc n) =
    Number.Natural.* m (Number.Natural.exp m n)

⊦ ∀P c x y. P (if c then x else y) ⇔ (c ⇒ P x) ∧ (¬c ⇒ P y)

⊦ ∀t. { x y. Data.Pair., x y | x ∈ ∅ ∧ y ∈ t x } = ∅

⊦ ∀x s t. insert x s ∪ t = if x ∈ t then s ∪ t else insert x (s ∪ t)

⊦ (∀m. Number.Natural.< m 0 ⇔ F) ∧
  ∀m n.
    Number.Natural.< m (Number.Natural.suc n) ⇔
    m = n ∨ Number.Natural.< m n

⊦ (∀f. image f ∅ = ∅) ∧
  ∀f x s. image f (insert x s) = insert (f x) (image f s)

⊦ ∀s t. cross s t = { x y. Data.Pair., x y | x ∈ s ∧ y ∈ t }

⊦ ∀n.
    { m. m | Number.Natural.< m (Number.Natural.suc n) } =
    insert n { m. m | Number.Natural.< m n }

⊦ (∀m. Number.Natural.≤ m 0 ⇔ m = 0) ∧
  ∀m n.
    Number.Natural.≤ m (Number.Natural.suc n) ⇔
    m = Number.Natural.suc n ∨ Number.Natural.≤ m n

⊦ ∀P a b. Data.Pair., a b ∈ { x y. Data.Pair., x y | P x y } ⇔ P a b

⊦ ∀t. ((T ⇔ t) ⇔ t) ∧ ((t ⇔ T) ⇔ t) ∧ ((F ⇔ t) ⇔ ¬t) ∧ ((t ⇔ F) ⇔ ¬t)

⊦ ∀P.
    P ∅ ∧ (∀x s. P s ∧ ¬(x ∈ s) ∧ finite s ⇒ P (insert x s)) ⇒
    ∀s. finite s ⇒ P s

⊦ ∀t. (T ∧ t ⇔ t) ∧ (t ∧ T ⇔ t) ∧ (F ∧ t ⇔ F) ∧ (t ∧ F ⇔ F) ∧ (t ∧ t ⇔ t)

⊦ ∀t. (T ∨ t ⇔ T) ∧ (t ∨ T ⇔ T) ∧ (F ∨ t ⇔ t) ∧ (t ∨ F ⇔ t) ∧ (t ∨ t ⇔ t)

⊦ ∀f s.
    (∀x y. x ∈ s ∧ y ∈ s ∧ f x = f y ⇒ x = y) ⇒
    (finite (image f s) ⇔ finite s)

⊦ ∀t. (T ⇒ t ⇔ t) ∧ (t ⇒ T ⇔ T) ∧ (F ⇒ t ⇔ T) ∧ (t ⇒ t ⇔ T) ∧ (t ⇒ F ⇔ ¬t)

⊦ ∀d t.
    { f. f | (∀x. x ∈ ∅ ⇒ f x ∈ t) ∧ ∀x. ¬(x ∈ ∅) ⇒ f x = d } =
    insert (λx. d) ∅

⊦ ∀f s t.
    (∀y. y ∈ t ⇒ ∃x. x ∈ s ∧ f x = y) ⇔
    ∃g. ∀y. y ∈ t ⇒ g y ∈ s ∧ f (g y) = y

⊦ (∀n. Number.Natural.+ 0 n = n) ∧ (∀m. Number.Natural.+ m 0 = m) ∧
  (∀m n.
     Number.Natural.+ (Number.Natural.suc m) n =
     Number.Natural.suc (Number.Natural.+ m n)) ∧
  ∀m n.
    Number.Natural.+ m (Number.Natural.suc n) =
    Number.Natural.suc (Number.Natural.+ m n)

⊦ ∀s t a.
    { x y. Data.Pair., x y | x ∈ insert a s ∧ y ∈ t x } =
    image (Data.Pair., a) (t a) ∪
    { x y. Data.Pair., x y | x ∈ s ∧ y ∈ t x }

⊦ ∀s.
    { t. t | t ⊆ s } =
    image (λp. { x. x | p x })
      { p. p | (∀x. x ∈ s ⇒ p x ∈ universe) ∧ ∀x. ¬(x ∈ s) ⇒ (p x ⇔ F) }

⊦ ∀p q r.
    (p ∨ q ⇔ q ∨ p) ∧ ((p ∨ q) ∨ r ⇔ p ∨ q ∨ r) ∧ (p ∨ q ∨ r ⇔ q ∨ p ∨ r) ∧
    (p ∨ p ⇔ p) ∧ (p ∨ p ∨ q ⇔ p ∨ q)

⊦ ∀f b.
    (∀x y s. ¬(x = y) ⇒ f x (f y s) = f y (f x s)) ⇒
    fold f ∅ b = b ∧
    ∀x s.
      finite s ⇒
      fold f (insert x s) b =
      if x ∈ s then fold f s b else f x (fold f s b)

⊦ (∀n. Number.Natural.* 0 n = 0) ∧ (∀m. Number.Natural.* m 0 = 0) ∧
  (∀n. Number.Natural.* 1 n = n) ∧ (∀m. Number.Natural.* m 1 = m) ∧
  (∀m n.
     Number.Natural.* (Number.Natural.suc m) n =
     Number.Natural.+ (Number.Natural.* m n) n) ∧
  ∀m n.
    Number.Natural.* m (Number.Natural.suc n) =
    Number.Natural.+ m (Number.Natural.* m n)

⊦ ∀d a s t.
    { f. f |
      (∀x. x ∈ insert a s ⇒ f x ∈ t) ∧ ∀x. ¬(x ∈ insert a s) ⇒ f x = d } =
    image (λ(Data.Pair., b g) x. if x = a then b else g x)
      (cross t { f. f | (∀x. x ∈ s ⇒ f x ∈ t) ∧ ∀x. ¬(x ∈ s) ⇒ f x = d })